![\"\"](\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2011\/05\/Digital_camera_image_sensor.jpg\" "\\"Digital_camera_image_sensor\\"")
<\/a><\/p>\nEstos chips semiconductores tienen una matriz rectangular de dispositivos (llamados photosites) donde cada uno es sensible a tres colores, rojo, verde y azul (conocidos como colores RGB debido a red, green, blue). La sensibilidad es lograda por solo uno de los colores RGB por filtraci\u00f3n. Estos sitios se organizan en la matriz RGB de Bayes.<\/p>\n
Observemos que dicha matriz, contiene mas lugares verdes (un 50% del total). Esto se debe a que el ojo humano cuenta con mayor sensibilidad al color verde.<\/p>\n Antes del procesamiento de la imagen la matriz de Bayes se interpola depende el tipo de imagen que queramos (por ejemplo si en nuestro men\u00fa de la c\u00e1mara ponemos imagen natural, o blanco y negro, colores vivos, etc.) y luego se guarda la imagen.<\/p>\n Lo mas com\u00fan es el balance de grises, mejora del contraste, quitar el ruido y comprimir los datos como mencionamos anteriormente. Por simplicidad nosotros solo comentaremos lo que sucede cuando se trabaja con un solo canal en lugar de tres, es decir, trabajaremos con im\u00e1genes en blanco y negro. Y nuestro inter\u00e9s cae precisamente sobre el problema del desenfoque y eliminaci\u00f3n de ruido en las im\u00e1genes y la compresi\u00f3n, donde el principal problema es que los bordes de las partes que forman la im\u00e1genes no sean destruidos por las modificaciones que hagamos.<\/p>\n La figura del beb\u00e9 nos ilustra como se altera la imagen utilizando la teor\u00eda de muestreo (tomando submuestreos) para comprimir la imagen. Se piensa a la imagen como un conjunto de muestras y se toma un submuestreo del mismo donde existe una relacion entre las submuetras que se toman con respecto a la muestra original. Pero se puede observar que\u00a0 cuanto mas se incrementa esa distancia entre las submuestras que se toman del muestreo original la imagen se va desconfigurando y, lo mas importante, los bordes se ven muy afectados! Como observamos en la imagen anterior,\u00a0 por ejemplo la ultima imagen corresponde a tomar 1 punto de cada 35.<\/p>\n Shannon se di\u00f3 cuenta que antes de tomar el submuestreo de la muestra habia que aplicarle a la imagen lo que se conoce en matem\u00e1ticas como suavizante gaussiano o smoothing. Para los que estan m\u00e1s familiarizados con las operaciones de funciones en el an\u00e1lisis matem\u00e1tico, Shannon comprendi\u00f3 que convulocionar la imagen original con una funci\u00f3n gaussiana y luego tomar el submuestro llebava a un resultado mucho mejor como vemos en la siguiente figura.<\/p>\n La primer parte de la figura corresponde a la imagen original, la segunda al aplicarle el suavizante a la imagen original. La tercera imagen corresponde al tomar un submuestreo de la original y la \u00faltima a tomarlo en la imagen ya suavizada. Como observamos Shannon estaba en lo correcto. Si suponemos que se aplica un suavizante gaussiano a la imagen original antes del submuestreo los resultados para la compresion de la imagen son mucho mejores.<\/p>\n Esta hip\u00f3tesis de suavidad es necesaria para la formulaci\u00f3n del problema en ecuaciones en derivadas parciales. Mas a\u00fan, es la clave de esta formulaci\u00f3n dada por Gabor en los 60′. Lo que Gabor demostr\u00f3 fu\u00e9 que la diferencia entre la imagen ya suavizada y la original es r\u00e1pidamente proporcional al Laplaciano de la imagen original.\u00a0 Es decir,\u00a0 si denotamos por\u00a0 u_0<\/strong> a la imagen original y k<\/em> <\/strong>al suavizante gaussiano (como funci\u00f3n radial)<\/p>\n Entonces el proceso de suavizaci\u00f3n se traduce en resolver<\/p>\n Del mismo modo, Gabor dedujo, que en cierta medida se puede \u00abenfocar\u00bb la imagen tratando al problema\u00a0 como un problema inverso en el tiempo resolviendo,<\/p>\n La figura muestra la imagen original y la imagen obtenida luego de hacer la convoluci\u00f3n de la imagen \u00a0con el suavizante gaussiano.<\/p>\n Num\u00e9ricamente el problema inverso puede tratarse como<\/p>\n Esta operaci\u00f3n puede repetirse varias veces para h<\/em>‘s\u00a0 peque\u00f1os pero el algoritmo explota r\u00e1pidamente.<\/p>\n La \u00faltima imagen muestra el algoritmo de Gabor aplicado a la imagen original para enfocarla. La primera es la original, la segunda luego de cuatro pasos del algoritmo y vemos como queda la imagen (destrozada) luego de 10 pasos del algoritmo. En cambio esto no sucede si aplicamos el suavizante gaussiano k antes de aplicar el algoritmo.<\/p>\n La figura nos muestra el algoritmo de Gabor para 4 y 10 pasos para el enfoque de la imagen cuando la imagen fue suavizada previamente.<\/p>\n Otra cuesti\u00f3n importante es la eliminaci\u00f3n del ruido en las im\u00e1genes. Para darnos una idea de lo que es el ruido de una imagen observemos la siguiente imagen, la cual se expone con un 75% de ruido y luego la imagen reconstruida al suavizarla.<\/p>\n Las im\u00e1genes, digitales en casi todos los casos, tienen ruido. Vamos a considerar ac\u00e1 que el ruido es aditivo y Gaussiano. Cuando se mira el estado de frecuencia de una imagen (si investigan casi todas las c\u00e1maras digitales de hoy tienen una funci\u00f3n que muestra el ruido de la imagen), el ruido corresponde a altas frecuencias. Para eliminarlo se han usado varias t\u00e9cnicas, pero el inconveniente es que los bordes corresponden a altas frecuencias y es por ello que por lo tanto los bordes tambi\u00e9n son afectados.<\/p>\n Una idea original fu\u00e9 la introducci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n del calor para el tratamiento de im\u00e1genes. Veamos como el ruido y el calor se asocian en una sola cuesti\u00f3n.<\/p>\n Supongamos que tenemos una habitaci\u00f3n con una fuente de calor en el centro. Al pasar el tiempo el calor se propaga por la habitaci\u00f3n en c\u00edrculos conc\u00e9ntricos. Estos c\u00edrculos van perdiendo magnitud a medida que se propaga el calor. Es decir, el calor avanza alej\u00e1ndose de la fuente y va perdi\u00e9ndose. Esto se debe a que la temperatura de la habitaci\u00f3n tiende a homogeneizarse.<\/p>\n Ahora supongamos que esta fuente de calor existe en un instante puntual y luego de ese instante deja de emitir calor.\u00a0 A medida que la temperatura aumenta hacia afuera, va disminuyendo en el centro. Es decir, el calor tiende a uniformarse, pero esta ves a una temperatura intermedia entre la temperatura original de la habitaci\u00f3n y la de la fuente.<\/p>\n Finalmente, pensemos la habitaci\u00f3n como una imagen y que esta fuente puntual e instant\u00e1nea es un punto originado por un ruido aditivo. Para simplificarlo asumimos tambi\u00e9n que hay un \u00fanico punto de ruido.\u00a0 Si aplicamos el mismo concepto de calor al ruido, podemos imaginarnos como este ruido va propag\u00e1ndose y disminuyendo su intensidad . Desde otro punto de vista, si hacemos un corte transversal de la imagen podemos ver el ruido como una Gaussiana. Es decir, si seguimos con la idea de tratar al ruido como un punto de emisi\u00f3n de calor, la evoluci\u00f3n a trav\u00e9s del tiempo puede verse como la siguiente gr\u00e1fica de una funci\u00f3n<\/p>\n Cuando el tiempo crece la imagen se vuelve poco interesante porque se van uniformizando todas las particularidades. Ese enfoque equivale a hacer la convoluci\u00f3n de la imagen con gaussianas de media cero y varianza variable definida en funci\u00f3n del tiempo.<\/p>\n Pero, este razonamiento tiene un inconveniente. El ruido se reparte uniformemente en la imagen y los bordes corresponden a la categor\u00eda de ruidos. Entonces nos topamos con las mismas dificultades del tratamiento cl\u00e1sico con la teor\u00eda de Shannon. Pero todo esto lo podemos extender para aprovechar las propiedades de la ecuaci\u00f3n del calor.\u00a0 La idea es manipular los coeficientes que conducen el calor.<\/p>\n Sabemos que el calor no se propaga de la misma manera en distintos medios. Hay materiales que conducen mejor el calor que otros. Volviendo al ejemplo de la habitaci\u00f3n, supongamos que dividimos dicha habitaci\u00f3n con un panel y que en cada lado hay una fuente que conduce calor y suponemos tambi\u00e9n que el material NO conduce calor. El calor no se propaga del otro lado de la habitaci\u00f3n y cada parte tiende a encontrar un balance t\u00e9rmico independiente del de la otra parte de la habitaci\u00f3n. Esto es porque el coeficiente de conducci\u00f3n de calor del panel es cero.<\/p>\n Como uno puede ver, una imagen esta formada por regiones delimitadas por bordes y queremos encontrar un m\u00e9todo que difumine el ruido dentro de las regiones sin afectar a los borde. Entonces ya tenemos la soluci\u00f3n! Si consideramos que el coeficiente de conducci\u00f3n de calor varia entre 0 y 1; asign\u00e1ndole a las regiones delimitadas por los bordes un 1 y a los bordes un 0 tendr\u00edamos el problema solucionado.<\/p>\n Este problema es de gran importancia en el \u00e1mbito de las ecuaciones diferenciales parciales, conocido como \u201cdifusi\u00f3n\u201d o \u201cdifusi\u00f3n anisotr\u00f3pica\u201d, y\u00a0 comenz\u00f3 a estudiarse por Pietro Perona y Jintendra Malik en el art\u00edculo \u201cScale-Space and Edge Detection using Anisotropic Diffusion\u201d publicado en 1990.<\/p>\n Ellos proponen la siguiente ecuacion de difusion anisotr\u00f3pica<\/p>\n donde div indica el operador divergencia,<\/p>\n los operadores gradiente y laplaciano respectivamente en las variables espaciales;\u00a0 g\u00a0 es una funci\u00f3n positiva, continua, que en el infinito tiende a cero y en cero tiende a 1.<\/p>\n La funci\u00f3n g es escogida tipicamente como las funciones de Lorentz o Leclerc y debido a que<\/p>\n juega el rol de detector de bordes pero este tiende a infinito rapidamente, sumado a las propiedades que debe cumplir esta funcion se expresan como<\/p>\n Para finalizar nuestro estudio quiero destacar que existe una gran diferencia en el tratamiento de imagenes digitales e imagenes artificiales. La principal diferencia se debe a que las im\u00e1genes artificiales se realizan con bordes suaves, con lo cual no hay discontinuidades en la derivada, lo cual complica el tratamiento. Esta complicaci\u00f3n si pasa con la imagenes digitales naturales. Nuestro estudio combate con esta y la supera.<\/p>\n Para ilustrar esto observemos la diferencia en estas dos imagenes, una artificial y la segunda, correspondiente al cerro Torre en la Patagonia, Argentina, una imagen natural.<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n