{"id":132717,"date":"2011-04-04T21:28:28","date_gmt":"2011-04-04T20:28:28","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=132717"},"modified":"2011-04-05T14:37:22","modified_gmt":"2011-04-05T13:37:22","slug":"la-formula-de-euler","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2011\/04\/04\/132717","title":{"rendered":"La f\u00f3rmula de Euler"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a><\/p>\n

Si una aburrida noche de invierno decidideran acudir a un restaurante de las Matem\u00e1ticas y pidieran una paella con \u201cun poco de todo\u00bb o, m\u00e1s precisamente, \u201cun poco de todo lo importante\u00bb, probablemente les llevar\u00edan a la mesa la ecuaci\u00f3n del t\u00edtulo. \u00c9sta, a pesar de tratarse de una pura tautolog\u00eda, es muy conocida entre la comunidad cient\u00edfica por su simplicidad y casi sobrenatural completitud: contiene en una sola l\u00ednea elementos de lo m\u00e1s diverso y de cierta relevancia en la historia de las Matem\u00e1ticas.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

De derecha a izquierda:<\/p>\n

0: a pesar de su enorme utilidad, el cero tard\u00f3 mucho tiempo en aparecer en escena. Algunas culturas (Antiguo Egipto, Babilonia, Antigua Grecia o la cultura Maya) ya pose\u00edan documentos de car\u00e1cter matem\u00e1tico o astron\u00f3mico con s\u00edmbolos relativos al valor cero. Sin embargo, no fue hasta alrededor del a\u00f1o 810 D.C. cuando el cero tal y como hoy lo conocemos apareci\u00f3 en la civilizaci\u00f3n hind\u00fa. La India es la cuna de la numeraci\u00f3n moderna, y el 0 apareci\u00f3 all\u00ed al introducir los hind\u00faes un sistema posicional con nueve d\u00edgitos en el que la posici\u00f3n era clave. M\u00e1s all\u00e1 de las discusiones filos\u00f3ficas acerca de si \u201cel vac\u00edo\u00bb debe tener o no un s\u00edmbolo que lo represente, resulta bastante comprensible que \u00e9ste tardara tanto en manifestarse: para contar animales, \u00fatiles, haciendas o cualquier otro tipo de objetos, el cero es completamente innecesario.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

= : aunque parezca extra\u00f1o, en los albores del \u00e1lgebra se utilizaban palabras en lugar de s\u00edmbolos para representar los objetos matem\u00e1ticos (por ejemplo se denominaba \u201ccosa\u00bb, en su traducci\u00f3n latina, a cualquier inc\u00f3gnita x, y, z<\/em>). Lo mismo ocurr\u00eda con el s\u00edmbolo para la igualdad: era la abreviatura \u201cae\u00bb de la denominaci\u00f3n latina aequalis<\/em>, lo que se utilizaba en su lugar. Fue el gal\u00e9s Robert Recorde (1510-1558) quien por primera vez introdujo el s\u00edmbolo = en su libro The Whetstone of Witte<\/em>. En dicha obra los segmentos eran de mayor longitud que los ahora utilizados, lo que da sentido a la elecci\u00f3n de Recorde: Establezco este s\u00edimbolo como igualdad porque no puedo imaginar otras dos cosas que sean m\u00e1s iguales que un par de paralelas.<\/em><\/p>\n

1: uno, la unidad, el primero lo los n\u00fameros naturales<\/em>, el comienzo de las d\u00e9cadas, los siglos, los milenios; el inicio de la numeraci\u00f3n. Como se mencionaba antes, fue en la India donde se desarroll\u00f3 el sistema de numeraci\u00f3n moderna. La escritura en base diez (y que tengamos diez dedos en plas manos debe de tener algo que ver con la popularidad de esta base), con nueve d\u00edgitos posicionales incluyendo un cero, es la primera de sus grandes contribuciones a las matem\u00e1ticas. Los \u00e1rabes llevaron este sistema a Occidente y crearon las cifras llamadas \u201cgubar\u00bb del cero al nueve para representar cualquier n\u00famero (pr\u00e1cticamente como en la actualidad). Una vez conocido, el sistema se expandi\u00f3 por todo el mundo, imponi\u00e9ndose a cualquier otro preexistente.<\/p>\n

e<\/em> : el n\u00famero e<\/em> es una de las constantes m\u00e1s importantes en matem\u00e1ticas. Es un n\u00famero trascendente y por lo tanto no puede ser obtenido mediante la resoluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n algebrica. Por lo tanto es irracional y no puede ser expresado con un n\u00famero finito de decimales o decimales peri\u00f3dicos. Su valor es aproximadamente e<\/em>=2.71828…. A pesar de que las primeras referencias a esta constante, conocida a veces como n\u00famero de Euler o constante de Napier, aparecen en tablas de logaritmos elaboradas por John Napier, su descubrimiento est\u00e1 acreditado a Jacob Bernoulli, quien se top\u00f3 con ella mientras resolv\u00eda un problema de inter\u00e9s compuesto. Si no reuniera ya suficientes caracter\u00edsticas especiales, se puede decir que define la funci\u00f3n exponencial, funci\u00f3n cuya derivada es ella misma, convirti\u00e9ndola muy frecuentemente en soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales sencillas. Es la base adem\u00e1s del logaritmo neperiano (en referencia a John Napier, matem\u00e1tico escoc\u00e9s que introdujo el concepto de logaritmo en el c\u00e1lculo matem\u00e1tico) y puede ser obtenida como l\u00edmite de cierta sucesi\u00f3n o como la suma infinita del inverso del factorial de los n\u00fameros naturales. Por todo esto se puede decir que el n\u00famero e<\/em> es la constante m\u00e1s importante en el an\u00e1lisis matem\u00e1tico.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

i <\/em>: nos encontramos aqu\u00ed con la unidad imaginaria. Esta denominaci\u00f3n puede resultar demasiado atractiva para la m\u00edstica, pero significa simplemente que tratamos con un n\u00famero cuyo cuadrado es negativo, es decir\u00a0i<\/em>2<\/sup> = -1. Esta circunstancia es imposible para los n\u00fameros reales (el cuadrado de un real, ya sea positivo o negativo, siempre es positivo), por lo que la existencia la unidad imaginaria extiende la noci\u00f3n de estos hasta la de n\u00fameros complejos: aquellos que tienen una parte real y otra imaginaria. A pesar de que hay referencias a este tipo de n\u00fameros desde la antigua Grecia, no fue hasta el siglo XVIII, por medio de los trabajos de Leonard Euler y Carl Friedrich Gauss, cuando su uso fue generalmente aceptado. Si e<\/em> es la constante fundamental del an\u00e1lisis real, podemos decir que i <\/em>lo es del an\u00e1lisis complejo, \u00e1rea de las matem\u00e1ticas con m\u00faltiples aplicaciones, algunas de ellas tan poco imaginarias<\/em> como las relacionadas con ingenier\u00eda.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

\u03a0: el n\u00famero de los n\u00fameros; quien m\u00e1s y quien menos conoce las primeras cifras de su valor: \u03a0 =3.1415….. Al igual que en el caso de e, \u03c0 es un n\u00famero trascendente y no puede expresarse de manera finita. Su definici\u00f3n m\u00e1s habitual es la siguiente: \u03c0 es la relaci\u00f3n entre la longitud y el di\u00e1metro de una circunferencia, as\u00ed de sencillo. De hecho, el uso de la letra griega \u03a0 para definirlo proviene de las palabras periferia y per\u00edmetro, cuya inicial, tambi\u00e9n en griego, es precisamente \u03c0. Tal vez debido a su relaci\u00f3n con la geometr\u00eda b\u00e1sica, su existencia y nombre es tan difundido, as\u00ed como comprensible su presencia en textos matem\u00e1ticos desde los albores de los tiempos. Ya en la actualidad, \u03c0 se ha convertido en un s\u00edmbolo de las Matem\u00e1ticas, y se usa tanto como t\u00edtulo de pel\u00edcula como en los dise\u00f1os de camisetas. Por si fuera poco, hay competiciones internacionales cuyo objetivo, por medio de supercomputadoras, es calcular la mayor cantidad posible de sus decimales.<\/p>\n

<\/p>\n

Sea quien sea, felicitemos al cocinero.<\/p>\n

____________<\/p>\n

Fernando Jim\u00e9nez Alburqueque <\/strong>(CSIC) es investigador del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT)<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Si una aburrida noche de invierno decidideran acudir a un restaurante de las Matem\u00e1ticas y pidieran una paella con \u201cun poco de todo\u00bb o, m\u00e1s precisamente, \u201cun poco de todo lo importante\u00bb, probablemente les llevar\u00edan a la mesa la ecuaci\u00f3n del t\u00edtulo. \u00c9sta, a pesar de tratarse de una pura tautolog\u00eda, es muy conocida entre la comunidad cient\u00edfica por su simplicidad y casi sobrenatural completitud: contiene en una sola l\u00ednea elementos de lo m\u00e1s diverso y de cierta relevancia en la historia de las Matem\u00e1ticas. 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