{"id":128647,"date":"2009-11-14T04:45:00","date_gmt":"2009-11-14T04:45:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2009\/11\/14\/128647.aspx"},"modified":"2009-11-14T04:45:00","modified_gmt":"2009-11-14T04:45:00","slug":"el-escandalo-de-la-geometria-elemental","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/11\/14\/128647","title":{"rendered":"El esc\u00e1ndalo de la geometr\u00eda elemental"},"content":{"rendered":"<link rel=\"File-List\" href=\"file:\/\/localhost\/Users\/mdeleon\/Library\/Caches\/TemporaryItems\/msoclip\/0\/clip_filelist.xml\"> <!--[if gte mso 9]><xml>  <o:DocumentProperties>   <o:Template>Normal.dotm<\/o:Template>   <o:Revision>0<\/o:Revision>   <o:TotalTime>0<\/o:TotalTime>   <o:Pages>1<\/o:Pages>   <o:Words>128<\/o:Words>   <o:Characters>732<\/o:Characters>   <o:Company>Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas<\/o:Company>   <o:Lines>6<\/o:Lines>   <o:Paragraphs>1<\/o:Paragraphs>   <o:CharactersWithSpaces>898<\/o:CharactersWithSpaces>   <o:Version>12.1<\/o:Version>  <\/o:DocumentProperties>  <o:OfficeDocumentSettings>   <o:AllowPNG\/>  <\/o:OfficeDocumentSettings> <\/xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>  <w:WordDocument>   <w:Zoom>0<\/w:Zoom>   <w:TrackMoves>false<\/w:TrackMoves>   <w:TrackFormatting\/>   <w:HyphenationZone>21<\/w:HyphenationZone>   <w:PunctuationKerning\/>   <w:DrawingGridHorizontalSpacing>18 pt<\/w:DrawingGridHorizontalSpacing>   <w:DrawingGridVerticalSpacing>18 pt<\/w:DrawingGridVerticalSpacing>   <w:DisplayHorizontalDrawingGridEvery>0<\/w:DisplayHorizontalDrawingGridEvery>   <w:DisplayVerticalDrawingGridEvery>0<\/w:DisplayVerticalDrawingGridEvery>   <w:ValidateAgainstSchemas\/>   <w:SaveIfXMLInvalid>false<\/w:SaveIfXMLInvalid>   <w:IgnoreMixedContent>false<\/w:IgnoreMixedContent>   <w:AlwaysShowPlaceholderText>false<\/w:AlwaysShowPlaceholderText>   <w:Compatibility>    <w:BreakWrappedTables\/>    <w:DontGrowAutofit\/>    <w:DontAutofitConstrainedTables\/>    <w:DontVertAlignInTxbx\/>   <\/w:Compatibility>  <\/w:WordDocument> <\/xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>  <w:LatentStyles DefLockedState=\"false\" LatentStyleCount=\"276\">  <\/w:LatentStyles> <\/xml><![endif]--><br \/>\n<style> <!--  \/* Font Definitions *\/ @font-face \t{font-family:Calibri; \tpanose-1:2 15 5 2 2 2 4 3 2 4; \tmso-font-charset:0; \tmso-generic-font-family:auto; \tmso-font-pitch:variable; \tmso-font-signature:3 0 0 0 1 0;} @font-face \t{font-family:Cambria; \tpanose-1:2 4 5 3 5 4 6 3 2 4; \tmso-font-charset:0; \tmso-generic-font-family:auto; \tmso-font-pitch:variable; \tmso-font-signature:3 0 0 0 1 0;}  \/* Style Definitions *\/ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal \t{mso-style-parent:\"\"; \tmargin-top:0cm; \tmargin-right:0cm; \tmargin-bottom:10.0pt; \tmargin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-ascii-font-family:Cambria; \tmso-ascii-theme-font:minor-latin; \tmso-fareast-font-family:Cambria; \tmso-fareast-theme-font:minor-latin; \tmso-hansi-font-family:Cambria; \tmso-hansi-theme-font:minor-latin; \tmso-bidi-font-family:\"Times New Roman\"; \tmso-bidi-theme-font:minor-bidi; \tmso-fareast-language:EN-US;} @page Section1 \t{size:612.0pt 792.0pt; \tmargin:70.85pt 3.0cm 70.85pt 3.0cm; \tmso-header-margin:36.0pt; \tmso-footer-margin:36.0pt; \tmso-paper-source:0;} div.Section1 \t{page:Section1;} --> <\/style>\n<p> <!--[if gte mso 10]> \n\n<style>  \/* Style Definitions *\/ table.MsoNormalTable \t{mso-style-name:\"Tabla normal\"; \tmso-tstyle-rowband-size:0; \tmso-tstyle-colband-size:0; \tmso-style-noshow:yes; \tmso-style-parent:\"\"; \tmso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; \tmso-para-margin-top:0cm; \tmso-para-margin-right:0cm; \tmso-para-margin-bottom:10.0pt; \tmso-para-margin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-ascii-font-family:Cambria; \tmso-ascii-theme-font:minor-latin; \tmso-hansi-font-family:Cambria; \tmso-hansi-theme-font:minor-latin; \tmso-fareast-language:EN-US;} <\/style>\n\n <![endif]-->  <!--StartFragment-->  <\/p>\n<p class=\"MsoNormal\" style=\"text-align: justify;\"><span style=\"font-family: Calibri;\">La geometr\u00eda ha perdido peso en la ense\u00f1anza de la Secundaria, de manera que estudiantes de 14 o 15 a\u00f1os, en muchos centros, tienen unas vagas nociones de lo que es el per\u00edmetro de un pol\u00edgono, de la relaci\u00f3n de la longitud de la circunferencia con su di\u00e1metro, o sobre los c\u00e1lculos m\u00e1s elementales de \u00e1reas o vol\u00famenes. La geometr\u00eda tiene un valor formativo enorme en la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas, por su car\u00e1cter visual. Est\u00e1 muy bien que nuestros alumnos sepan resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado, pero ser\u00eda deseable que supieran asociar une ecuaci\u00f3n lineal a una recta, o una de segundo grado a una par\u00e1bola. El t\u00edtulo, provocador, hace alusi\u00f3n a uno de los problemas m\u00e1s fascinantes de la geometr\u00eda y quiere llamar la atenci\u00f3n sobre como esta disciplina puede ser estimulante para animar al estudiante a acometerla sin miedo y con entusiasmo.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\" style=\"text-align: justify;\">         <link rel=\"File-List\" href=\"file:\/\/localhost\/Users\/mdeleon\/Library\/Caches\/TemporaryItems\/msoclip\/0\/clip_filelist.xml\"> <!--[if gte mso 9]><xml>  <o:DocumentProperties>   <o:Template>Normal.dotm<\/o:Template>   <o:Revision>0<\/o:Revision>   <o:TotalTime>0<\/o:TotalTime>   <o:Pages>1<\/o:Pages>   <o:Words>12<\/o:Words>   <o:Characters>74<\/o:Characters>   <o:Company>Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas<\/o:Company>   <o:Lines>1<\/o:Lines>   <o:Paragraphs>1<\/o:Paragraphs>   <o:CharactersWithSpaces>90<\/o:CharactersWithSpaces>   <o:Version>12.1<\/o:Version>  <\/o:DocumentProperties>  <o:OfficeDocumentSettings>   <o:AllowPNG\/>  <\/o:OfficeDocumentSettings> <\/xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>  <w:WordDocument>   <w:Zoom>0<\/w:Zoom>   <w:TrackMoves>false<\/w:TrackMoves>   <w:TrackFormatting\/>   <w:HyphenationZone>21<\/w:HyphenationZone>   <w:PunctuationKerning\/>   <w:DrawingGridHorizontalSpacing>18 pt<\/w:DrawingGridHorizontalSpacing>   <w:DrawingGridVerticalSpacing>18 pt<\/w:DrawingGridVerticalSpacing>   <w:DisplayHorizontalDrawingGridEvery>0<\/w:DisplayHorizontalDrawingGridEvery>   <w:DisplayVerticalDrawingGridEvery>0<\/w:DisplayVerticalDrawingGridEvery>   <w:ValidateAgainstSchemas\/>   <w:SaveIfXMLInvalid>false<\/w:SaveIfXMLInvalid>   <w:IgnoreMixedContent>false<\/w:IgnoreMixedContent>   <w:AlwaysShowPlaceholderText>false<\/w:AlwaysShowPlaceholderText>   <w:Compatibility>    <w:BreakWrappedTables\/>    <w:DontGrowAutofit\/>    <w:DontAutofitConstrainedTables\/>    <w:DontVertAlignInTxbx\/>   <\/w:Compatibility>  <\/w:WordDocument> <\/xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>  <w:LatentStyles DefLockedState=\"false\" LatentStyleCount=\"276\">  <\/w:LatentStyles> <\/xml><![endif]--> <\/p>\n<style> <!--  \/* Font Definitions *\/ @font-face \t{font-family:Times; \tpanose-1:2 0 5 0 0 0 0 0 0 0; \tmso-font-charset:0; \tmso-generic-font-family:auto; \tmso-font-pitch:variable; \tmso-font-signature:3 0 0 0 1 0;} @font-face \t{font-family:Cambria; \tpanose-1:2 4 5 3 5 4 6 3 2 4; \tmso-font-charset:0; \tmso-generic-font-family:auto; \tmso-font-pitch:variable; \tmso-font-signature:3 0 0 0 1 0;}  \/* Style Definitions *\/ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal \t{mso-style-parent:\"\"; \tmargin-top:0cm; \tmargin-right:0cm; \tmargin-bottom:10.0pt; \tmargin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-ascii-font-family:Cambria; \tmso-ascii-theme-font:minor-latin; \tmso-fareast-font-family:Cambria; \tmso-fareast-theme-font:minor-latin; \tmso-hansi-font-family:Cambria; \tmso-hansi-theme-font:minor-latin; \tmso-bidi-font-family:\"Times New Roman\"; \tmso-bidi-theme-font:minor-bidi; \tmso-fareast-language:EN-US;} @page Section1 \t{size:612.0pt 792.0pt; \tmargin:70.85pt 3.0cm 70.85pt 3.0cm; \tmso-header-margin:36.0pt; \tmso-footer-margin:36.0pt; \tmso-paper-source:0;} div.Section1 \t{page:Section1;} --> <\/style>\n<p> <!--[if gte mso 10]> \n\n<style>  \/* Style Definitions *\/ table.MsoNormalTable \t{mso-style-name:\"Tabla normal\"; \tmso-tstyle-rowband-size:0; \tmso-tstyle-colband-size:0; \tmso-style-noshow:yes; \tmso-style-parent:\"\"; \tmso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; \tmso-para-margin-top:0cm; \tmso-para-margin-right:0cm; \tmso-para-margin-bottom:10.0pt; \tmso-para-margin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-ascii-font-family:Cambria; \tmso-ascii-theme-font:minor-latin; \tmso-hansi-font-family:Cambria; \tmso-hansi-theme-font:minor-latin; \tmso-fareast-language:EN-US;} <\/style>\n\n <![endif]-->  <!--StartFragment-->  <\/p>\n<div align=\"right\">\n<div align=\"center\"><span style=\"font-size: 7.5pt; font-family: Times;\"><img decoding=\"async\" src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_euclid.jpg\" width=\"335\" height=\"404\"><\/span><\/div>\n<p><span style=\"font-size: 7.5pt; font-family: Times;\"><\/span><\/div>\n<p class=\"MsoNormal\" style=\"margin: 0.1pt 0cm;\"><span style=\"font-size: 10pt; font-family: Times;\"> <o:p><\/o:p><\/span><\/p>\n<p>  <!--EndFragment--> <br \/><span style=\"font-family: Calibri;\"><o:p><\/o:p><\/span><\/p>\n<p>  <!--EndFragment--> <!--more--><P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Una de las m\u00e1s apasionantes historias de las matem\u00e1ticas se remonta a Euclides de Alejandr\u00eda, el m\u00e1s relevante matem\u00e1tico de la antig\u00fcedad. Euclides es conocido por su obra <I>Los Elementos<\/I> (el segundo libro m\u00e1s editado tras la Biblia).<?xml:namespace prefix = o \/><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Apenas existen datos fiables de su vida. As\u00ed, Euclides, deviene con el tiempo en un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Seg\u00fan Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada m\u00e1s escuchar la demostraci\u00f3n de un teorema, le hab\u00eda preguntado por la ganancia que cab\u00eda obtener de cosas de este g\u00e9nero, Euclides, volvi\u00e9ndose hacia un sirviente, hab\u00eda ordenado: \u00abDale tres \u00f3bolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende\u00bb. <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">En otra ocasi\u00f3n, al preguntarle el rey Tolomeo I por una v\u00eda de acceso a los conocimientos geom\u00e9tricos m\u00e1s f\u00e1cil y simple que las demostraciones de los Elementos, Euclides hab\u00eda respondido: \u00abNo hay camino de reyes en geometr\u00eda\u00bb<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Los Elementos constan de trece libros, clasificados as\u00ed:<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpFirst><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Libros I a VI: Geometr\u00eda Plana<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpMiddle><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Libros VII a IX: Teor\u00eda de N\u00fameros <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpMiddle><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Libro X: N\u00fameros irracionales<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpLast><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Libros XI a XIII: geometr\u00eda del espacio<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Es notable su claridad (Einstein los ley\u00f3 de ni\u00f1o y qued\u00f3 fascinado por el libro).<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Euclides construye su argumentaci\u00f3n bas\u00e1ndose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo dem\u00e1s) que Euclides llam\u00f3 postulados.&nbsp; Los famosos cinco postulados de Euclides son: <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.<SPAN>&nbsp; <\/SPAN><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma direcci\u00f3n. <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">&nbsp;IV.- Todos los \u00e1ngulos rectos son iguales.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los \u00e1ngulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que est\u00e1n los \u00e1ngulos menores que dos rectos. <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">El Quinto Postulado se puede escribir de una forma m\u00e1s familiar como:<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Por un punto exterior a una recta se puede trazar una \u00fanica paralela.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Esta formulaci\u00f3n alternativa es debida a Proclo, qui\u00e9n naci\u00f3 en 411 en Constantinopla (Estambul), y muri\u00f3 en 485 en Atenas, Grecia. Proclo dirigi\u00f3 la Academia de Plat\u00f3n y coment\u00f3 los Elementos de Euclides. El resultado de Proclo se atribuy\u00f3 err\u00f3neamente durante muchos a\u00f1os a John Playfair (1748 \u2013 1819), ge\u00f3metra, ge\u00f3logo y f\u00edsico, y se conoci\u00f3 como Axioma de Playfair.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Se sucedieron muchos intentos hist\u00f3ricos para probar que el quinto axioma se deduc\u00eda de los otros cuatro (muchas pruebas falsas), por matem\u00e1ticos como Wallis, 1663; Girolano Sacheri (supuso que era falso y quiso llegar a una contradicci\u00f3n); Lambert; Legendre (40 a\u00f1os de trabajo sobre el tema prob\u00f3 que el quinto postulado era equivalente a que la suma de los \u00e1ngulos de tri\u00e1ngulo es de 180\u00ba).<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Estos repetidos fracasos llevaron a D\u2019 Alembert a calificar este problema en 1767 como <B>el esc\u00e1ndalo de la geometr\u00eda elemental.<\/B><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><\/P> <DIV align=center><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_DAlembert_9.jpg\" width=199 height=242><BR><\/DIV> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><B><o:p><\/o:p><\/B><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Gauss fue el primero en entender el problema. Comenz\u00f3 a trabajar en \u00e9l con 15 a\u00f1os en 1782. En 1817 lleg\u00f3 al convencimiento que el quinto axioma era independiente de los otros cuatro. Comenz\u00f3 a idear una geometr\u00eda en la cu\u00e1l se pod\u00eda trazar m\u00e1s de una paralela por un punto externo. Gauss nunca public\u00f3 su trabajo, lo mantuvo en secreto para evitar controversias con Kant.<\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><\/P> <DIV align=center><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Gauss_8.jpg\" width=220 height=197><BR><\/DIV> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Gauss discuti\u00f3 este tema con su amigo, el matem\u00e1tico Farkas Bolyai, qui\u00e9n hab\u00eda sido autor de varias pruebas falsas. Su hijo, el matem\u00e1tico J\u00e1nos Bolyai, a pesar de que su padre le advirti\u00f3 que no malgastara su tiempo en esto, trabaj\u00f3 en el problema. En 1823 Bolyai escribi\u00f3 a su padre: \u201cHe descubierto cosas tan maravillosas que<SPAN>&nbsp; <\/SPAN>estoy asombrado \u2026 de la nada he creado un nuevo mundo.\u201d<\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><BR><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal align=center><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Bolyai.jpg\" width=236 height=288><BR><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><BR><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Dos a\u00f1os despu\u00e9s escribi\u00f3 sus resultados como un ap\u00e9ndice en el libro de su padre. Gauss qued\u00f3 impresionado, pero Bolyai no hab\u00eda construido la nueva geometr\u00eda, solo hab\u00eda probado que era posible.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><o:p>&nbsp;<\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Ni Bolyai ni Gauss conoc\u00edan el trabajo de Lobachevsky publicado en 1829. Este fue publicado en ruso en una revista local (Kazan Messenger), trabajo que hab\u00eda sido rechazado por Ostrogradski. Lobachevsky public\u00f3 sus <I>Geometrical investigations on the theory of parallels <\/I>en 1840 (61 p\u00e1ginas). Un resumen en franc\u00e9s en el Journal de Crelle le dio difusi\u00f3n, pero los matem\u00e1ticos no aceptaron sus ideas revolucionarias.<\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><\/P> <DIV align=center><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Lobachevsky.jpg\" width=232 height=277><BR><\/DIV> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Lobachevsky reemplaz\u00f3 el quinto postulado de Euclides por este: <o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Existen dos rectas paralelas a una dada por un punto externo a la recta.<SPAN>&nbsp; <\/SPAN><o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Otro importante actor en esta historia es Riemann, cuya tesis doctoral dirigi\u00f3 Gauss, y que imparti\u00f3 su lecci\u00f3n inaugural el 10 de junio de 1854 en la que reformul\u00f3 el concepto de geometr\u00eda. Geometr\u00eda era, para Riemann, espacio m\u00e1s una estructura (la m\u00e9trica) que permit\u00eda medir. Su trabajo se public\u00f3 en 1868, dos a\u00f1os despu\u00e9s de morir.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal align=center><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Riemann_2.jpg\" width=227 height=274><BR><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><BR><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Riemann trabaj\u00f3 en una geometr\u00eda en la que las paralelas no son posibles, la geometr\u00eda esf\u00e9rica. Estas geometr\u00edas no eran diferentes de la geometr\u00eda eucl\u00eddea en el sentido que no hab\u00eda contradicciones.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">El primero en colocar la geometr\u00eda de Bolyai-Lobachevsky al mismo nivel que la eucl\u00eddea, fue Eugeni Beltrami (1835-1900). En 1868 escribi\u00f3 <I>Essay on the interpretation of non-Euclidean geometry <\/I>y dio un modelo en dimensi\u00f3n 2 en un espacio eucl\u00eddeo de dimensi\u00f3n 3, la seudo-esfera. En este modelo, los cuatro primeros axiomas se cumpl\u00edan pero no el quinto.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">El modelo lo complet\u00f3 Klein en 1871 qui\u00e9n dio adem\u00e1s modelos de otras geometr\u00edas no-euclideas, como la de Riemann. Klein demostr\u00f3 que hay tres tipos de geometr\u00edas:<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpFirst><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Hiperb\u00f3lica (Bolyai \u2013 Lobachevsky)<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpMiddle><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Esf\u00e9rica (Riemann)<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify; TEXT-INDENT: -19.85pt; MARGIN-LEFT: 1cm\" class=MsoListParagraphCxSpLast><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Symbol\"><SPAN>\u00b7<SPAN style=\"FONT: 7pt 'Times New Roman'; font-size-adjust: none; font-stretch: normal\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/SPAN><\/SPAN><\/SPAN><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Eucl\u00eddea.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Estas nuevas geometr\u00edas son las que aparecen cuando queremos estudiar nuestro universo (son sus posibles formas).<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal align=center><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\"><IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Klein.jpg\" width=243 height=294><BR><\/SPAN><\/P> <P style=\"TEXT-ALIGN: justify\" class=MsoNormal><SPAN style=\"FONT-FAMILY: Calibri\">Esta es la nueva visi\u00f3n del universo en el que vivimos tras la Teor\u00eda de la Relatividad de Albert Einstein, que incorpora el tiempo al espacio. Muchos otros nombres de f\u00edsicos y matem\u00e1ticos est\u00e1n ligados a estos avances durante el siglo XX. La historia contin\u00faa.<o:p><\/o:p><\/SPAN><\/P> <P class=MsoNormal align=center><o:p>&nbsp;<IMG src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1736\/t_Einstein_17.jpg\" width=252 height=173><\/o:p><\/P> <P class=MsoNormal><o:p><BR><\/o:p><\/P> <P class=MsoNormal><BR><o:p><\/o:p><\/P> <HR SIZE=2 width=\"100%\"> <B>Manuel de Le\u00f3n<\/B> (CSIC y Real Academia de Ciencias) es Director del <A href=\"http:\/\/www.icmat.es\">Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT)<\/A>.  <P><\/P> <P class=MsoNormal><o:p><BR><\/o:p><\/P><!--EndFragment--><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La geometr\u00eda ha perdido peso en la ense\u00f1anza de la Secundaria, de manera que estudiantes de 14 o 15 a\u00f1os, en muchos centros, tienen unas vagas nociones de lo que es el per\u00edmetro de un pol\u00edgono, de la relaci\u00f3n de la longitud de la circunferencia con su di\u00e1metro, o sobre los c\u00e1lculos m\u00e1s elementales de \u00e1reas o vol\u00famenes. La geometr\u00eda tiene un valor formativo enorme en la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas, por su car\u00e1cter visual. Est\u00e1 muy bien que nuestros alumnos sepan resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado, pero ser\u00eda deseable que supieran asociar une ecuaci\u00f3n\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v18.0 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>El esc\u00e1ndalo de la geometr\u00eda elemental - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/11\/14\/128647\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"El esc\u00e1ndalo de la geometr\u00eda elemental - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"La geometr\u00eda ha perdido peso en la ense\u00f1anza de la Secundaria, de manera que estudiantes de 14 o 15 a\u00f1os, en muchos centros, tienen unas vagas nociones de lo que es el per\u00edmetro de un pol\u00edgono, de la relaci\u00f3n de la longitud de la circunferencia con su di\u00e1metro, o sobre los c\u00e1lculos m\u00e1s elementales de \u00e1reas o vol\u00famenes. 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