{"id":135043,"date":"2012-10-15T07:02:52","date_gmt":"2012-10-15T06:02:52","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=135043"},"modified":"2012-10-15T07:02:52","modified_gmt":"2012-10-15T06:02:52","slug":"la-logica-mas-alla-de-lo-logico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2012\/10\/15\/135043","title":{"rendered":"La l\u00f3gica m\u00e1s all\u00e1 de lo l\u00f3gico"},"content":{"rendered":"

Se acerca el Simposio Internacional de Alan Turing organizado por la Real Academia de Ciencias, que traer\u00e1 a la Fundaci\u00f3n Areces a expertos mundiales en las ramas de la ciencia de las que fue precursor el matem\u00e1tico ingl\u00e9s. Inteligencia Artificial, computaci\u00f3n, l\u00f3gica, criptograf\u00eda, matem\u00e1ticas aplicadas a la biolog\u00eda\u2026 aun hoy, casi sesenta a\u00f1os despu\u00e9s de su muerte, todos estos campos siguen estando tremendamente influidos por el trabajo visionario de Turing. <\/strong><\/p>\n

\u00a0Durante estas semanas estamos haciendo una breve introducci\u00f3n de algunos de estos temas y de su representaci\u00f3n en el congreso, destacando los ponentes que transmitir\u00e1n la importancia del legado de Turing en sus respectivos campos. Seguimos con sus investigaciones m\u00e1s profundas: los l\u00edmites del quehacer matem\u00e1tico.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a>\u00a0<\/strong><\/p>\n

Recordamos que todav\u00eda est\u00e1 abierto el periodo de subscripci\u00f3n (gratuita) para el Simposio, que tendr\u00e1 lugar los d\u00edas 23 y 24 de octubre. Se puede rellenar el formulario de <\/strong>inscripci\u00f3n<\/strong><\/a> en la p\u00e1gina web de la Fundaci\u00f3n Areces.<\/strong><\/p>\n

Alan Turing no solo fue fundamental en los inicios de la computaci\u00f3n, sino que tambi\u00e9n tuvo un papel protagonista en el estudio de sus l\u00edmites. En el propio dise\u00f1o ya observaba que aquello no era infalible.<\/p>\n

En 1935 formul\u00f3 el Teorema de la Parada, que equivale al teorema de Incompletitud de G\u00f6del, pero formulado con m\u00e1quinas de c\u00f3mputo.<\/p>\n

Seg\u00fan los teoremas de incompletitud de G\u00f6del, en \u2019cualquier\u2019 teor\u00eda matem\u00e1tica hay formulas que aunque intuitivamente parezcan ciertas no son demostrables en el sistema original.<\/p>\n

Tras dise\u00f1ar su famosa M\u00e1quina de Turing, consigui\u00f3\u0301 demostrar \u00e9sta era capaz de realizar casi cualquier c\u00e1lculo, si se la dejaba trabajar un numero suficiente de pasos y se hab\u00edan preparado de forma correcta sus estados,<\/p>\n

Sin embargo, empez\u00f3 a plantearse si, efectivamente, podr\u00eda tratar con cualquier entrada. Llego\u0301 a la siguiente pregunta, llamada \u2018El problema de la parada\u2019:<\/p>\n

Antes de poner la ma\u0301quina en marcha, \u00bfse pod\u00eda determinar mediante un algoritmo si llegar\u00eda a un resultado satisfactorio?.<\/em><\/p>\n

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El teorema de la parada<\/strong><\/p>\n

Turing demostr\u00f3 que la respuesta es negativa, es decir, que no siempre es posible hacer esa predicci\u00f3n. Para ello, utiliz\u00f3 la demostraci\u00f3n por reducci\u00f3n al absurdo (se prueba que una proposici\u00f3n matem\u00e1tica es verdadera probando que si no lo fuera conducir\u00eda a una contradicci\u00f3n).<\/p>\n

Manuel Alfonseca (Universidad Aut\u00f3noma de Madrid) da, en el blog del A\u00f1o de Turing de El Pa\u00eds, una demostraci\u00f3n intuitiva del teorema de la parada:<\/p>\n

\u201c1. Supongamos que el problema de la parada tiene soluci\u00f3n.<\/p>\n

2. Entonces, es posible programar una m\u00e1quina de Turing para resolverlo. Sus datos de entrada ser\u00e1n la descripci\u00f3n de la m\u00e1quina de la que queremos predecir si se para, y los datos de entrada de esta. La m\u00e1quina contestar\u00e1 SI (si la otra m\u00e1quina se va a parar con esos datos) o NO (si no se va a parar con esos datos).<\/p>\n

3. Modificamos la construcci\u00f3n de la m\u00e1quina que resuelve el problema de la parada. En vez de contestar SI, hacemos que se meta en un bucle del que no pueda salir. Cuando tenga que contestar NO, hacemos que se pare. (Este cambio es muy sencillo).<\/p>\n

4. Por \u00faltimo, le damos a esta m\u00e1quina la descripci\u00f3n de ella misma y le preguntamos si se para o no. Con la modificaci\u00f3n que hemos hecho, si la m\u00e1quina se va a parar, en vez de responder SI debe meterse en un bucle, es decir, no se debe parar. Si no va a pararse, debe pararse. Pero esto es una contradicci\u00f3n. Luego la hip\u00f3tesis inicial es falsa. Luego el problema de la parada no tiene soluci\u00f3n.\u201d<\/p>\n

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Implicaciones<\/strong><\/p>\n

Por tanto no hab\u00eda forma de esquivar los resultados de G\u00f6del. Las matem\u00e1ticas eran un montaje intelectual y no ten\u00edan m\u00e1s trascendencia metaf\u00edsica que el ajedrez.<\/p>\n

En 1938 Turing volvi\u00f3 a explorar el concepto de \u2018incomputable\u2019 en su tesis que defendi\u00f3 en Princeton en 1939 con el t\u00edtulo \u2018Sistemas L\u00f3gicos Basados en Ordinales\u2019.<\/p>\n

La situaci\u00f3n de \u2018indecibilidad\u2019 de la matem\u00e1tica incomodaba a Turing y a muchos de sus colegas, y con su teor\u00eda de \u2018l\u00f3gicas ordinales\u2019 intent\u00f3 \u2018evitar lo m\u00e1ximo posible los efectos de la Teor\u00eda de G\u00f6del\u2019, estudiando el efecto de a\u00f1adir una proposici\u00f3n verdadera pero formalmente indemostrable de G\u00f6del como axioma para crear l\u00f3gicas m\u00e1s fuertes. Al final, no lleg\u00f3 a ninguna conclusi\u00f3n definitiva.<\/p>\n

En estos trabajos Turing introdujo el concepto de \u2018or\u00e1culo\u2019, es decir, de una especie de componente m\u00e1gica que era capaz de realizar operaciones incomputables. Va m\u00e1s all\u00e1 de cualquier unidad elemental de un ordenador moderno, ya que es infinitamente m\u00e1s potente. Llam\u00f3 \u2018m\u00e1quinas or\u00e1culo\u2019 a aquellas m\u00e1quinas que inclu\u00edan esta capacidad y que, por tanto, dejaron de ser puramente mec\u00e1nicas, ya que, justamente el inter\u00e9s en esta construcci\u00f3n resid\u00eda en explorar aquello que no se pod\u00eda realizar con procesos mec\u00e1nicos.<\/p>\n

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El or\u00e1culo como la intuici\u00f3n matem\u00e1tica<\/strong><\/p>\n

La caracter\u00edstica definitoria del or\u00e1culo de Turing es que no puede ser una m\u00e1quina. Puede ser considerado una herramienta matem\u00e1tica, que permite formular preguntas acerca de la computabilidad relativa, m\u00e1s que de la absoluta.<\/p>\n

Con ello, abri\u00f3 nuevas v\u00edas de investigaci\u00f3n en l\u00f3gica, pero tambi\u00e9n tuvo implicaciones en el estudio y el conocimiento de la capacidad cognitiva de los seres humanos.<\/p>\n

En una interpretaci\u00f3n el or\u00e1culo se relaciona con la intuici\u00f3n humana que permite ver la verdad en una proposici\u00f3n indemostrable de G\u00f6del. Es \u2018tener una idea\u2019, frente a \u2018usar un m\u00e9todo mec\u00e1nico\u2019.<\/p>\n

Aun as\u00ed, el or\u00e1culo es demasiado poderoso para ser identificado realmente con ninguna capacidad humana, ya que resuelve operaciones incomputables. La idea dio pie a teor\u00edas casi propias de la Ciencia Ficci\u00f3n, como las del matem\u00e1tico Roger Penrose, que lleg\u00f3 a afirmar que la habilidad de la mente para ver verdades indemostrables formalmente muestra que tienen que haber operaciones f\u00edsicas\u00a0 incomputables en el cerebro.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

En el simposio<\/strong><\/p>\n