{"id":132682,"date":"2011-04-01T16:36:17","date_gmt":"2011-04-01T15:36:17","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=132682"},"modified":"2011-04-06T11:54:41","modified_gmt":"2011-04-06T10:54:41","slug":"eurogiga-geometria-computacion-y-matematica-discreta-en-la-base-de-la-innovacion-tecnologica-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2011\/04\/01\/132682","title":{"rendered":"EuroGIGA: geometr\u00eda, computaci\u00f3n y matem\u00e1tica discreta en la base de la innovaci\u00f3n tecnol\u00f3gica"},"content":{"rendered":"

<\/a>Recogemos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras la noticia del pr\u00f3ximo inicio de un programa europeo en el que grupos de investigadores de varios pa\u00edses, Espa\u00f1a entre ellos, van a cooperar de forma intensa y transversal en temas que se hallan en el coraz\u00f3n matem\u00e1tico del avance tecnol\u00f3gico.<\/p>\n

El marco europeo del programa<\/strong><\/p>\n

A mediados de 2009 la European Science Foundation recibi\u00f3 70 propuestas de programas de investigaci\u00f3n para que se considerara su realizaci\u00f3n dentro de las iniciativas EuroCORES<\/a>, un marco concebido para el desarrollo de investigaciones consideradas prioritarias y dif\u00edcilmente abordables sin un amplio esfuerzo cooperativo internacional. Tras un extenso proceso de sucesivos arbitrajes por expertos y de valoraciones de financiaci\u00f3n e impacto, en 2010 se seleccionaron 7 de las propuestas para que se llevaran a cabo, entre ellas EuroGIGA<\/a>, la primera de car\u00e1cter matem\u00e1tico en la historia de EuroCORES. La convocatoria de participaci\u00f3n condujo a la formulaci\u00f3n de varios proyectos espec\u00edficos de investigaci\u00f3n para el per\u00edodo 2011-2014, inscritos en EuroGIGA, cada uno integrado por equipos de diversos pa\u00edses europeos, en los cuales est\u00e1 prevista la intervenci\u00f3n de dos equipos espa\u00f1oles coordinados por el el profesor Alberto M\u00e1rquez <\/a>(Universidad de Sevilla ) y el profesor Ferran Hurtado <\/a>(Universidad Polit\u00e9cnica de Catalu\u00f1a).<\/p>\n

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Una de las herramientas para el tratamiento de la informaci\u00f3n consiste en el uso de grandes grafos geom\u00e9tricos, con un n\u00famero a menudo enorme de nodos-v\u00e9rtices que se conectan de acuerdo a un determinado significado<\/strong>.
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La tem\u00e1tica de EuroGIGA<\/strong><\/p>\n

El n\u00facleo central del programa consiste en el estudio de diversos grafos e hipergrafos geom\u00e9tricos que se hallan en el coraz\u00f3n de la geometr\u00eda discreta y computacional, y son a su vez herramientas b\u00e1sicas en numerosas aplicaciones tecnol\u00f3gicas en el campo de la inform\u00e1tica y de las comunicaciones.<\/p>\n

El tratamiento autom\u00e1tico de la informaci\u00f3n (es decir, \u00a1la inform\u00e1tica!) y la tecnolog\u00eda digital tienen primordialmente asociada una rama de las matem\u00e1ticas, la matem\u00e1tica discreta, cuyos pilares b\u00e1sicos son la combinatoria y la teor\u00eda de grafos. La combinatoria estudia el recuento y enumeraci\u00f3n de objetos, permitiendo estimar la complejidad de un objeto, algoritmo o estructura, y la generaci\u00f3n y exploraci\u00f3n de sus variantes. Los grafos son estructuras abstractas formadas por unos nodos o v\u00e9rtices, cada dos de los cuales se consideran conectados cuando cumplen cierta propiedad o relaci\u00f3n. A menudo los nodos se representan como puntos del plano y las conexiones o aristas por segmentos o arcos de curva que los unen. Podemos imaginarnos un grafo en el que los nodos correspondan a empresas y las conexiones a las relaciones comerciales, otro en que los nodos est\u00e9n asociados a servidores de internet y las aristas sean los v\u00ednculos directos entre ellos, o un tercero en que los v\u00e9rtices sean puntos del plano o del espacio cuyas coordenadas hayan sido capturadas por un ca\u00f1\u00f3n l\u00e1ser, unidos por aristas que constituyan una malla que permita representarlos.<\/p>\n

La abstracta versatilidad de los grafos como estructura es lo que explica el gran espectro de aplicaciones en que se utilizan hoy en d\u00eda; lo mismo que sucede -y no es causalidad- en inform\u00e1tica, donde vemos, por ejemplo, como m\u00fasica, texto o imagen se trasladan a formatos \u00fanicos de codificaci\u00f3n de la informaci\u00f3n. El estudio de los grafos contiene una disciplina matem\u00e1tica intr\u00ednseca pero inseparable de otras \u00e1reas de la matem\u00e1tica, como el \u00e1lgebra, el an\u00e1lisis o la geometr\u00eda.<\/p>\n

Muchos grafos son por naturaleza geom\u00e9tricos, como las redes de transporte, las mallas que se utilizan para la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de los objetos, o los grafos de proximidad que permiten analizar las nubes de puntos, pero hay much\u00edsimos m\u00e1s, como es el caso de las estructuras moleculares, por ejemplo las prote\u00ednas, algunas de cuyas propiedades se estudian en t\u00e9rminos de rigidez, plegado y acoplamiento, cuya formulaci\u00f3n es claramente geom\u00e9trica. Es uno de los campos de interacci\u00f3n entre la biolog\u00eda computacional y la geometr\u00eda computacional.<\/p>\n

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La imagen de la izquierda es una malla toroidal: un grafo 4-regular trazable sobre el toro. La imagen de la derecha es la de una prote\u00edna, <\/small>que se estudia desde el punto de vista cinem\u00e1tico y de rigidez.<\/strong><\/p>\n

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\n<\/big>La geometr\u00eda computacional es una disciplina a caballo entre las matem\u00e1ticas y la inform\u00e1tica te\u00f3rica. Su objetivo principal es el dise\u00f1o y an\u00e1lisis de algoritmos para resolver eficazmente problemas geom\u00e9tricos, que t\u00edpicamente involucran el manejo de datos masivos. Por consiguiente, una tarea fundamental es la identificaci\u00f3n de conceptos, propiedades y t\u00e9cnicas que ayuden al descubrimiento e implementaci\u00f3n de dichos algoritmos, lo que lleva al estudio de las estructuras de datos geom\u00e9tricos, la complejidad de los algoritmos, la representaci\u00f3n y manipulaci\u00f3n de figuras y de objetos, la construcci\u00f3n de lugares geom\u00e9tricos y, m\u00e1s en general, al desarrollo de los fundamentos matem\u00e1ticos correspondientes. En particular, los problemas que se estudian incluyen la b\u00fasqueda y el recuento geom\u00e9tricos, la convexidad y sus generalizaciones, la proximidad, la intersecci\u00f3n, descomposici\u00f3n y aproximaci\u00f3n de formas y la visibilidad. Las \u00e1reas principales de aplicaci\u00f3n son la inform\u00e1tica gr\u00e1fica, el dise\u00f1o y fabricaci\u00f3n asistidos por ordenador, el reconocimiento autom\u00e1tico de formas, el dise\u00f1o de grandes circuitos integrados, la visi\u00f3n artificial, los sistemas de informaci\u00f3n geogr\u00e1fica y la rob\u00f3tica.<\/p>\n

Una de las caracter\u00edsticas de muchos de los problemas de geometr\u00eda computacional es la necesidad de manejar cantidades ingentes de datos, lo que hace que problemas aparentemente inocentes dejen de serlo. Por ejemplo, supongamos que nos dan 100.000 puntos del plano, descritos por sus coordenadas, y que necesitamos saber qu\u00e9 par de puntos de entre los dados est\u00e1 a distancia m\u00ednima. El problema parece que puede resolverse de manera muy sencilla: calc\u00falese la distancia entre cada par y t\u00f3mese el m\u00ednimo valor obtenido. Sin embargo, esto es inviable en la pr\u00e1ctica, porque hay aproximadamente diez mil millones de distancias que tendr\u00edan que ser calculadas. Si, por ejemplo, cada una se calcula en un una mil\u00e9sima de segundo, nos har\u00edan falta \u00a1unos cuatro meses de c\u00e1lculos! Parece sorprendente, pero el estudio estructural y algor\u00edtmico del problema demuestra que basta con evaluar unas 300.000 de esas distancias \u00abadecuadamente escogidas\u00bb, con lo que, siguiendo con el ejemplo, bastan unos pocos segundos para realizar el c\u00f3mputo completo. Las \u00abdistancias adecuadas\u00bb son, precisamente, las aristas de cierto grafo geom\u00e9trico que se construye tomando los puntos dados como v\u00e9rtices.<\/p>\n

La geometr\u00eda computacional es inseparable de la geometr\u00eda discreta y combinatoria, que estudia conjuntos discretos o finitos de objetos b\u00e1sicos, particularmente la complejidad combinatoria de los arreglos y de las estructuras que los describen: c\u00f3mo se cortan, c\u00f3mo descomponen el espacio, como se pueden formar recubrimientos, etc\u00e9tera. Esta disciplina tiene tambi\u00e9n un solapamiento sustancial con otras bien establecidas, como la geometr\u00eda convexa, o muy recientes, como la geometr\u00eda digital. Aunque a menudo todas estas disciplinas se usan conjunta e inseparablemente en la resoluci\u00f3n de un problema, hay algunos que permiten enfatizar el papel de cada una. Por ejemplo, consideremos un conjunto de n cuerpos convexos en en el espacio tridimensional. Si existe una recta orientada que los corta a todos, una 1-transversal, \u00e9sta induce un orden o permutaci\u00f3n geom\u00e9trica de los objetos. Cu\u00e1ntos de estos \u00f3rdenes distintos pueden generar los mismos n objetos es un problema propio de la geometr\u00eda combinatoria. Hallar condiciones necesarias y suficientes para que existan 1-transversales, lo es de la geometr\u00eda discreta. Finalmente, dados n cuerpos espec\u00edficos, hallar efectivamente sus 1-transversales, si es que existen, corresponde a la geometr\u00eda computacional. Como el lector sin duda ya adivina, la capacidad de resolver cualquiera de estos problemas exige hacerlo en todas sus facetas.<\/p>\n

Diagramas de Voronoi<\/strong><\/p>\n

Uno de los proyectos de EuroGIGA est\u00e1 centrado en el estudio de los diagramas de Voronoi. En el caso m\u00e1s sencillo, se tienen n puntos (o lugares) del plano y a cada uno de ellos se le asocia una regi\u00f3n convexa, la regi\u00f3n de Voronoi de ese lugar, de forma que los puntos del plano que est\u00e1n dentro de su regi\u00f3n est\u00e1n m\u00e1s cerca del lugar que la define que de cualquiera de los restantes. De esta manera se obtiene un complejo celular que captura muy eficazmente la noci\u00f3n de proximidad y, en particular, es un potente modelo para simular el crecimiento competitivo de los organismos, o las \u00e1reas de influencia de tiendas y servicios, o calcular la ubicaci\u00f3n \u00f3ptima de cualquiera de ellos. La parte derecha de la figura adjunta muestra el diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos no regular pero s\u00ed distribuidos con cierta uniformidad, evidenciando el car\u00e1cter celular de un tejido que se ha formado por propagaci\u00f3n simult\u00e1nea desde unos n\u00facleos iniciales. La figura de la izquierda muestra el diagrama generado por las capitales de provincia sobre un plano eucl\u00eddeo ideal. Pese al car\u00e1cter isotr\u00f3pico del modelo usado, que ignora la influencia de la historia y la de la geograf\u00eda, es notable la correlaci\u00f3n que se observa con la realidad.<\/p>\n

Los diagramas de Voronoi se pueden generalizar de muchas maneras, como cambiando el espacio ambiente, tomando otras m\u00e9tricas, o incluyendo obst\u00e1culos y zonas en que la propagaci\u00f3n de la influencia tenga distintas velocidades. Esto permite una enorme flexibilidad en la modelizaci\u00f3n de fen\u00f3menos, que permite usarlos en \u00e1reas muy diversas, desde la arqueolog\u00eda a la zoolog\u00eda, pasando por la cristalograf\u00eda, el estudio del voto pol\u00edtico, los estudios de climatolog\u00eda, y la planificaci\u00f3n de trayectorias sin colisi\u00f3n en rob\u00f3tica o de las de menor riesgo en cirug\u00eda asistida por ordenador.<\/p>\n

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Izquierda: Diagrama de Voronoi de las capitales de provincia (sobre un plano ideal dotado de la m\u00e9trica eucl\u00eddea). Derecha. diagrama de Voronoi de un conjunto numeroso de puntos.<\/strong><\/p>\n

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Si conectamos los lugares que tienen regiones vecinas en un diagrama de Voronoi, se forma el grafo de Delaunay<\/em>, que en el caso del plano es una triangulaci\u00f3n. Este grafo tiene tambi\u00e9n muchas aplicaciones tecnol\u00f3gicas. Por ejemplo, es el que se usa en los modelos digitales del terreno<\/em>, tanto en cartograf\u00eda como en simuladores de vuelo y en juegos de ordenador y consola. Tambi\u00e9n es la herramienta b\u00e1sica en la reconstrucci\u00f3n digital de superficies y s\u00f3lidos a partir de datos que frecuentemente son puntos muestreados v\u00eda l\u00e1ser o secciones obtenidas tomogr\u00e1ficamente.<\/p>\n

Aunque se ha investigado mucho en estos temas, siguen surgiendo numerosos problemas adem\u00e1s, aparte de que otros que siguen sin resolverse por completo. En EuroGIGA se estudiar\u00e1n varios de ellos, como la complejidad y c\u00e1lculo de los diagramas de puntos en movimiento, las generalizaciones de los diversos ejes esqueletales<\/em> que se usan en el reconocimiento autom\u00e1tico de formas, o las variantes de las triangulaciones y de los grafos de proximidad<\/em>, que permiten el an\u00e1lisis de datos discretos espaciales dot\u00e1ndoles de estructura y forma, y permitiendo t\u00e9cnicas de discriminaci\u00f3n o agrupamiento.<\/p>\n

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El tratamiento autom\u00e1tico de la informaci\u00f3n geogr\u00e1fica (GIS) es una de las \u00e1reas de aplicaci\u00f3n de los temas estudiados en EuroGIGA.
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Geometr\u00eda combinatoria y grafos geom\u00e9tricos<\/strong><\/p>\n

En los apartados anteriores hemos visto varias veces que los datos de partida son en muchas ocasiones conjuntos de puntos discretos, muy numerosos. Para poder analizarlos o desarrollar m\u00e9todos eficaces que permitan agruparlos, conectarlos o simplificarlos, de cara a las diversas aplicaciones, es necesario entender con profundidad su estructura combinatoria. Imaginemos que trazamos 3 puntos distintos sobre el plano, \u00bfde cu\u00e1ntas maneras distintas puede hacerse? Si las distancias no son el aspecto m\u00e1s importante, podr\u00edamos decir que s\u00f3lo hay dos maneras, o bien que formen un tri\u00e1ngulo, o bien que est\u00e9n alineados. De acuerdo; pues entonces \u00bfde cu\u00e1ntas maneras distintas se pueden disponer 7 puntos sobre el plano? \u00bfY si son 70.000? Supongamos que estamos en este \u00faltimo caso, y que no hay tres de ellos alineados, \u00bfser\u00e1 cierto que siempre podremos encontrar una recta por dos de ellos que deje exactamente la mitad (34999) de los restantes a cada lado? Y si es as\u00ed, \u00bfcu\u00e1ntas de esas rectas puede haber en un conjunto? La respuesta a la primera pregunta es que s\u00ed, que siempre se puede partir equilibradamente con una recta `por dos de los puntos \u2026 \u00a1pero la segunda pregunta es un problema que sigue abierto cuarenta a\u00f1os despu\u00e9s de que fuera formulado!<\/p>\n

Posiblemente el lector se pregunte qu\u00e9 sentido tiene un problema como el descrito, aparte de la curiosidad matem\u00e1tica. Lo cierto es que muchos algoritmos que han de procesar grandes cantidades de puntos empiezan por dividirlos en dos mitades mediante una recta, y luego procesan los dos subconjuntos de manera recursiva. El an\u00e1lisis completo del comportamiento de estos procedimientos est\u00e1 indisolublemente ligado a la comprensi\u00f3n combinatoria de estructuras como la bipartici\u00f3n que hemos explicado.<\/p>\n

Hay muchos problemas en este campo que pueden formularse de manera muy sencilla y sin embargo ser extremadamente dif\u00edciles. Por ejemplo, puede decirse que cuando el n\u00famero de puntos se hace muy grande, sea cual sea su posici\u00f3n, empiezan a aparecer subconjuntos en posici\u00f3n \u00abbastante regular\u00bb. En particular, y siendo m\u00e1s precisos, se puede demostrar que para cualquier valor entero n existe otro n\u00famero f(n) tal que cualquier conjunto que conste de al menos f(n) puntos contiene un subconjunto de n puntos que constituyen los v\u00e9rtices de un pol\u00edgono convexo (v\u00e9ase figura). Esto es lo que se llama el teorema de Erd\u0151s-Szekeres.<\/em> Sin embargo, se desconoce el valor preciso de f(n), lo que se sabe es que, aproximadamente, 2^n \u2264 f(n) \u2264 4^n, y estrechar el margen entre la cota inferior y la cota superior es un problema que lleva abierto muchos a\u00f1os.<\/p>\n

El nombre del teorema anterior alude a dos investigadores h\u00fangaros, uno de los cuales, Paul Erd\u0151s, est\u00e1 considerado como uno de los m\u00e1s grandes matem\u00e1ticos del siglo XX, y precisamente fue uno de los grandes estudiosos de la geometr\u00eda combinatoria. Veamos otro problema que plante\u00f3 \u00e9l. Supongamos que tenemos dos conjuntos, cada uno con n puntos, y queremos saber si son exactamente el mismo, incluidas las distancias. Es decir, queremos decidir si el segundo conjunto se ha obtenido simplemente trasladando y girando el primero, de forma r\u00edgida que no altere las distancias entre cada dos puntos. El enfoque natural de cualquier algoritmo empieza por ver si ciertas distancias que se observan en el primer conjunto entre pares de puntos aparecen tambi\u00e9n en el segundo; o sea, buscando distancias repetidas<\/em>.
\nPara ver si entendemos bien lo que estamos haciendo, podemos empezar por pensar, dado un \u00fanico conjunto de n puntos, cu\u00e1ntas veces puede aparecer repetida una misma distancia. Por ejemplo, si n=3, podemos conseguir que una misma distancia aparezca tres veces, pues basta formar con los puntos un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. Sin embargo, \u00a1de nuevo la respuesta exacta es desconocida para valores generales de n!<\/p>\n

Uno de los proyectos de EuroGIGA se dedica especialmente a estudiar este tipo de problemas de geometr\u00eda combinatoria, incluyendo varias extensiones del teorema de Erd\u0151s-Szekeres. Por otra parte, cuando los puntos de un conjunto finito se conectan mediante segmentos se obtiene un grafo geom\u00e9trico<\/em>, alguno de los cuales ya hemos mencionado, como las triangulaciones, y en el proyecto se estudiar\u00e1n sus propiedades, su recuento, sus valores extremos, as\u00ed como el dise\u00f1o de algoritmos para la construcci\u00f3n de grafos \u00f3ptimos seg\u00fan distintos criterios. Tambi\u00e9n es un grafo geom\u00e9trico el 1-esqueleto de un politopo<\/em>, que es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos, y por supuesto los politopos son tambi\u00e9n un tema central de estudio dentro del proyecto. Un politopo puede definirse tambi\u00e9n por desigualdades lineales, lo que nos podr\u00eda llevar a comentar el extens\u00edsimo campo de aplicaciones de la programaci\u00f3n lineal. Remitimos al lector al art\u00edculo ya aparecido en este blog en el que se habl\u00f3 de este tema, con ocasi\u00f3n de la refutaci\u00f3n de la conjetura de Hirsch<\/a> por parte del profesor Francisco Santos<\/a>, que es uno de los investigadores integrados en el equipo espa\u00f1ol de este proyecto dentro de EuroGIGA.<\/p>\n

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Uno de los m\u00e1ximos impulsores de la geometr\u00eda combinatoria fue el matem\u00e1tico h\u00fangaro Paul Erd\u0151s (1913-1996). A la derecha, ilustraci\u00f3n del teorema de Erd\u0151s-Szekeres<\/strong><\/p>\n

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Conclusi\u00f3n<\/strong><\/p>\n

El tratamiento autom\u00e1tico de informaci\u00f3n geom\u00e9trica masiva est\u00e1 presente en la manipulaci\u00f3n de im\u00e1genes digitales, desde los videojuegos a los m\u00e9todos de diagnosis m\u00e9dica menos invasiva, pasando por la cirug\u00eda moderna, por los procesos industriales que incorporan control de calidad mediante visi\u00f3n artificial o dise\u00f1o asistido por ordenador, o por los modelos de terrenos que permiten el tratamiento de la informaci\u00f3n geogr\u00e1fica o la simulaci\u00f3n eficaz de fen\u00f3menos naturales.<\/p>\n

Subyaciendo a toda esta tecnolog\u00eda que evoluciona muy r\u00e1pidamente se ha generado la necesidad de dar respuesta matem\u00e1tica a muchos interrogantes nuevos. S\u00f3lo en el marco de proyectos cooperativos como EuroGIGA, combinando el esfuerzo de muchas instituciones e investigadores europeos, podemos esperar que se produzcan avances no s\u00f3lo al ritmo de esa demanda, sino tambi\u00e9n anticipando y creando el futuro.
\nNota.<\/strong> Agradecemos la cesi\u00f3n de diversas figuras: terreno triangulado (R. Silveira), prote\u00edna (I. Streinu), mapa de Espa\u00f1a (J. C\u00e1ceres), diagrama de Voronoi (K. Sugihara), malla toroidal (S. Kobourov).<\/em> <\/em>Los dos grandes grafos que aparecen en la primera figura est\u00e1n tomados del blog AI3 de M.Bergmann (http:\/\/www.mkbergman.com\/date\/2008\/02\/<\/a>).<\/p>\n

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Ferran Hurtado, Dept. de Matem. Aplicada II, Universitat Polit\u00e8cnica de Catalunya, Barcelona<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Recogemos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras la noticia del pr\u00f3ximo inicio de un programa europeo en el que grupos de investigadores de varios pa\u00edses, Espa\u00f1a entre ellos, van a cooperar de forma intensa y transversal en temas que se hallan en el coraz\u00f3n matem\u00e1tico del avance tecnol\u00f3gico. El marco europeo del programa A mediados de 2009 la European Science Foundation recibi\u00f3 70 propuestas de programas de investigaci\u00f3n para que se considerara su realizaci\u00f3n dentro de las iniciativas EuroCORES, un marco concebido para el desarrollo de investigaciones consideradas prioritarias y dif\u00edcilmente abordables sin un amplio esfuerzo cooperativo internacional. 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