{"id":135694,"date":"2013-02-07T23:08:37","date_gmt":"2013-02-07T22:08:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=135694"},"modified":"2013-02-08T11:15:14","modified_gmt":"2013-02-08T10:15:14","slug":"hallado-un-numero-primo-de-mas-de-17-millones-de-cifras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2013\/02\/07\/135694","title":{"rendered":"Hallado un n\u00famero primo de m\u00e1s de 17 millones de cifras"},"content":{"rendered":"

Hace unos d\u00edas se ha descubierto el \u00faltimo primo de Mersenne: M57.885.161 <\/sub>= 257.885.161 <\/sup>– 1. Este n\u00famero, que tiene m\u00e1s de 17 millones de cifras es el primo m\u00e1s grande que se conoce por el momento. Ha sido hallado por\u00a0 Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri<\/a>, aunque es\u00a0 resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet\u00a0 Mersenne Prime Search). Javier Cilleruelo y Juanjo Ru\u00e9, investigadores del ICMAT, hablan de la b\u00fasqueda de primos al hilo de este acontecimiento.<\/strong><\/p>\n

Desde los tiempos de Euclides <\/strong>sabemos que la lista de los n\u00fameros primos es infinita. Su argumento, que aparece el\u00a0 libro IX de su obra \u201cLos Elementos<\/strong>\u201d, fue el siguiente: si\u00a0p1 <\/sub>, \u2026, pk<\/sub><\/em> fuese la lista completa de todos los primos, el n\u00famero N= p1 <\/sub>\u00b7\u00b7\u00b7 pk <\/sub><\/em>+ 1 no ser\u00eda divisible por ninguno de los primos de la lista y por lo tanto tendr\u00eda que ser un nuevo n\u00famero primo.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Euclides, 325 – 265 a. C<\/figcaption><\/figure>\n

No se conoce ninguna sucesi\u00f3n infinita \u201csencilla\u201d que conste \u00fanicamente de n\u00fameros primos y comprobar si un n\u00famero dado es primo requiere algoritmos que son muy costosos en t\u00e9rminos computacionales a medida que el tama\u00f1o del n\u00famero aumenta. Estos algoritmos, que se conocen como tests de primalidad<\/strong>, son sin embargo mucho m\u00e1s eficientes para algunas familias especiales de n\u00fameros.<\/p>\n

Una de estas familias la constituyen\u00a0 los n\u00fameros que son de la forma Mp<\/sub><\/em>= 2p<\/sup><\/em>-1 con\u00a0 p<\/em> primo. Estos n\u00fameros, cuando son primos, se denominan primos de Mersenne<\/strong>. Es f\u00e1cil demostrar que si n<\/em>es compuesto entonces 2n<\/sup><\/em> \u2013 1 tambi\u00e9n es compuesto, pero no siempre que p <\/em>es primo\u00a0 2p<\/sup><\/em>– 1 lo es. Por ejemplo, 211<\/sup> \u2013 1 = 23 \u00b7 89.<\/p>\n

Los primeros n\u00fameros de Mersenne son<\/p>\n

M2 <\/sub>= 3, M3<\/sub> = 7, M5 <\/sub>= 31, M7 <\/sub>= 127, M13 <\/sub>= 8191, M17 <\/sub>= 131071<\/p>\n

El \u00faltimo primo, descubierto el 25 de enero de 2013, tambi\u00e9n pertenece a esta familia:<\/p>\n

M57.885.161 <\/sub>= 257.885.161 <\/sup>– 1<\/p>\n

Tiene m\u00e1s de 17 millones de cifras y es el primo m\u00e1s grande que se conoce. El anterior, descubierto hace 5 a\u00f1os, ten\u00eda 12 millones de cifras y tambi\u00e9n era un primo de Mersenne.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Marin Mersenne, 1588-1648<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Los primos de Mersenne son adem\u00e1s interesantes por su conexi\u00f3n con los n\u00fameros perfectos<\/strong>. Un n\u00famero perfecto es aquel que es suma de sus divisores propios. Los dos primeros n\u00fameros perfectos pares son<\/p>\n

6=1+2+3\u00a0\u00a0\u00a0 y\u00a0\u00a0\u00a0 28= 1+2+4+7+14<\/p>\n

Euclides ya observ\u00f3 que todos los n\u00fameros de la forma 2p-1<\/sup><\/em>(2p<\/sup><\/em>-1) son n\u00fameros perfectos cuando <\/em>2p<\/sup><\/em>-1 es primo. De hecho, todos los n\u00fameros perfectos pares son de esta forma.<\/p>\n

Se cree que existen infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, infinitos n\u00fameros perfectos pares. Pero esta conjetura ha resistido el esfuerzo de los matem\u00e1ticos durante siglos.<\/p>\n

Los n\u00fameros perfectos impares tambi\u00e9n constituyen un misterio: nadie ha encontrado ninguno pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.<\/p>\n

El proyecto GIMPS.<\/strong><\/p>\n

Volviendo al hallazgo del \u00faltimo primo de Mersenne hasta el momento, \u00bfQui\u00e9n ha encontrado este primo? \u00bfC\u00f3mo lo ha hecho?<\/p>\n

Aunque la autor\u00eda se debe a Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri<\/a>, el resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS<\/strong> (Great Internet\u00a0 Mersenne Prime Search), un proyecto en el que se puede participar libre y gratuitamente instalando el programa que proporciona GIMPS. Lo que GIMPS hace es distribuir a cada usuario un intervalo para que el ordenador de cada uno compruebe si Mp<\/sub><\/em> \u00a0es primo para alg\u00fan primo p<\/em> del intervalo asignado. En realidad, para cada p<\/em>, el ordenador comprueba primero si Mp<\/sub><\/em> \u00a0es divisible por alg\u00fan primo peque\u00f1o. Eso va a ocurrir casi siempre. De no ser as\u00ed, Mp<\/sub><\/em> pasa a ser un candidato a n\u00famero primo y se procede a aplicar un test infalible denominado el test de Lucas-Lehmer<\/strong>.<\/p>\n

El test consiste en calcular los elementos de la sucesi\u00f3n s<\/em>0<\/sub> = 4, s<\/em>i <\/sub>= s2<\/sup>i<\/sub><\/span>-1<\/sub> – 2 para i\u00a0 <\/em>> 0,\u00a0 y concluye que Mp<\/sub><\/em> \u00a0es primo si y s\u00f3lo si sp<\/sub><\/em>-2<\/sub> es divisible por\u00a0Mp<\/sub><\/em> .<\/p>\n

Cooper ha recibido la recompensa de 3.000 $ que el proyecto GIMPS concede al afortunado descubridor de un nuevo record. Hay adem\u00e1s una recompensa extra de 150.000 $ para quien encuentre un primo con m\u00e1s de 100 millones de cifras, una manera muy digna de obtener un sobresueldo.<\/p>\n

Entre los investigadores que usualmente visitan el ICMAT y el Departamento de Matem\u00e1ticas de la UAM, se encuentra el profesor Pedro Berrizbeitia<\/strong>, de la universidad Sim\u00f3n Bolivar (Venezuela), que es una de las mayores autoridades en tests de primalidad. Pedro Berrizbeitia ha encontrado nuevos test de primalidad muy r\u00e1pidos para familias m\u00e1s generales de n\u00fameros. En particular mejor\u00f3 el famoso algoritmo AKS<\/strong>, que tiene un coste computacional de orden polinomial en el n\u00famero de d\u00edgitos.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 utilidad tiene encontrar primos grandes?<\/strong><\/p>\n

El descubrimiento de este n\u00famero primo no constituye un hito matem\u00e1tico de relevancia. No hay nada que ahora se entienda mejor que antes sobre los primos. \u00a0Pero cualquier matem\u00e1tico presumir\u00eda, con raz\u00f3n, de tener el honor de haber descubierto un n\u00famero primo m\u00e1s grande mayor que todos los anteriores conocidos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
L. Euler 1707-1783<\/figcaption><\/figure>\n

Entre los matem\u00e1ticos notables que consiguieron el primo m\u00e1s grande en su momento figura L. Euler, que en 1772 demostr\u00f3 que el n\u00famero<\/p>\n

2<\/em>31<\/sup>\u00a0\u2212\u00a01 =2147483647<\/p>\n

es primo. Este n\u00famero fue el primo m\u00e1s grande que se conoci\u00f3 hasta 1867.<\/p>\n

Cabe comentar en estas l\u00edneas que la oficina postal de Urbana (Illinois)\u00a0 utiliz\u00f3 un matasellos para celebrar el descubrimiento de un nuevo record obtenido por Donald B. Gillies en la universidad de Illinois.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Podr\u00eda parecer por lo comentado anteriormente que el descubrimiento de primos grandes es simplemente un divertimento para satisfacer la vanidad de algunos matem\u00e1ticos. Pero nada m\u00e1s lejos de la realidad. Adem\u00e1s de las teor\u00edas matem\u00e1ticas que ha impulsado, el conseguir fabricar muchos n\u00fameros primos grandes es una necesidad hoy en d\u00eda. Los primos grandes se utilizan en los sistemas criptogr\u00e1ficos y son los que nos permiten encriptar los mensajes, realizar transacciones comerciales con seguridad, etc.<\/p>\n

————————-<\/p>\n

Javier Cilleruelo<\/strong> (ICMAT-UAM) y Juanjo Ru\u00e9<\/strong> (ICMAT)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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