{"id":136813,"date":"2013-08-31T05:30:31","date_gmt":"2013-08-31T04:30:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=136813"},"modified":"2013-08-30T15:03:04","modified_gmt":"2013-08-30T14:03:04","slug":"la-conjetura-de-gian-carlo-rota-resuelta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2013\/08\/31\/136813","title":{"rendered":"La conjetura de Gian-Carlo Rota, resuelta"},"content":{"rendered":"

Esta semana se ha anunciado en diferentes medios de comunicaci\u00f3n que los investigadores <\/strong>Jim Geelen<\/a><\/strong> (University of Waterloo<\/a>, Canad\u00e1), <\/strong>Bert Gerards<\/a><\/strong> (Centrum Wiskunde & Informatica<\/a>, Pa\u00edses Bajos) y <\/strong>Geoff Whittle <\/a><\/strong>(<\/strong>Victoria University<\/a><\/strong>, Wellington, Nueva Zelanda) \u00a0hab\u00edan demostrado la conjetura de Gian-Carlo Rota, tras 15 a\u00f1os de intenso trabajo. <\/strong>Aunque este largo trabajo de colaboraci\u00f3n no ha terminado a\u00fan, ya que quedan a\u00fan por delante a\u00f1os de trabajo para escribir los detalles, ya hay disponible una versi\u00f3n del art\u00edculo<\/a> en Internet. Marta Macho, de la Universidad del Pa\u00eds Vasco (EHU-UPV), presenta el resultado.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a>
Gian-Carlo Rota en el Congreso de Niza, 1970<\/figcaption><\/figure>\n

En el Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos (ICM en sus siglas inglesas) de Niza de 1970, el matem\u00e1tico y fil\u00f3sofo Gian-Carlo Rota<\/span> conjetur\u00f3:<\/p>\n

La familia de matroides que pueden representarse sobre un cuerpo finito tiene una cantidad finita de menores excluidos.<\/em><\/p><\/blockquote>\n

En el blog The Matroid Union<\/a> se explican con detalle todas las nociones involucradas en el enunciado de esta conjetura, \u00a0enmarcada \u00a0en el \u00e1rea de la combinatoria. De manera informal, una matroide es una estructura que captura y generaliza la noci\u00f3n de independencia lineal en un espacio vectorial.<\/p>\n

Hassler Whitney introdujo en 1935 la noci\u00f3n de matroide [On the abstract properties of linear dependence<\/em>, Amer. J. Math., 57, 509-533] \u00a0buscando una relaci\u00f3n entre el \u00e1lgebra lineal y la teor\u00eda de grafos, basada en el concepto de dependencia lineal.<\/p>\n

……………………………………………<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n lo explica de la siguiente manera:<\/p>\n

El concepto de matroide es muy simple y el siguiente ejemplo lo muestra claramente.<\/em><\/p>\n

Consideremos la matriz:<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a><\/em><\/p>\n

\u00a0<\/em><\/p>\n

y etiquetemos las columnas como C1, C2, C3, C4, C5, C6 y C7.<\/em><\/p>\n

Ahora buscamos todas las colecciones de columnas entre estas 7 que contengan como mucho tres de esas columnas (la matriz es 3×3) y que estas sean linealmente independientes. Podemos eliminar por supuesto la s\u00e9ptima columna porque est\u00e1 formada por ceros.<\/em><\/p>\n

Tras un sencillo calculo, encontramos que todos los conjuntos de tres columnas, excepto los subconjuntos {C1, C2, C4}, {C2, C3, C5}, {C2, C3, C6} y todos aquellos que contengan las columnas C5 y C6 (porque estas son iguales y por lo tanto dependientes entre si), son linealmente independientes. Consideramos el subconjunto I de todas esas colecciones de columnas y tambi\u00e9n el conjunto E = {C1, C2, C3, C4, C5, C6}. El par (E, I) es un matroide.<\/em><\/p>\n

Lo que Whitney hizo despu\u00e9s fue analizar las propiedades fundamentales de este tipo de estructuras (el conjunto I no es vac\u00edo, es hereditario en el sentido de que cualquier subconjunto de un elemento de I est\u00e1 tambien en I, y una tercera propiedad que nos dice que dados dos elementos de I que difieren en una unidad en su cardinalidad, se le puede a\u00f1adir un elemento de la diferencia de los dos subconjuntos al menor y el resultado sigue siendo un elemento de I).<\/em><\/p>\n

Un aspecto curioso de la noci\u00f3n de matroide concierne precisamente a este nombre. Rota le dio el nombre de geometr\u00eda a este concepto, e intent\u00f3 que ese nombre se impusiera. De hecho,en 1973 escribi\u00f3: \u201dSe han usado varios nombres en lugar de geometr\u00eda; estil\u00edsticamente van desde lo grotesco a lo pat\u00e9tico. El \u00fanico (t\u00e9rmino utilizado en lugar de geometr\u00eda) que sobrevive es \u00abmatroid\u00bb, que sigue siendo utilizado en reductos de la tradicionalista Commonwealth Brit\u00e1nica\u201d. Pero parece que el termino matroide se ha impuesto.<\/em><\/p>\n

……………………………………………<\/p>\n

Desde entonces, la noci\u00f3n de matroide se ha generalizado, y en particular, la conjetura de Rota trata sobre las obstrucciones a la representabilidad de esta estructura sobre cuerpos finitos.<\/p>\n

La conjetura se hab\u00eda resuelto en algunos casos particulares. Por ejemplo, el famoso matem\u00e1tico William T. Tutte demostr\u00f3 en 1965 que las matroides binarias \u2013representables sobre el cuerpo de dos elementos\u2013 tienen un \u00fanico menor excluido. La resoluci\u00f3n del caso de matroides sobre el cuerpo con 4<\/a> elementos supuso para sus autores \u2013J. Geelen, M. H. Gerards y A. Kapoor\u2013 la concesi\u00f3n del Premio Fulkerson<\/a> en 2003.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Jim Geelen, Bert Gerards y Geoff White<\/figcaption><\/figure>\n

Geoff Whittle ya hab\u00eda revelado a unos colegas en una reciente visita al Reino Unido, que los elementos fundamentales de la prueba estaban superados. Este largo trabajo de colaboraci\u00f3n no ha terminado a\u00fan: seg\u00fan confesaba en una entrevista, quedan a\u00fan por delante a\u00f1os de trabajo para escribir los detalles.<\/p>\n

http:\/\/youtu.be\/Lw8D15amE_4<\/a><\/h1>\n

Entrevista a Geoff White<\/h1>\n

En el preprint Structure in Minor-Closed Classes of Matroids<\/em><\/a>, <\/em>Geelen, Gerards y White describen los ingredientes involucrados en el enunciado de la conjetura.<\/p>\n

M\u00e1s informaci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n

[1] Gian-Carlo Rota, Combinatorial theory, old and new<\/em><\/a>, Actes du Congr\u00e8s International des Math\u00e9maticiens (Nice, 1970), Tome 3, Gauthier-Villars, 229\u2013233, 1971.<\/p>\n

[2] Rota\u2019s Conjecture proven!<\/a>, The Matroid Union, 22 de agosto de 2013 (con extensas explicaciones sobre la conjetura)<\/p>\n

[3] Victoria researcher solves 40 year-old math problem<\/span>, Victoria University, 15 de agosto 2013<\/p>\n

[4] Rota\u2019s Conjecture: Researcher solves 40-year-old math problem<\/span>, Phys. Org, 15 de agosto de 2013<\/p>\n

[5] CWI researcher proves famous Rota\u2019s Conjecture<\/span>, CWI, 22 de agosto 2013<\/p>\n

[6] Waterloo mathematician solves 40-year-old problem<\/span>, University of Waterloo, 28 de agosto de 2013<\/p>\n

_____________________________<\/p>\n

Marta Macho-Stadler<\/a> es Profesora del Departamento de Matem\u00e1ticas (Facultad de Ciencia y Tecnolog\u00eda) de la Universidad del Pa\u00eds Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea.<\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Esta semana se ha anunciado en diferentes medios de comunicaci\u00f3n que los investigadores Jim Geelen (University of Waterloo, Canad\u00e1), Bert Gerards (Centrum Wiskunde & Informatica, Pa\u00edses Bajos) y Geoff Whittle (Victoria University, Wellington, Nueva Zelanda) \u00a0hab\u00edan demostrado la conjetura de Gian-Carlo Rota, tras 15 a\u00f1os de intenso trabajo. Aunque este largo trabajo de colaboraci\u00f3n no ha terminado a\u00fan, ya que quedan a\u00fan por delante a\u00f1os de trabajo para escribir los detalles, ya hay disponible una versi\u00f3n del art\u00edculo en Internet. Marta Macho, de la Universidad del Pa\u00eds Vasco (EHU-UPV), presenta el resultado. 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