{"id":137333,"date":"2013-12-04T05:00:10","date_gmt":"2013-12-04T04:00:10","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=137333"},"modified":"2013-12-06T13:37:29","modified_gmt":"2013-12-06T12:37:29","slug":"sobre-el-articulo-diferenciacion-de-integrales-en-dimensiones-mayores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2013\/12\/04\/137333","title":{"rendered":"Sobre el art\u00edculo \u00abDiferenciaci\u00f3n de integrales en dimensiones mayores\u00bb"},"content":{"rendered":"

El\u00a0Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) quiere mostrar con su <\/strong>bolet\u00edn<\/a><\/strong><\/strong> la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro, y por ello destina una secci\u00f3n a presentar alguno de los resultados de investigaci\u00f3n de sus miembros. En el tercer n\u00famero<\/a> hablamos de \u00abDiferenciaci\u00f3n de integrales en dimensiones mayores\u00bb, un articulo de Keith Rogers y Javier Parcet publicado en la revista de impacto internacional Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Reproducimos a continuaci\u00f3n la rese\u00f1a en la\u00a0 secci\u00f3n de \u201cSelecci\u00f3n de los ICMAT Newsletter\u201d del blog.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n

T\u00edtulo: Diferenciaci\u00f3n de integrales en dimensiones mayores.<\/strong><\/p>\n

T\u00edtulo original: Differentiation of integrals in higher dimensions.<\/strong><\/strong><\/p>\n

Autores: Javier Parcet y Keith M. Rogers (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas, ICMAT).<\/strong><\/p>\n

Fecha de publicaci\u00f3n: Marzo de 2013<\/strong><\/p>\n

Fuente: Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), vol. 110, no. 13.<\/strong><\/strong><\/p>\n

DOI: www.pnas.org\/cgi\/doi\/10.1073\/pnas.1218928110<\/a><\/strong><\/strong><\/p>\n

Web: http:\/\/www.pnas.org\/content\/110\/13\/4941.abstract<\/strong><\/strong><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

El Teorema Fundamental del C\u00e1lculo de Leibniz y Newton afirma que, en una dimensi\u00f3n, diferenciar es la operaci\u00f3n inversa de integrar, es decir, que toda funci\u00f3n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Lebesgue generaliz\u00f3 el resultado a funciones no continuas. En este art\u00edculo, publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences en marzo de 2013, Javier Parcet y Keith M. Rogers, investigadores del ICMAT, analizan esta situaci\u00f3n en dimensiones mayores que uno. Empleando un argumento de densidad est\u00e1ndar, el problema se reduce a acotar los operadores maximales en direcciones.<\/p>\n

Tales operadores aparecen en distintas \u00e1reas como la teor\u00eda geom\u00e9trica de la medida o el an\u00e1lisis arm\u00f3nico, donde controlan el comportamiento de la f\u00f3rmula de inversi\u00f3n de Fourier. La transformada de Fourier codifica la informaci\u00f3n de una se\u00f1al en sus frecuencias, y su inversa, en caso de que exista, realiza el proceso contrario, es decir, reconstruye la se\u00f1al a partir de las frecuencias resultantes. Para volver a la forma original se pueden sumar las frecuencias de distintas maneras, en cubos o en bolas por ejemplo, y por tanto, en la existencia de la inversi\u00f3n entra en juego la geometr\u00eda de la superficie. En particular, los operadores maximales en las direcciones normales a la superficie son fundamentales en el an\u00e1lisis del comportamiento de esta f\u00f3rmula.
\nEl problema de caracterizar los conjuntos de direcciones para los cuales los operadores maximales direccionales est\u00e1n acotados ya estaba resuelto en dos dimensiones, donde las direcciones est\u00e1n contenidas en el c\u00edrculo unidad centrado en el origen. Parcet y Rogers analizan el caso de dimensi\u00f3n tres y superiores. En dimensi\u00f3n tres las direcciones est\u00e1n incluidas en la esfera, donde no hay un orden definido (es decir, no sabemos si una direcci\u00f3n viene antes o despu\u00e9s que otra, mientras que esta noci\u00f3n s\u00ed existe en el circulo), lo que hac\u00eda dif\u00edcil incluso imaginar la respuesta. Sin embargo, en \u00e9ste art\u00edculo los autores han caracterizado las direcciones cuyos operadores maximales asociados est\u00e1n acotados, en cualquier dimensi\u00f3n finita.<\/p>\n

Este resultado no cierra por completo el problema porque ser\u00eda deseable tener una caracterizaci\u00f3n mas descriptiva. No obstante, es la primera vez que se ha podido caracterizar de manera general, hasta ahora solo se conoc\u00edan ejemplos particulares.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Los autores<\/strong><\/p>\n

Javier Parcet<\/strong> \u00a0(Madrid, Espa\u00f1a, 1975) es Cient\u00edfico Titular del ICMAT, donde desarrolla el proyecto del Consejo Europeo de Investigaci\u00f3n (ERC) Starting Grant en \u201cNoncommutative Calder\u00f3n-Zygmund theory, operator space geometry and quantum probability\u201d, que obtuvo en 2010. Parcet se licenci\u00f3 y doctor\u00f3 en Matem\u00e1ticas por la Universidad Aut\u00f3noma de Madrid en 2003, obteniendo el Premio Nacional de Estudios Universitarios y el Premio a la Tesis Doctoral. Despu\u00e9s de tres periodos postdoctorales en Texas A & M University, la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign y Centre de Recerca Matem\u00e1tica de Barcelona, se incorpor\u00f3 al ICMAT en 2006. Entre otras distinciones, aparte de la ERC-SG, ha sido galardonado con una posici\u00f3n de Investigador Ram\u00f3n y Cajal en el 2005, as\u00ed como el premio Jos\u00e9 Luis Rubio de Francia en 2006. El \u00e1rea principal de investigaci\u00f3n de Parcet es el an\u00e1lisis arm\u00f3nico en espacios no conmutativos.\u00a0 La aparici\u00f3n de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica a principios del siglo XX -m\u00e1s en concreto la mec\u00e1nica matricial de Heisenberg- destap\u00f3 la necesidad de extender diversas teor\u00edas matem\u00e1ticas a espacios no conmutativos. Parcet se ocupa de generalizar el an\u00e1lisis arm\u00f3nico a este tipo de espacios, para lo que utiliza herramientas de otras \u00e1reas de las matem\u00e1ticas, como la probabilidad, el an\u00e1lisis funcional o la geometr\u00eda. Algunos de estos resultados tienen impacto en f\u00edsica te\u00f3rica y teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. En la investigaci\u00f3n de Parcet el an\u00e1lisis arm\u00f3nico no conmutativo se entremezcla con la probabilidad cu\u00e1ntica y la teor\u00eda del espacio de operadores. Sus resultados m\u00e1s significativos son la demostraci\u00f3n, junto al matem\u00e1tico Marius Junge (Universidad de Illinois) de dos problemas abiertos planteados por G. Pisier sobre la geometr\u00eda en espacios Lp no conmutativos y sus recientes resultados relacionados con multiplicadores de Fourier y operadores de Calder\u00f3n-Zygmund en grupos \u00e1lgebras de von Neumann, en los que trabaja dentro de su proyecto del ERC.<\/p>\n

Keith Rogers<\/strong> (Kilmarnock, Escocia, 1977) es investigador contratado con el proyecto ERC-Starting Grant \u201cRestriction of the Fourier transform with applications to the Schr\u00f6dinger and wave equations\u201d, que obtuvo en 2011. Termin\u00f3 la licenciatura de Matem\u00e1ticas en la Universidad de Edimburgo en 1999, galardonado con la medalla de Napier. En 2000 obtuvo el m\u00e1ster de la Universidad de Cambridge, recibiendo el premio del Tripos<\/em> en matem\u00e1ticas del Trinity College. En 2004 se doctor\u00f3 en la UNSW, de S\u00eddney (Australia) bajo la direcci\u00f3n del profesor Michael Cowling. Finalmente, despu\u00e9s de estancias en Pisa, Gotemburgo y la Universidad Aut\u00f3noma de Madrid se incorpor\u00f3 al ICMAT (Madrid) con un contrato Ram\u00f3n y Cajal hace cinco a\u00f1os. Rogers trabaja en diversos problemas de an\u00e1lisis matem\u00e1tico, muchos de ellos relacionados con el an\u00e1lisis arm\u00f3nico. Uno de los problemas principales de este campo es describir las funciones por las cuales el proceso de Fourier -descomponer arm\u00f3nicamente para luego recomponer- funciona. Dicho de otra manera, se trata de identificar las cualidades de las funciones que permiten recomponer la transformada de Fourier (que codifica las partes arm\u00f3nicas de la funci\u00f3n). Trabaja en ciertos problemas que han sido resuelto satisfactoriamente en dos dimensiones, en los que queda mucho por hacer en tres dimensiones (el espacio en cual vivimos) y en cuatro dimensiones (incluyendo la dimensi\u00f3n del tiempo). Uno de los objetivos mas ambiciosos del proyecto del ERC de Rogers es avanzar en estos temas vinculando el proceso de Fourier con la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger que subyace la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica.<\/p>\n

Bolet\u00edn ICMAT<\/h1>\n
\n

El Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas<\/em> (ICMAT) lanza este bolet\u00edn con el que quiere mostrar a la comunidad cient\u00edfica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. En \u00e9l se incluir\u00e1n, adem\u00e1s, contenidos matem\u00e1ticos divulgativos dirigidos al p\u00fablico general. El bolet\u00edn quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera m\u00e1s amplia, en un centro de excelencia de investigaci\u00f3n matem\u00e1tica. Se presentar\u00e1n temas de inter\u00e9s relacionados con la investigaci\u00f3n matem\u00e1tica actual, la actividad cient\u00edfica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad cient\u00edfica.<\/p>\n

Los autores de estos art\u00edculos son los propios investigadores del Instituto u otros matem\u00e1ticos que colaboren con el ICMAT, adem\u00e1s de un equipo especial dedicado a la comunicaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Puede suscribirse a la lista de distribuci\u00f3n en este enlace<\/a><\/p>\n

Puede descargar los n\u00fameros publicados hasta ahora:<\/p>\n

Primer n\u00famero. Primer trimestre 2013<\/a><\/p>\n

Segundo n\u00famero. Segundo trimestre 2013<\/a><\/p>\n

Tercer n\u00famero. Tercer trimestre 2013.<\/a><\/p>\n<\/div>\n

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 <\/p>\n

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El\u00a0Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) quiere mostrar con su bolet\u00edn la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro, y por ello destina una secci\u00f3n a presentar alguno de los resultados de investigaci\u00f3n de sus miembros. En el tercer n\u00famero hablamos de \u00abDiferenciaci\u00f3n de integrales en dimensiones mayores\u00bb, un articulo de Keith Rogers y Javier Parcet publicado en la revista de impacto internacional Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Reproducimos a continuaci\u00f3n la rese\u00f1a en la\u00a0 secci\u00f3n de \u201cSelecci\u00f3n de los ICMAT Newsletter\u201d del blog. T\u00edtulo: Diferenciaci\u00f3n de integrales en dimensiones mayores. 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