{"id":121673,"date":"2009-07-13T07:36:00","date_gmt":"2009-07-13T07:36:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2009\/07\/13\/121673.aspx"},"modified":"2014-05-29T09:48:23","modified_gmt":"2014-05-29T08:48:23","slug":"simon-donaldson-y-clifford-taubes-reciben-el-premio-shaw","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/07\/13\/121673","title":{"rendered":"Simon Donaldson y Clifford Taubes reciben el premio Shaw"},"content":{"rendered":"
El Premio Shaw<\/a>se concede anualmente a cient\u00edficos que han conseguido resultados muy notables en sus respectivos campos de investogaci\u00f3n. Tiene tres modalidades: Astronom\u00eda, Ciencias de la Vida y Medicina y Ciencias Matem\u00e1ticas; cada uno de estos premios conlleva la cantidad de 1 mill\u00f3n de d\u00f3lares y enfatizan los progresos sociales, la mejora de la calidad de vida y el enriquecimiento de la civilizaci\u00f3n espiritual de la humanidad.<\/p>\n
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Este prestigioso premio (llamado por algunos el Premio Nobel del Este) se cre\u00f3 bajo los auspicios de Run Run Shaw<\/a> en Noviembre 2002, y es gestionado por la Fundaci\u00f3n The Shaw Prize Foundation, establecida en Hong Kong.<\/div>\n

En 2009, los matem\u00e1ticos premiados han sido Simon Kirwan Donaldson<\/a> y Clifford Henry Taubes<\/a>, por sus extraordinarias contribuciones en el estudo de las variedades de dimensiones 3 y 4. El trabajo se describe a continuaci\u00f3n con algo m\u00e1s de detalle.<\/p>\n

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La topolog\u00eda de los variedades de dimensi\u00f3n 4 (una variedad es un espacio topol\u00f3gico que localmente se identifica con un espacio vectorial; son los espacios usados para definir ecuaciones diferenciales y aparecen de modo natural en la F\u00edsica) ha sido probablemente el ejemplo perfecto de hasta que punto las matem\u00e1ticas son una aventura. El gran aventurero de esa \u00e1rea ha sido Simon Donaldson. Su lugarteniente en el viaje de exploraci\u00f3n que inicio hace ya 30 a\u00f1os es Clifford Taubes. El premio Shaw de este a\u00f1o, dotado con un mill\u00f3n de dolares, reconoce este hecho.<\/p>\n

La vida de Donaldson sigue el esquema de una novela de suspense. Nos proponemos en las siguientes p\u00e1ginas ir desvelando las motivaciones de su investigaci\u00f3n y explicar como Donaldson ha convertido su vida en una continua exploraci\u00f3n y Taubes ha sido el m\u00e1s fiel ejecutor de sus planes.<\/p>\n

Simon, el estudiante.<\/strong><\/p>\n

Donaldson, alumno brillante de la Universidad de Cambridge, inicia el doctorado en la Universidad de Oxford en el a\u00f1o 1979. Sus coet\u00e1neos le recuerdan como un alumno interesado en todas las \u00e1reas de la Matem\u00e1tica. En su primer a\u00f1o de doctorado se inclina por la geometr\u00eda algebraica. Este tipo de geometr\u00eda estudia variedades definidas a trav\u00e9s de ecuaciones dadas por polinomios (no hay funciones transcendentes). Debido a esto la teor\u00eda permite estudiar problemas de clasificaci\u00f3n global de objetos, cosa que no ocurre en otras \u00e1reas de la matem\u00e1tica. Estos problemas conocidos como problemas de moduli, que en lat\u00edn significa medida, se preocupan de definir objetos que a su vez parametrizan otros objetos geom\u00e9tricos. En los a\u00f1os 60 David Mumford<\/a> (tambi\u00e9n premio Shaw en 2006) hab\u00eda formalizado la teor\u00eda bajo el nombre de teor\u00eda geometrica de invariantes y hab\u00eda dado el primer ejemplo importante: el espacio de m\u00f3duli de curvas. Es decir, un espacio cuyos puntos representaban cada una de las curvas que existen. La teor\u00eda geom\u00e9trica de invariantes se revel\u00f3 muy \u00fatil para abordar problemas de m\u00f3duli en toda la geometr\u00eda algebraica. La parte m\u00e1s b\u00e1sica y a la vez m\u00e1s profunda es la teor\u00eda de fibrados. Los fibrados son los espacios que permiten definir ecuaciones sobre una variedad geom\u00e9trica y por ello son los bloques b\u00e1sicos para el estudio de las variedades. En los a\u00f1os 70 se construyeron los m\u00f3duli de fibrados sobre todo tipo de variedades y la teor\u00eda se convirti\u00f3 en una rama floreciente de las matem\u00e1ticas. El reto era encontrar condiciones que permitiesen definir de modo sencillo el m\u00f3duli de fibrados. Para el caso de dimensi\u00f3n 1, la respuesta era clara y se basaba en herramientas matem\u00e1ticas clasicas: la correspondecia de Hitchin-Kobayashi. La correspondencia establece que la ecuaci\u00f3n que clasifica los fibrados sobre una curva (dimensi\u00f3n 1) era exactamente la ecuaci\u00f3n de Maxwell, es decir la ley f\u00edsica que rige los fen\u00f3menos electromagn\u00e9ticos en la naturaleza. Esta ecuaci\u00f3n hab\u00eda dado lugar en las matem\u00e1ticas de la primera mitad del siglo XX a la teor\u00eda de Hodge que permite definir invariantes num\u00e9ricos que capturan la topolog\u00eda de los objetos de cualquier dimensi\u00f3n.<\/p>\n

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Hitchin<\/a> parec\u00eda una buena opci\u00f3n en Oxford si Simon quer\u00eda estudiar problemas de moduli. En su primer a\u00f1o, Hitchin, como su tutor,\u00a0 le propuso algunas preguntas sobre la teor\u00eda de m\u00f3duli de fibrados sobre curvas (dimensi\u00f3n compleja 1). De repente Simon encontr\u00f3 la ecuaci\u00f3n para el caso de dimensi\u00f3n compleja 2, uno de los sue\u00f1os de los ge\u00f3metras de aquellos a\u00f1os. Pero lo emocionante no fue encontrar la respuesta, sino comprobar c\u00faal era. La ecuaci\u00f3n que defin\u00eda el espacio de moduli de fibrados sobre una superficie era la ecuaci\u00f3n de Yang-Mills, que es la ecuaci\u00f3n que rige las fuerzas en un \u00e1tomo. Es decir, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi para superficies se convert\u00eda en una relaci\u00f3n entre dos de las teor\u00edas m\u00e1s sofisticadas de la matem\u00e1tica y la f\u00edsica. Hasta ah\u00ed, el gui\u00f3n segu\u00eda el de una tesis brillante, pero en ese momento Donaldson comenz\u00f3 a usar los m\u00e9todos de la geometr\u00eda algebraica para estudiar la ecuaci\u00f3n de Yang-Mills aprovechando el puente que acababa de crear y as\u00ed cambiar la historia de las matem\u00e1ticas. La investigaci\u00f3n se sal\u00eda de los cauces de la geometr\u00eda algebraica, pues la ecuaci\u00f3n de Yang-Mills est\u00e1 definida para toda variedad de dimensi\u00f3n 4, y saltaba al mundo casi desconocido de las 4-variedades, es decir los objetos geom\u00e9tricos de dimensi\u00f3n 4. Hitchin qued\u00f3 deslumbrado y traspas\u00f3 a su alumno al profesor senior de geometr\u00eda de Oxford en aquellos a\u00f1os: Michael Atiyah<\/a>.<\/p>\n

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Un mundo nuevo<\/strong><\/p>\n

Donaldson explic\u00f3 su idea a Atiyah. En geometr\u00eda algebraica el m\u00f3duli de objetos sobre una variedad permit\u00eda dar propiedades de la variedad misma. De otra forma: las soluciones de una ecuaci\u00f3n ayudan a entender la forma del espacio en el que la ecuaci\u00f3n est\u00e1 definida. En geometr\u00eda algebraica esto es muy natural debido a la rigidez de los objetos y en cambio, para las ecuaciones en geometr\u00eda diferencial eso no es en absoluto obvio. Donaldson conjetur\u00f3 que las ecuaciones de Yang-Mills, que no s\u00f3lo se pod\u00edan definir sobre una superficie algebraica, sino sobre toda variedad de dimensi\u00f3n 4 determinaban parte de la geometr\u00eda del objeto. La prueba se preve\u00eda dura y se requer\u00eda la ayuda de un experto en teor\u00eda de Yang-Mills: Clifford Taubes. \u00c9ste fue el primero de los muchos encuentros que Donaldson y Taubes han mantenido a lo largo de los a\u00f1os. Con la ayuda de Taubes, Donaldson empez\u00f3 a estudiar la topolog\u00eda de los objetos de dimensi\u00f3n 4.<\/p>\n

La topolog\u00eda hab\u00eda crecido como rama de las matem\u00e1ticas a lo largo de todo el siglo XX, pero curiosamente los objetos geom\u00e9tricos de los que menos propiedades se conoc\u00edan eran los de dimensi\u00f3n 3 y 4, es decir los objetos que en la pr\u00e1ctica sirven para modelar nuestro universo. La raz\u00f3n es que cuando la dimensi\u00f3n es mayor hay espacio para mover y arrastrar las cosas y es f\u00e1cil deshacer los l\u00edos en los que uno se mete. En dimensi\u00f3n 2 y 1 no hay l\u00edos, pero en dimensi\u00f3n 3 y 4 las cosas no se pueden desenredar. Thurston, en los a\u00f1os 70, hab\u00eda explicado c\u00f3mo deber\u00eda ser el mundo de los objetos de dimensi\u00f3n 3 con sus famosas conjeturas de la geometrizaci\u00f3n (por su trabajo, Thurston recibi\u00f3 la medalla Fields<\/a> en 1982). El dibujo estaba claro y s\u00f3lo ha sido cuesti\u00f3n de a\u00f1os completar la prueba. Esa ha sido la labor de Perelman en los \u00faltimos 10 a\u00f1os y por ella ha recibido la medalla Fields en el a\u00f1o 2006.<\/p>\n

Sin embargo, nada se sab\u00eda del mundo de los objetos de dimensi\u00f3n 4. No hab\u00eda conjeturas, ni ideas, ni programas de desarrollo: s\u00f3lo un gran interrogante. Un interrogante que Simon Donaldson se encarg\u00f3 de reventar en 4 a\u00f1os. Entre el 82 y el 86 Donaldson demuestra una serie de teoremas que ya han pasado a la historia de las matem\u00e1ticas y cuyo denominador com\u00fan es: en dimensi\u00f3n 4 nada es lo que parece. Para explicar los resultados necesitamos introducir un poco de lenguaje. La estructura b\u00e1sica de una variedad es la topol\u00f3gica: la estructura necesaria para poder definir el concepto de aplicaci\u00f3n continua. Para definir el c\u00e1lculo diferencial (en otras palabras, introducir derivadas) es necesario dotar de una estructura extra a la variedad: la estructura diferenciable. Sobre una variedad topol\u00f3gica es posible definir varias estructuras diferenciables. La pregunta es: \u00bfcuantas? En dimensi\u00f3n 5 y mayor la respuesta es bien conocida desde finales de los 60. Depende de la variedad particular, pero en cualquier caso es un n\u00famero finito y siempre hay alguna estructura diferenciable que se puede construir. En dimensi\u00f3n menor o igual que tres la respuesta es que siempre hay una \u00fanica estructura diferenciable.<\/p>\n

Primera sorpresa: hay variedades topol\u00f3gicas de dimensi\u00f3n 4 que no admiten estructura diferenciable. De hecho Donaldson fue capaz de dar una condici\u00f3n puramente topol\u00f3gica para caracterizar las que s\u00ed la admit\u00edan. Si un invariante topol\u00f3gico, la forma de intersecci\u00f3n, era definido entonces deb\u00eda ser diagonalizable. Pero esto es s\u00f3lo el principio: el espacio vectorial R4 admite infinitas estructuras diferenciables. Este fen\u00f3meno de nuevo s\u00f3lo ocurre en dimensi\u00f3n 4. Y as\u00ed podr\u00edamos continuar. El resumen es que la relaci\u00f3n entre la estructura topol\u00f3gica y diferenciable en dimensi\u00f3n 4 es totalmente salvaje.<\/p>\n

En el a\u00f1o 1986 Donaldson recibe la medalla Fields con 29 a\u00f1os. Dedica la segunda mitad de los 80 a formalizar la teor\u00eda anterior, definiendo con total generalidad lo que fue conocido m\u00e1s adelante como los invariantes de Donaldson. Taubes publica en esos a\u00f1os una serie de art\u00edculos extrayendo m\u00e1s y m\u00e1s consecuencias de los invariantes de Donaldson.<\/p>\n

Esta explosi\u00f3n del estudio de las variedades diferenciables de dimensi\u00f3n 4 coincide en el tiempo con el trabajo de Freedman para el caso de variedades topol\u00f3gicas que demuestra que la situaci\u00f3n el el caso topol\u00f3gico es completamente distinta y se parece a la de las variedades de dimensi\u00f3n superior. Trabajos por los que tambi\u00e9n recibi\u00f3 la medalla Fields en el a\u00f1o 86.<\/p>\n

Geometr\u00eda simpl\u00e9ctica y optimismo.<\/strong><\/p>\n

Despu\u00e9s de haber destruido todas las ideas preconcebidas sobre la topolog\u00eda de 4-variedades en los a\u00f1os 80, Donaldson dedica el final de esa d\u00e9cada a luchar por lo opuesto. Se sabe que toda variedad diferenciable de dimensi\u00f3n 4 se descompone en una serie de bloques b\u00e1sicos, llamados minimales. Los invariantes de Donaldson se hacen triviales en bloques no minimales. Si uno es optimista y pretende acercarse a algo parecido a una clasificaci\u00f3n de variedades de dimensi\u00f3n 4 el paso principal es clasificar los bloques minimales. Simon conjetur\u00f3 dos cosas, ambos falsas, pero el \u201ctour de force\u201d que llev\u00f3 aparejado la prueba es uno de los m\u00e1s impresionantes de la matem\u00e1tica de la segunda mitad del siglo XX. Primera idea: las variedades minimales de dimensi\u00f3n 4 son simpl\u00e9cticas. Segunda idea: es posible dar una clasificaci\u00f3n aproximada de las variedades simpl\u00e9cticas de dimensi\u00f3n 4.<\/p>\n

Las variedades simpl\u00e9cticas provienen de la F\u00edsica. Son los objetos geom\u00e9tricos que modelan los espacio de fases de un problema f\u00edsico. Se corresponden a una variedad diferenciable en la que uno ha a\u00f1adido un objeto extra para modelar las ecuaciones de Hamilton, que gobiernan la mec\u00e1nica cl\u00e1sica. Desde hace m\u00e1s de 40 a\u00f1os sus propiedades geom\u00e9tricas han sido motivo de estudio. Mikhael Gromov prob\u00f3 los primeros resultados importantes en los a\u00f1os 70 cuando empez\u00f3 a observar que la existencia de la estructura simpl\u00e9ctica en la variedad restring\u00eda en cierta medida la topolog\u00eda de la misma.<\/p>\n

Afirmar a finales de los 80 que las variedades simpl\u00e9cticas se pod\u00edan clasificar era casi una broma de mal gusto. Todos y cada uno de los resultados de Gromov de esos a\u00f1os, recogidos en la teor\u00eda de curvas pseudo-holomorfas, se\u00f1alaban la direcci\u00f3n opuesta…. Pero Donaldson empez\u00f3 a pensar que las variedades simpl\u00e9cticas se parec\u00edan a las superficies algebraicas, objetos mucho m\u00e1s r\u00edgidos que s\u00ed est\u00e1n clasificados desde principios del siglo XX. M\u00e1s que dar una conjetura expl\u00edcita Donaldson empez\u00f3 a desarrollar la herramienta b\u00e1sica para la clasificaci\u00f3n de las superficies algebraicas: una teor\u00eda de divisores. Un divisor es una curva en una superficie algebraica. La existencia de divisores en una variedad algebraica tiene m\u00faltiples consecuencias y es la clave para los teoremas de clasificaci\u00f3n de superficies algebraicas: la conocida clasificaci\u00f3n de Enriques.<\/p>\n

Para desarrollar la teor\u00eda hac\u00edan falta dos pasos: demostrar que hab\u00eda divisores en una variedad simpl\u00e9ctica y comprobar que se comportaban igual que en geometr\u00eda algebraica. Taubes demostr\u00f3 lo primero y Donaldson lo segundo. Los divisores deb\u00edan comportarse de modo \u201clineal\u201d. Esta linealidad se refleja en el teorema de Donaldson que afirma que defin\u00edan una estructura denominada pincel de Lefschetz. Esto es una descomposici\u00f3n combinatoria de la variedad en bloques m\u00e1s b\u00e1sicos. El teorema es profundo estableciendo una equivalencia de categor\u00edas entre las variedades simpl\u00e9cticas y los pinceles. Este resultado es el final de 10 a\u00f1os de trabajo y apareci\u00f3 publicado en el a\u00f1o 1999. Las consecuencias del teorema han sido m\u00faltiples y profundas<\/p>\n

Las ideas de Taubes se desarrollan en la d\u00e9cada de los 90 en direcci\u00f3n complementaria. Para comenzar la prueba de la existencia de divisores en variedades simpl\u00e9cticas de dimensi\u00f3n 4 Taubes recurre de nuevo a la ideas de Donaldson. La teor\u00eda de Yang-Mills desarrollada por Donaldson hab\u00eda desarrollado los invariantes antes mencionados. A trav\u00e9s de consideraciones meramente f\u00edsicas Edward Witten hab\u00eda anunciado otra teor\u00eda, las ahora llamadas ecuaciones de Seiberg-Witten, que conjeturalmente deb\u00edan ser equivalentes a la teor\u00eda de Donaldson. La ventaja es que la ecuaci\u00f3n era mucho m\u00e1s sencilla. Tan es as\u00ed que en el oto\u00f1o del 94 casi todos los resultados de la teor\u00eda de Donaldson hab\u00edan sido redemostrados usando las ecuaciones de Seiberg-Witten. De hecho en tres o cuatro a\u00f1os todas las conjeturas formuladas en los diez a\u00f1os anteriores hab\u00edan sido probadas. Se sab\u00eda que en una variedad algebraica los invariantes de Seiberg-Witten proporcionaban criterios de existencia de divisores. La prueba se basaba en las propiedades de las variedades complejas. Taubes anunci\u00f3 en el a\u00f1o 95 que la misma equivalencia se pod\u00eda demostrar en el caso simpl\u00e9ctico usando un puente entre la teor\u00eda de curvas pseudo-holomorfas de Gromov y los invariantes de Seiberg-Witten. El puente fue construido por Taubes en los siguientes 6 a\u00f1os en m\u00e1s de 700 p\u00e1ginas de c\u00e1lculos y se puede considerar uno de los resultados t\u00e9cnicamente m\u00e1s complicados de la historia de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Para rematar, digamos que la clasificaci\u00f3n no se consigui\u00f3, pero los resultados parciales obtenidos fueron muy numerosos. A continuaci\u00f3n, mencionemos algunos:<\/p>\n

a) Las superficies algebraicas se dividen tradicionalmente en cuatro familias determinadas por un invariante num\u00e9rico denominado la dimensi\u00f3n de Kodaira (-1,0,1 y 2). Una conclusi\u00f3n directa de las t\u00e9cnicas de Taubes es que las variedades simpl\u00e9cticas de dimensi\u00f3n de Kodaira -1 y 0 se pueden clasificar (y se han clasificado de hecho en los \u00faltimos 10 a\u00f1os). Las otras dos clases son un mundo salvaje.
\nb) Donaldson ha usado la existencia de pinceles de Lefschetz para realizar c\u00e1lculos nuevos de invariantes de Seiberg-Witten.
\nc) Otro conjunto de conjeturas provenientes de la f\u00edsica y que reciben el nombre gen\u00e9rico de Mirror Symmetry han aparecido en los \u00faltimos 15 a\u00f1os. Establecen equivalencias entre pares de variedades: una simpl\u00e9ctica y otra algebraica. Van a ser probablemente el motor de la topolog\u00eda diferencial de los pr\u00f3ximos 10 a\u00f1os. Estas conjeturas han recibido su formulaci\u00f3n m\u00e1s precisa en el lenguaje de los pinceles de Lefschetz introducido por Donaldson. Y han sido desarrolladas por varios de sus alumnos.<\/p>\n

Madurez<\/strong><\/p>\n

Los caminos de Taubes y Donaldson han divergido en el siglo XXI. Taubes ha seguido el estudio de los invariantes asociados a 4-variedades.<\/p>\n

Para entender el trabajo de Taubes tenemos que se\u00f1alar que un tercer grupo de invariantes de 4-variedades ha sido introducido en torno al a\u00f1o 2001 por Oswath y Zsabo. El nombre que reciben son la teor\u00eda de Heegard-Floer. Sigue la tradici\u00f3n iniciada por Seiberg-Witten. Las ecuaciones de Yang-Mills estudiadas por Donaldson para construir sus invariantes requieren una cantidad de an\u00e1lisis funcional muy elevada. Las ecuaciones de Seiberg-Witten son\u00a0 m\u00e1s sencillas desde el punto de vista del an\u00e1lisis. Heegard-Floer es el \u00faltimo paso en esta tendencia y es una teor\u00eda pr\u00e1cticamente combinatoria.<\/p>\n

Taubes ha dedicado los \u00faltimos a\u00f1os a construir un puente entre Seiberg-Witten y Heegard-Floer. El objetivo en mente ha sido probar una de las conjeturas m\u00e1s famosas de la geometr\u00eda simpl\u00e9ctica: la conjetura de Weinstein. Esta conjetura se formula para variedades de dimensi\u00f3n impar. Sus teoremas de equivalencia entre Seiberg-Witten y Heegard-Floer permiten dar una prueba de esta conjetura para el caso de dimensi\u00f3n 3.<\/p>\n

Donaldson ha vuelto a relanzar la teor\u00eda geometrica de invariantes en geometr\u00eda algebraica. Recordemos que la primera construcci\u00f3n fue el m\u00f3duli de curvas en los a\u00f1os 60, despu\u00e9s se definieron los m\u00f3duli de fibrados. El siguiente paso natural fue la construcci\u00f3n de los m\u00f3duli de superficies. Donaldson ha conjeturado en los \u00faltimos 10 a\u00f1os una correspondencia de Hitchin-Kobayashi para este caso. Es decir una ecuaci\u00f3n f\u00edsica que define a los elementos del m\u00f3duli, en este caso las superficies algebraicas. Poco a poco todos los aspectos de la teor\u00eda han ido tomando cuerpo. La diferencia es que la ecuaci\u00f3n en derivadas parciales que define los elementos del m\u00f3duli es mucho m\u00e1s complicada que en el caso de fibrados. En este caso es una ecuaci\u00f3n en derivadas parciales no-lineal de cuarto orden. A\u00fan as\u00ed Donaldson la ha resuelto con \u00e9xito en m\u00faltiples casos y ha dado condiciones geom\u00e9tricas para la existencia de soluciones de la misma.<\/p>\n

___________________<\/p>\n

Francisco Presas es Cient\u00edfico Titular del CSIC y miembro del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El Premio Shawse concede anualmente a cient\u00edficos que han conseguido resultados muy notables en sus respectivos campos de investogaci\u00f3n. Tiene tres modalidades: Astronom\u00eda, Ciencias de la Vida y Medicina y Ciencias Matem\u00e1ticas; cada uno de estos premios conlleva la cantidad de 1 mill\u00f3n de d\u00f3lares y enfatizan los progresos sociales, la mejora de la calidad de vida y el enriquecimiento de la civilizaci\u00f3n espiritual de la humanidad.<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nSimon Donaldson y Clifford Taubes reciben el premio Shaw - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/07\/13\/121673\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Simon Donaldson y Clifford Taubes reciben el premio Shaw - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"El Premio Shawse concede anualmente a cient\u00edficos que han conseguido resultados muy notables en sus respectivos campos de investogaci\u00f3n. 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