{"id":132787,"date":"2011-05-05T10:27:32","date_gmt":"2011-05-05T09:27:32","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=132787"},"modified":"2011-05-05T10:27:32","modified_gmt":"2011-05-05T09:27:32","slug":"nudos-y-enlaces-en-mecanica-de-fluidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2011\/05\/05\/132787","title":{"rendered":"Nudos y enlaces en mec\u00e1nica de fluidos"},"content":{"rendered":"

Las ecuaciones que gobiernan la din\u00e1mica de los fluidos incompresibles con viscosidad despreciable fueron propuestas por el gran matem\u00e1tico suizo Leonhard Euler en su memoria \u201cPrincipes g\u00e9n\u00e9raux du mouvement des fluides\u201d (1757). Doscientos cincuenta a\u00f1os despu\u00e9s, las ecuaciones de Euler siguen presentando importantes retos matem\u00e1ticos y cuentan con numerosas aplicaciones en F\u00edsica e Ingenier\u00eda.<\/p>\n

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L. Euler<\/figcaption><\/figure>\n

Un enfoque al estudio de estas ecuaciones que ha resultado particularmente fruct\u00edfero fue propuesto por el tambi\u00e9n c\u00e9lebre matem\u00e1tico Joseph Louis de Lagrange, cuyo supervisor de tesis doctoral fue precisamente Euler. Este enfoque consiste en analizar las trayectorias descritas por las part\u00edculas del fluido, es decir, \u201cseguir\u201d la evoluci\u00f3n temporal de un peque\u00f1o volumen de l\u00edquido. Estas trayectorias se conocen en mec\u00e1nica de fluidos como l\u00edneas de corriente.<\/p>\n

Los primeros estudios rigurosos de la geometr\u00eda de las l\u00edneas de corriente se remontan a mediados de los a\u00f1os sesenta y cuentan con el matem\u00e1tico sovi\u00e9tico Vladimir Igorevich Arnold como figura m\u00e1s destacada. El resultado m\u00e1s relevante en esta l\u00ednea es el teorema de estructura de Arnold, publicado en su trabajo fundacional \u201cSur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluides parfaits\u201d (1966), que marca el nacimiento del campo de la Hidrodin\u00e1mica Topol\u00f3gica.<\/p>\n

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V.I. Arnold<\/figcaption><\/figure>\n

Uno de los principales problemas en Hidrodin\u00e1mica Topol\u00f3gica consiste en caracterizar las posibles trayectorias que pueden describir las part\u00edculas de un fluido. M\u00e1s all\u00e1 de su inter\u00e9s matem\u00e1tico, la relevancia de estas cuestiones se debe a sus conexiones con las teor\u00edas de complejidad y turbulencia y con la estabilidad estructural de los fluidos. En este sentido, una conjetura bien conocida en el \u00e1rea que se remonta a los or\u00edgenes de la Hidrodin\u00e1mica Topol\u00f3gica es que las l\u00edneas de corriente pueden estar \u201cmuy enmara\u00f1adas\u201d, esto es, pueden exhibir nudos y enlaces con cualquier topolog\u00eda. Es destacable que, durante d\u00e9cadas, las \u00fanicas pistas que suger\u00edan la validez de esta conjetura fueron de naturaleza f\u00edsica, pues proven\u00edan de las conexiones con los fen\u00f3menos de transporte de vorticidad y relajaci\u00f3n magn\u00e9tica.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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Esta conjetura ha sido recientemente demostrada por Alberto Enciso y Daniel Peralta Salas, dos j\u00f3venes investigadores Ram\u00f3n y Cajal del CSIC y del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas. El resultado, que aparecer\u00e1 publicado en la prestigiosa revista \u201cAnnals of Mathematics\u201d de la Universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados, ha sido obtenido tras siete a\u00f1os de colaboraci\u00f3n entre los dos autores mediante un nuevo enfoque que combina t\u00e9cnicas de diversas \u00e1reas de las Matem\u00e1ticas (Geometr\u00eda, Topolog\u00eda y An\u00e1lisis). Esta combinaci\u00f3n ha resultado sorprendente para los expertos en el \u00e1rea y se espera que sea un paso importante en la comprensi\u00f3n de la geometr\u00eda de los fluidos. Las t\u00e9cnicas empleadas se aplican tambi\u00e9n en magnetohidrodin\u00e1mica para analizar un tipo de campos magn\u00e9ticos que surgen en la teor\u00eda de las atm\u00f3sferas estelares, siendo responsables de las fulguraciones solares.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Daniel Peralta Salas y Alberto Enciso<\/figcaption><\/figure>\n

Resulta muy llamativo que la teor\u00eda de nudos ha guardado una estrecha relaci\u00f3n con la f\u00edsica te\u00f3rica desde sus inicios. Se puede decir que la teor\u00eda matem\u00e1tica comienza en el siglo XIX con Gauss, quien estaba motivado por problemas de Electromagnetismo, y que esta teor\u00eda experiment\u00f3 un gran impulso a ra\u00edz del modelo at\u00f3mico de Lord Kelvin, que consideraba que los \u00e1tomos eran nudos en el \u00e9ter. Nuevas y profundas conexiones entre teor\u00eda de nudos y F\u00edsica, m\u00e1s all\u00e1 del estudio de la geometr\u00eda de los fluidos, han florecido a partir de la segunda mitad del siglo XX, con espectaculares avances en teor\u00eda cu\u00e1ntica de campos, superconductividad, superfluidez, teor\u00eda \u00f3ptica de dislocaciones, etc.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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