{"id":133049,"date":"2011-07-20T12:28:10","date_gmt":"2011-07-20T11:28:10","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=133049"},"modified":"2011-07-20T14:54:43","modified_gmt":"2011-07-20T13:54:43","slug":"como-se-resuelve-un-sistema-de-ecuaciones-historia-reciente-y-estado-del-arte-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2011\/07\/20\/133049","title":{"rendered":"C\u00f3mo se resuelve un sistema de ecuaciones: historia reciente y estado del arte"},"content":{"rendered":"

El Premio de Investigaci\u00f3n Jos\u00e9 Luis Rubio de Francia, que otorga anualmente la Real Sociedad Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, ha sido concedido en 2010 a Carlos Beltr\u00e1n \u00c1lvarez, de la Universidad de Cantabria, por, entre otros resultados, la resoluci\u00f3n junto a Luis Miguel Pardo del problema 17 del famoso listado propuesto por Steve Smale al finalizar el pasado siglo, y cuyo enunciado es: \u00bfPuede encontrarse un cero de n ecuaciones polinomiales complejas, por medio de un algoritmo uniforme en tiempo polinomial en promedio? En esta entrada del blog, Carlos Beltr\u00e1n y Luis Miguel Pardo nos ofrecen un resumen de su trabajo.<\/p>\n

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C\u00f3mo se resuelve un sistema de ecuaciones: historia reciente y estado del arte<\/strong><\/p>\n

\u00a0Carlos Beltr\u00e1n y Luis Miguel Pardo. Depto. MATESCO, Univ. Cantabria<\/strong><\/p>\n

Supongamos que nos dan n ecuaciones con n inc\u00f3gnitas, y que nos piden encontrar un cero del sistema, esto es un vector de n coordenadas (reales o complejas) en el que todas las ecuaciones se anulan simult\u00e1neamente. \u00bfC\u00f3mo debemos proceder? Algunas reflexiones iniciales son:<\/p>\n

    \n
  1. El caso de ecuaciones lineales (las inc\u00f3gnitas no se elevan a potencias superiores a 1) se resuelve desde tiempo inmemorial y ha quedado en las mentes j\u00f3venes asociado al nombre de Gauss.<\/li>\n
  2. Desde las civilizaciones egipcia y babil\u00f3nica, diversos procedimientos se desarrollan para tratar el caso de una ecuaci\u00f3n con una inc\u00f3gnita y grado 2, que se resuelve mediante una f\u00f3rmula que involucra una ra\u00edz cuadrada. Aceptar la presencia de ra\u00edces (radicales) o buscar m\u00e9todos para calcular aproximaciones al valor num\u00e9rico de esa ra\u00edz conducir\u00e1 a la futura subdivisi\u00f3n entre m\u00e9todos num\u00e9ricos y simb\u00f3licos para el tratamiento y resoluci\u00f3n de ecuaciones.<\/li>\n
  3. Se denomin\u00f3 \u201cresoluci\u00f3n por radicales\u201d al intento de expresar mediante ra\u00edces (cuadradas, c\u00fabicas, etc…) las soluciones de une ecuaci\u00f3n dada. En el renacimiento italiano exist\u00edan, incluso, concursos p\u00fablicos, con suculentos premios, para resolver este tipo de ecuaciones. Los \u201ccampeones\u201d de la \u00e9poca ser\u00eda gente como Scipione del Ferro, Lodovico Ferrari, Niccolo Fontana (alias \u201cTartaglia\u201d) o Gerolamo Cardano. En su tratado \u201cIn artem analyticam isagoge\u201d<\/em>, Fran\u00e7ois Vi\u00e8te exhibe varias f\u00f3rmulas (esencialmente tomadas de Cardano) para expresar con radicales soluciones de ecuaciones polinomiales de grados 3 y 4. Estas f\u00f3rmulas perviven como las f\u00f3rmulas de Cardano-Vi\u00e8te .<\/li>\n
  4. Para grado 5 no hay ni puede haber una f\u00f3rmula que, incluso admitiendo radicales, exprese las soluciones\u00a0 como funciones de los coeficientes. Esta fue una de las conclusiones de los trabajos de dos brillant\u00edsimos matem\u00e1ticos, muertos en plena juventud: Niels Hendrik Abel y Evariste Galois. Ninguno de los dos super\u00f3 los 27 a\u00f1os.<\/li>\n
  5. En el caso de una ecuaci\u00f3n con una inc\u00f3gnita, el medalla Fields Steve Smale inici\u00f3 a principios de los a\u00f1os 80 un importante esfuerzo para fundamentar los algoritmos num\u00e9ricos (algoritmos que aproximan las soluciones) a trav\u00e9s de un estudio profundo del operador de Newton, su convergencia y las cantidades que lo controlan. Adicionalmente, adapt\u00f3 una de las pruebas de Gauss del Teorema Fundamental del \u00c1lgebra, basada en deformar la ecuaci\u00f3n a resolver a otra ecuaci\u00f3n m\u00e1s f\u00e1cil de resolver. Esto conduce a los m\u00e9todos llamados de deformaci\u00f3n homot\u00f3pica o de continuaci\u00f3n de caminos, que se detallar\u00e1n m\u00e1s abajo.<\/li>\n
  6. El caso general (resolver un sistema de n ecuaciones polinomiales y n inc\u00f3gnitas) es uno de los problemas centrales de la Geometr\u00eda Algebraica. No s\u00f3lo no hay f\u00f3rmulas para las soluciones sino que la geometr\u00eda del conjunto de soluciones juega un papel relevante, haciendo necesaria la interacci\u00f3n entre Geometr\u00eda, Algor\u00edtmica y M\u00e9todos Num\u00e9ricos.<\/li>\n
  7. No parece probable que haya una forma f\u00e1cil de enfocar el problema general (especialmente cuando el n\u00famero de ecuaciones sea superior al n\u00famero de variables involucradas). en ese caso nos enfrentamos a uno de los Problemas del Milenio, propuestos por el Instituto Clay: la Conjetura de Cook. Esto se debe a que cualquier problema NP-completo (pongamos, el problema de la mochila) se puede escribir f\u00e1cilmente como un sistema de n+1 ecuaciones y n inc\u00f3gnitas complejas. En el caso de buscar solamente soluciones reales, basta con una ecuaci\u00f3n en n inc\u00f3gnitas. Por lo tanto, si existiese un algoritmo r\u00e1pido para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales, tendr\u00edamos que P=NP, lo que supondr\u00eda un cambio enorme en nuestra concepci\u00f3n de la Inform\u00e1tica y de las Matem\u00e1ticas.<\/li>\n
  8. Si tratamos de describir todas<\/em> las soluciones de un sistema de ecuaciones podemos tener problemas: el n\u00famero de ellas puede ser infinito si aparecen funciones trascendentes, y si son polinomios en general el n\u00famero de soluciones es el producto de los grados (conocido como el n\u00famero de B\u00e9zout). Esto es, si tenemos n ecuaciones de grado 2 en n variables, tendremos gen\u00e9ricamente 2n<\/sup> soluciones, lo que para n mayor que, pongamos, 50,\u00a0 hace imposible siquiera escribir una aproximaci\u00f3n de cada una de ellas, \u00a1no digamos calcularlas!<\/li>\n<\/ol>\n

    \u00a0<\/p>\n

    Pero no todo est\u00e1 perdido: por ejemplo, aunque el n\u00famero de inc\u00f3gnitas y de ecuaciones sea mayor de uno, todav\u00eda podemos aplicar el m\u00e9todo de Newton. \u00c9ste consiste en tomar un candidato inicial a soluci\u00f3n, llam\u00e9moslo x, y realizar la iteraci\u00f3n que lleva x a x-Df(x)-1<\/sup>f(x), donde Df(x) es la matriz diferencial de f en x. No siempre esta matriz es invertible, pero ciertamente lo que podemos hacer es intentar calcular esta cantidad, y confiar en que despu\u00e9s de unas cuantas iteraciones nos encontraremos cerca de una soluci\u00f3n del sistema. \u00bfA qu\u00e9 se debe este optimismo? Pues por ejemplo a que si x es un cero exacto del sistema, entonces la iteraci\u00f3n de Newton lo deja como est\u00e1 \u2013 o sea que los ceros del sistema son puntos fijos del operador de Newton, lo que hace razonable seguir este proceso.<\/p>\n

    En la pr\u00e1ctica, muchas veces elegimos un x, iteramos Newton unas pocas veces, y no nos parece que la sucesi\u00f3n generada converja a ning\u00fan lugar. As\u00ed que el optimismo del que habl\u00e1bamos es en efecto un excesivo optimismo. Sin embargo, Gauss (y m\u00e1s recientemente, entre otros, Steve Smale) proponen una cierta forma de escapar de este problema, utilizando los llamados m\u00e9todos de homotop\u00eda.<\/p>\n

      \n
    1. Llamemos f(1)<\/sub> al sistema que queremos resolver. Consideremos\u00a0 otro sistema f(0)<\/sub> que sea sencillo, en el sentido de que tenga una\u00a0 soluci\u00f3n conocida. Ahora debemos unir g con f con\u00a0 alg\u00fan camino, pongamos el segmento f(t)<\/sub>=(1-t)f(0)<\/sub>+tf(1)<\/sub>, donde t es un n\u00famero entre 0 y 1. En general, si pensamos que f(0)<\/sub> y f(1)<\/sub> son sistemas polinomiales donde los polinomios de f(0)<\/sub> y de f(1)<\/sub> tienen el mismo grado, podemos pensar que el segmento f(t)<\/sub> est\u00e1 contenido en el espacio vectorial que forman los sistemas polinomiales de grado acotado. Si nuestros sistemas no son polinomiales, tendremos que buscar alguna alternativa que nos parezca razonable.<\/li>\n
    2. Ahora consideremos el conjunto V={(f,x):x es un cero de f}, que es una subvariedad diferencial y a la vez algebraica\u00a0 del espacio producto {sistemas}x{vectores}, llamado com\u00fanmente la variedad soluci\u00f3n.<\/em> Dado que la curva f(t)<\/sub> est\u00e1 contenida en el espacio de sistemas, bajo ciertas condiciones de genericidad, podemos suponer que existe un \u201clevantamiento\u201d, esto es que el camino f(t)<\/sub> puede ser levantado a un camino (f(t)<\/sub>,x(t)<\/sub>) contenido en V. Por tanto, se tiene que f(t)<\/sub>(x(t)<\/sub>)=0. Derivando esta expresi\u00f3n con respecto al tiempo se obtiene una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria para x(t)<\/sub>. Como adem\u00e1s tenemos las condiciones iniciales dadas por x(0)<\/sub>, podemos seguir la curva x(t) <\/sub>utilizando m\u00e9todos est\u00e1ndar de ecuaciones diferenciales para aproximar la soluci\u00f3n x(1) <\/sub>de f(1)<\/sub>. En la pr\u00e1ctica, se combinan un m\u00e9todo tipo Runge-Kutta o Euler con el m\u00e9todo de Newton para mantenernos cerca del camino. Esta t\u00e9cnica de pasar al espacio producto se remonta a la desingularizaci\u00f3n de Room-Kempf, utilizada desde los a\u00f1os 40 del pasado siglo por los Ge\u00f3metras Algebraicos.<\/li>\n<\/ol>\n

      \u00a0<\/p>\n

      Claro, para que todo esto funcione hay que precisar muchas cosas: el m\u00e9todo que se usa para resolver la ecuaci\u00f3n diferencial, la existencia de un levantamiento, y el par inicial\u00a0 (f(0)<\/sub>,x(0)<\/sub>). Con la experiencia de muchos a\u00f1os, los matem\u00e1ticos han ido programando m\u00e9todos que realizan esta labor y que funcionan muchas veces. \u00a1Sin embargo, no es f\u00e1cil garantizar que de hecho vayan a funcionar, ni que vayan a dar la respuesta buscada! El estudio matem\u00e1tico de algoritmos busca clarificar los puntos oscuros que aparecen siempre que un m\u00e9todo se utiliza sin que su buen funcionamiento est\u00e9 claramente justificado y garantizado por un teorema. En este contexto, se busca evitar un escenario de cruce de soluciones como el que aparece en la figura 1.<\/p>\n

      \"\"<\/a>
      Figura 1<\/figcaption><\/figure>\n

      <\/a><\/p>\n

      <\/dl>\n

      Durante la d\u00e9cada de los 80, muchos autores se dedicaron a analizar este m\u00e9todo de resoluci\u00f3n, tratando de explotar un uso inteligente del operador de Newton. Podemos citar a E. L. Allgower, K. Georg, A. Morgan, C. B. Garcia, W. I. Zangwill y J. Renegar entre muchos otros. Sin embargo, la aportaci\u00f3n esencial vino de la mano de la colaboraci\u00f3n entre Michael Shub y Stephen Smale. Su principal aportaci\u00f3n es que encuentran y analizan al detalle una cantidad (el n\u00famero de condicionamiento no lineal), con fuerte significado m\u00e9trico y geom\u00e9trico, que controla permite controlar ese proceso de \u201caproximar la curva (f(t)<\/sub>,x(t)<\/sub>)\u201d, y adem\u00e1s (a un nivel m\u00e1s t\u00e9cnico) contiene informaci\u00f3n sobre las propiedades intr\u00ednsecas de las soluciones aproximadas.\u00a0<\/p>\n

      El caso univariado se resuelve a satisfacci\u00f3n (con un algoritmo tratable) ya a mediados de los a\u00f1os 80, fruto de esta colaboraci\u00f3n entre M. Shub y S. Smale. A finales de los 80 quedaba el gran salto cualitativo del paso al caso multivariado: n ecuaciones polinomiales en n inc\u00f3gintas.<\/p>\n

      \"\"<\/a>
      Steve Smale<\/figcaption><\/figure>\n

      M. Shub y S. Smale ponen manos a la obra en una excelente serie de trabajos (popularmente conocidos como B\u00e9zout I a B\u00e9zout V) en la que fundamentan lo esencial del comportamiento y complejidad de los algoritmos para la resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones polinomiales por m\u00e9todos num\u00e9ricos, basados en deformaciones homt\u00f3picas. Sin embargo, no consiguen culminar su programa, abandonando en 1993 el objetivo de generalizar al caso multivariado lo ya obtenido por ellos mismos en el caso univariado a mediados de los 80. Surge as\u00ed, por ejemplo, la Conjetura de Shub y Smale a\u00fan irresuelta.<\/p>\n

      A finales del pasado siglo Smale elabora su famosa lista de 18 problemas (a imitaci\u00f3n de la famosa lista de Hilbert) entre los que se incluyen problemas como la Conjetura de Cook o la Conjetura de Poincar\u00e9 y, entre ellos, enuncia el problema decimos\u00e9ptimo:<\/p>\n

      PROBLEM 17:<\/p>\n

      \u201cCan a zero of n complex polynomial equations in n unknowns be found approximately, on the average, in polynomial time with a uniform algorithm?<\/em><\/p>\n

      El punto m\u00e1s delicado es la elecci\u00f3n de (f(0)<\/sub>,x(0)<\/sub>): \u00bfc\u00f3mo podemos elegirlos para garantizar que siempre \u2013o casi siempre- existir\u00e1 el levantamiento y ser\u00e1 f\u00e1cil de seguir? La existencia del levantamiento puede verse gr\u00e1ficamente en la figura 2: el conjunto de puntos S’ (los pares donde la matriz diferencial no tiene rango m\u00e1ximo) es lo que nos puede causar problemas, por lo que si queremos garantizar que no tendremos problemas los sistemas deben moverse fuera de S (la proyecci\u00f3n de S’).<\/p>\n

      \"\"<\/a>
      Figura 2<\/figcaption><\/figure>\n

      Hacemos ahora un peque\u00f1o resumen hist\u00f3rico de los resultados de las dos \u00faltimas d\u00e9cadas en esta direcci\u00f3n:<\/p>\n

        \n
      1. En su trabajo de 1993, Shub y Smale demostraron que, fijado n y una lista de grados de los polinomios, existe un par inicial (f(0),x(0)) que garantiza que casi siempre el m\u00e9todo\u00a0 de homotop\u00eda descrito arriba funcionar\u00e1 correctamente. Desgraciadamente su prueba es puramente existencial y su resultado no implica la existencia de un algoritmo propiamente dicho. En su Conjetura final (1993), sugieren un par inicial que podr\u00eda satisfacer esas propiedades milagrosas. Esta Conjetura sigue abierta.<\/li>\n
      2. El problema qued\u00f3 abandonado durante 15 a\u00f1os. En el a\u00f1o 2006 Beltr\u00e1n y Pardo anuncian que disponen de un algoritmo probabilista, uniforme que resuelve en tiempo polinomial la mayor\u00eda (en t\u00e9rminos probabil\u00edsticos, con gran probabilidad) de los sistemas de n ecuaciones polinomiales con n inc\u00f3gnitas. El resultado final se publicar\u00e1 en 2008.\u00a0 La novedad consiste en abandonar, moment\u00e1neamente, la b\u00fasqueda de un par inicial milagroso y sustituirlo por un m\u00e9todo de dise\u00f1o de un conjunto de pares iniciales (llamado cuestor) y probar que una elecci\u00f3n aleatoria de pares en ese conjunto produce un buen par inicial con alta probabilidad.<\/li>\n
      3. Posteriormente, publicado en 2009, estos mismos autores combinan el m\u00e9todo de deformaci\u00f3n homot\u00f3pica del \u00faltimo trabajo de Shub y Smale (B\u00e9zout V) con el m\u00e9todo de selecci\u00f3n aleatoria de pares y consiguen demostrar la primera respuesta positiva al Problema 17 de Smale: existe un algoritmo uniforme que resuelve n ecuaciones polinomiales en n inc\u00f3gnitas en tiempo promedio polinomial.<\/li>\n
      4. Este resultado produjo un fuerte impacto en la comunidad de especialistas en complejidad de algoritmos num\u00e9ricos, renaciendo el inter\u00e9s por este problema. As\u00ed, M. Shub redise\u00f1a el m\u00e9todo de deformaci\u00f3n homot\u00f3pica, esto es la forma de seguir el camino (f(t)<\/sub>,x(t)<\/sub>), a trav\u00e9s de una nueva cota del n\u00famero de pasos (es el trabajo B\u00e9zout VI, publicado en 2009): la longitud en la m\u00e9trica del condicionamiento. A partir de la nueva cota, surge la necesidad de fijar el algoritmo. Pronto, \u00e9l mismo y otros autores se interesan en el dise\u00f1o de buenos m\u00e9todos de continuaci\u00f3n: C. Beltr\u00e1n, P. Burgisser, F. Cucker, J.-P. Dedieu, A. Leykin y G. Malajovich, con diversas contribuciones que aparecer\u00e1n a partir del a\u00f1o 2011. Ahora mismo se puede decir que la forma de aproximar el camino (f(t)<\/sub>,x(t)<\/sub>) una vez que se ha fijado el par inicial (f(0)<\/sub>,x(0)<\/sub>) se entiende completa, o casi completamente.<\/li>\n
      5. Simult\u00e1neamente a la aparici\u00f3n de B\u00e9zout VI, Beltr\u00e1n y Pardo refinar\u00e1n sus trabajos del 2006 al 2009, obteniendo un nuevo algoritmo m\u00e1s r\u00e1pido y de m\u00e1s sencilla implementaci\u00f3n, publicado en 2011, que se puede considerar el \u201cestado del arte\u201d en lo que se refiere a la elecci\u00f3n del par inicial actualmente. Avances posteriores, aunque publicados antes, por Beltr\u00e1n y Shub (Bez\u00f3ut VII) analizan otras cantidades como la varianza del tiempo de ejecuci\u00f3n del m\u00e9todo.<\/li>\n<\/ol>\n

        La forma de elegir el par inicial propuesta por Beltr\u00e1n y Pardo es:<\/p>\n

          \n
        1. Primero se demuestra que si se elige un sistema\u00a0 f(0) <\/sub>al azar (con respecto una cierta distribuci\u00f3n de probabilidad) y entonces se elige al azar una soluci\u00f3n x(0)<\/sub> de f(0)<\/sub> (dando a todas la misma posibilidad de ser elegidas), entonces el par (f(0)<\/sub>,x(0)<\/sub>) es, con alta probabilidad, un buen candidato para par inicial del m\u00e9todo de homotop\u00eda.<\/li>\n
        2. Para el lector quedar\u00e1 claro que el primer punto no resuelve el problema: escoger un cero\u00a0 al azar de un sistema de ecuaciones elegido al azar parece una tarea dif\u00edcil, sobre todo porque se supone que estamos intentando aprender a resolver sistemas de ecuaciones… Uno puede pensar al rev\u00e9s: escojamos primero una soluci\u00f3n y luego un sistema (usando que los sistemas que se anulan en un determinado lugar son un subespacio lineal del conjunto total de sistemas). Lamentablemente este proceso no funciona. Sin embargo, hay una alternativa que s\u00ed que funciona. El proceso es dif\u00edcil de explicar en pocas palabras, pero b\u00e1sicamente funciona como sigue: primero se escoge al azar una matriz de n filas y n+1 columnas. Con probabilidad uno, su n\u00facleo tiene dimensi\u00f3n 1. Tomamos un representante de ese n\u00facleo como nuestra soluci\u00f3n x(0)<\/sub>, y tomamos f(0)<\/sub> tal que su \u201cparte lineal\u201d est\u00e1 representada por la matriz que escogimos, a\u00f1adiendo un t\u00e9rmino no-lineal elegido al azar.\u00a0 Se puede demostrar que este proceso, sencillo de implementar en un ordenador, es equivalente a elegir un cero al azar de un sistema de ecuaciones elegido al azar.<\/li>\n<\/ol>\n

          Con algunos detalles t\u00e9cnicos m\u00e1s, se completa as\u00ed el esquema a seguir en los m\u00e9todos de homotop\u00eda, y este m\u00e9todo encontrar\u00e1 aproximadamente un cero de un sistema dado, \u201cr\u00e1pidamente\u201d (esto es, en un tiempo cuadr\u00e1tico en el tama\u00f1o input) en media. Este es el algoritmo m\u00e1s eficiente existente hasta la fecha para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales. Burgisser y Cucker han propuesto una alternativa que evita la elecci\u00f3n al azar a cambio de perder un poco de rapidez en la ejecuci\u00f3n del algoritmo. \u00a1La veda est\u00e1 abierta para tratar de encontrar pares iniciales que garanticen una ejecuci\u00f3n del algortimo tan r\u00e1pida como sea posible!<\/p>\n

          La pr\u00e1ctica, como sucede con muchos m\u00e9todos num\u00e9ricos, va muy por delante de la teor\u00eda y, si el usuario est\u00e1 dispuesto a admitir un cierto grado (razonable en muchos casos) de incertidumbre en los c\u00e1lculos entonces puede utilizar alguno de los paquetes de software que implementan el m\u00e9todo de homotop\u00eda de forma r\u00e1pida (aunque sin garant\u00eda total ni an\u00e1lisis de complejidad). Los paquetes m\u00e1s populares son HOM4PS2<\/a>, Bertini<\/a>, PHCpack<\/a> y NAG4M2<\/a> (estos dos \u00faltimos se pueden usar con el paquete matem\u00e1tico de software abierto Macaulay2<\/a>).<\/p>\n

          <\/dl>\n

          <\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          El Premio de Investigaci\u00f3n Jos\u00e9 Luis Rubio de Francia, que otorga anualmente la Real Sociedad Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, ha sido concedido en 2010 a Carlos Beltr\u00e1n \u00c1lvarez, de la Universidad de Cantabria, por, entre otros resultados, la resoluci\u00f3n junto a Luis Miguel Pardo del problema 17 del famoso listado propuesto por Steve Smale al finalizar el pasado siglo, y cuyo enunciado es: \u00bfPuede encontrarse un cero de n ecuaciones polinomiales complejas, por medio de un algoritmo uniforme en tiempo polinomial en promedio? En esta entrada del blog, Carlos Beltr\u00e1n y Luis Miguel Pardo nos ofrecen un resumen de su trabajo. \u00a0\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nC\u00f3mo se resuelve un sistema de ecuaciones: historia reciente y estado del arte - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2011\/07\/20\/133049\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"C\u00f3mo se resuelve un sistema de ecuaciones: historia reciente y estado del arte - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"El Premio de Investigaci\u00f3n Jos\u00e9 Luis Rubio de Francia, que otorga anualmente la Real Sociedad Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, ha sido concedido en 2010 a Carlos Beltr\u00e1n \u00c1lvarez, de la Universidad de Cantabria, por, entre otros resultados, la resoluci\u00f3n junto a Luis Miguel Pardo del problema 17 del famoso listado propuesto por Steve Smale al finalizar el pasado siglo, y cuyo enunciado es: \u00bfPuede encontrarse un cero de n ecuaciones polinomiales complejas, por medio de un algoritmo uniforme en tiempo polinomial en promedio? 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