{"id":137638,"date":"2014-02-14T05:07:08","date_gmt":"2014-02-14T04:07:08","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=137638"},"modified":"2014-02-18T10:38:50","modified_gmt":"2014-02-18T09:38:50","slug":"harald-helfgott-y-la-conjetura-debil-de-goldbach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/02\/14\/137638","title":{"rendered":"Harald Helfgott y la conjetura d\u00e9bil de Goldbach"},"content":{"rendered":"

Hace apenas unos meses el nombre de Harlard Helfgott salt\u00f3 a los medios internacionales, tras haber resuelto la conjetura d\u00e9bil<\/strong> de Golbach. El pr\u00f3ximo viernes 21 de febrero, el matem\u00e1tico estar\u00e1 en el ICMAT presentando su demostraci\u00f3n. Javier Cilleruelo, investigador del ICMAT, presenta al ponente y hace un repaso de la larga historia detr\u00e1s de esta conjetura.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach dec\u00eda haber observado que \u201ctodo n\u00famero par mayor que 2 es suma de dos primos\u201d y que \u201ctodo n\u00famero impar mayor que 5 es suma de tres primos\u201d. M\u00e1s de doscientos a\u00f1os despu\u00e9s, la sencillez y belleza del primer enunciado lo han convertido en uno de los problemas m\u00e1s codiciados de las matem\u00e1ticas, la llamada Conjetura de Golbach.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Carta de Goldbach a Euler<\/figcaption><\/figure>\n

Conjetura de Goldbach: Todo n\u00famero par mayor que 2 es suma de dos primos.<\/p><\/blockquote>\n

La segunda observaci\u00f3n de la carta es la conjetura d\u00e9bil de Goldbach (tambi\u00e9n llamado problema ternario de Goldbach) y ha pasado a la categor\u00eda de teorema al haber sido demostrada por Harald Helfgott en dos<\/a> art\u00edculos<\/a> de 79 p\u00e1ginas cada uno, 271 a\u00f1os despu\u00e9s de la misiva dirigida a Euler.<\/p>\n

Teorema (Harald Helfgott, 2013): todo n\u00famero impar mayor que 5 es suma de tres primos.<\/p><\/blockquote>\n

Harald Helfgott es el conferenciante del pr\u00f3ximo Coloquio \u00a0que organizan conjuntamente el ICMAT y el Departamento de Matem\u00e1ticas de la UAM. Con el t\u00edtulo \u201cLa conjetura d\u00e9bil de Goldbach\u201d, Harlad Helfgott nos contar\u00e1 de primera la mano las estrategias seguidas para la resoluci\u00f3n de este problema hist\u00f3rico, el pr\u00f3ximo 21 de febrero a las 11:30\u00a0 en el Aula Naranja del ICMAT.<\/p>\n

Helfgott (1977, Lima) es investigador CNRS en la \u00c9cole Normale Sup\u00e9rieure (Paris). Sus intereses matem\u00e1ticos son tan variados como profundos sus resultados. Ha sido invitado a dar una conferencia en el pr\u00f3ximo ICM y ha recibido varios premios por sus contribuciones a la teor\u00eda de n\u00fameros, \u00a0la combinatoria aritm\u00e9tica y \u00a0la teor\u00eda de grupos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Harald Helfgott<\/figcaption><\/figure>\n

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 <\/p>\n

Aproximaciones a la conjetura de Goldbach<\/strong><\/p>\n

La teor\u00eda de n\u00fameros, a la que Gauss denomin\u00f3 \u201cla reina de las matem\u00e1ticas\u201d, destaca sobre otras \u00e1reas de las matem\u00e1ticas por la sencillez y belleza de sus enunciados. Algunos han sido ya resueltos, como el \u00faltimo Teorema de Fermat, pero otros han resistido a todos los intentos, como la conjetura de Goldbach que hoy nos ocupa.<\/p>\n

\u00bfEs cierto que todo par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos primos?<\/p>\n

Si probamos a mano con los primeros pares, vemos que efectivamente todos ellos se pueden escribir como suma de dos primos. Adem\u00e1s observando la tabla parece que seg\u00fan va creciendo el n\u00famero par tambi\u00e9n va aumentando el n\u00famero de representaciones que tiene como suma de dos primos.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
4<\/strong>=2+2<\/td>\n20<\/strong>=3+17=7+13<\/td>\n36<\/strong>=5+31=7+29=13+23=17+19<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/strong>=3+3<\/td>\n22<\/strong>=3+19=5+17=11+11<\/td>\n38<\/strong>=7+31=19+19<\/td>\n<\/tr>\n
8<\/strong>=3+5<\/td>\n24<\/strong>=5+19=7+17=11+13<\/td>\n40<\/strong>=3+37=11+29=17+23<\/td>\n<\/tr>\n
10<\/strong>=3+7=5+5<\/td>\n26<\/strong>=3+23=7+19=13+13<\/td>\n42<\/strong>=5+37=11+31=13+29=19+23<\/td>\n<\/tr>\n
12<\/strong>=5+7<\/td>\n28<\/strong>=5+23=11+17<\/td>\n44<\/strong>=3+41=7+37=13+31<\/td>\n<\/tr>\n
14<\/strong>=3+11=7+7<\/td>\n30<\/strong>=7+23=11+19=13+17<\/td>\n46<\/strong>=3+43=5+41=17+29=23+23<\/td>\n<\/tr>\n
16<\/strong>=3+13=5+11<\/td>\n32<\/strong>=3+29=13+19<\/td>\n48<\/strong>=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29<\/td>\n<\/tr>\n
18<\/strong>=5+13=7+11<\/td>\n34<\/strong>=3+31=5+29=11+23=17+17<\/td>\n50<\/strong>=3+47=7+43=13+37=19+31<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La conjetura de Goldbach se ha comprobado num\u00e9ricamente hasta 4 x (0^18) (y ha sido utilizado por Harlad Helfgott para comprobar la conjetura d\u00e9bil hasta 10^29).<\/p>\n

El siguiente argumento heur\u00edstico puede convencernos de que la conjetura de Goldbach deber\u00eda de ser cierta:<\/p>\n

El Teorema de los n\u00fameros primos afirma que el n\u00famero de primos menores que N es aproximadamente N\/logN. As\u00ed que si elegimos un impar al azar menor que N, la probabilidad de que sea primo ser\u00e1 aproximadamente 2\/logN. Por otra parte cada N par tiene N\/4 representaciones como suma de dos enteros impares. La \u201cprobabilidad\u201d de que los dos enteros impares involucrados en una representaci\u00f3n dada sean primos deber\u00eda ser 4\/(logN)^2 y el n\u00famero de representaciones de N como suma de dos primos deber\u00eda de un orden de magnitud comparable con N\/(logN)^2. Por supuesto est\u00e1 muy lejos de ser una demostraci\u00f3n (ni ser primo es un suceso aleatorio ni el modelo probabil\u00edstico es del todo correcto) pero explica bien el por qu\u00e9 va aumentando el n\u00famero de representaciones.<\/p>\n

Entre otras aproximaciones a la conjetura de Goldbach hay que destacar que Vinogradov demostr\u00f3 que \u00e9sta era cierta para casi todos los n\u00fameros pares. Es decir, que aquellos para los que no es cierta ocupan una proporci\u00f3n muy peque\u00f1a (que tiende a cero) en la sucesi\u00f3n de todos los n\u00fameros pares.<\/p>\n

Otro resultado te\u00f3rico \u00a0importante respecto a esta conjetura se debe a Chen Jing-run.<\/p>\n

Teorema (Chen Jing-run<\/a>\u00a0, 1966):<\/strong> Todo par suficientemente grande se puede escribir como un primo m\u00e1s otro n\u00famero que es primo o es producto de dos primos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Christian Goldbach<\/figcaption><\/figure>\n

La obsesi\u00f3n de Petros<\/strong><\/p>\n

Quiz\u00e1s el lector se acuerde del libro \u201cEl tio Petros y la conjetura de Goldbach\u201d, de Apostolos Doxiadis<\/a>. Era una lectura entretenida centrada en la obsesi\u00f3n por demostrar esta conjetura. La editorial, como gancho, ofreci\u00f3 un mill\u00f3n de d\u00f3lares a quien demostrase la conjetura en un plazo de dos a\u00f1os. Nadie lo consigui\u00f3, como era previsible, aunque fueron muchos los aficionados que reclamaron el premio con demostraciones err\u00f3neas.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Hacia la conjetura d\u00e9bil de Goldbach<\/strong><\/p>\n

Este enunciado se denomina as\u00ed porque ser\u00eda una consecuencia sencilla de conjetura de Goldbach. Efectivamente, si la conjetura de Goldbach fuese cierta y n es un n\u00famero impar mayor que 5 , entonces n-3 es un par mayor que \u00a0y por lo tanto ser\u00eda suma de dos primos n-3=p+q. Y en ese caso, n= p+q+3, suma de tres primos.<\/p>\n

A principios del siglo XX, Hardy y Littlewood inventaron \u201cel m\u00e9todo del c\u00edrculo\u201d, que permit\u00eda hallar f\u00f3rmulas asint\u00f3ticas para el n\u00famero de representaciones de un entero como suma de elementos de una sucesi\u00f3n determinada. Consiste en expresar dicho n\u00famero mediante una integral en el intervalo [0,1] y luego calcular esa integral a trocitos, donde los trocitos que m\u00e1s contribuyen y que se denominan \u201carcos mayores\u201d son aquellos intervalos (muy peque\u00f1os) cercanos a racionales de denominador peque\u00f1o. De esta manera y asumiendo la Hip\u00f3tesis Generalizada de Riemann (un conocimiento muy preciso de la distribuci\u00f3n de los primos en progresiones aritm\u00e9ticas) Hardy y Littelwood demostraron que la conjetura d\u00e9bil era cierta para todo impar \u201csuficientemente grande\u201d.<\/p>\n

\"\"<\/a>
J. Littlewood<\/figcaption><\/figure>\n
\"\"<\/a>
H. G. Hardy<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

En 1937 Vinogradov consigui\u00f3 una demostraci\u00f3n sin necesidad de asumir la Hipotesis Generalizada de Riemann.<\/p>\n

Teorema (Vinogradov, 1937):<\/strong> \u00a0Todo n\u00famero impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
I.M. Vinogradov<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

En la demostraci\u00f3n original de Vinogradov el \u201csuficientemente grande\u201d no era efectivo. Es decir, no se sab\u00eda hasta que impar habr\u00eda que comprobar la conjetura por la fuerza bruta.<\/p>\n

Aunque se consigui\u00f3 finalmente dar una constante expl\u00edcita y \u00e9sta fue disminuyendo en diferentes trabajos, la constante m\u00e1s peque\u00f1a que se hab\u00eda conseguido era 10^1346. As\u00ed que la conjetura d\u00e9bil de Goldbach quedar\u00eda demostrada si se pudiese comprobar que es cierta para todos los impares menores que esa cantidad.<\/p>\n

En el art\u00edculo de divulgaci\u00f3n \u201cLa conjetura d\u00e9bil de Goldbach\u201d<\/a> que el mismo Harald Helfgott ha escrito en exclusiva para la secci\u00f3n \u201cEl diablo de los N\u00fameros\u201d de la Gaceta de la RSME, el autor dice:<\/p>\n

Incluso 10^100<\/em> ser\u00eda demasiado: como <\/em>10^100<\/em> <\/em>\u00a0es m\u00e1s grande que el producto del n\u00famero estimado de part\u00edculas subat\u00f3micas del universo por el n\u00famero de segundos desde el Big Bang, no habr\u00eda ninguna esperanza de comprobar cada caso hasta <\/em>\u00a0por ordenador (a\u00fan asumiendo que uno fuera un dictador alien\u00edgena usando el universo entero como una computadora muy altamente paralela)<\/em><\/p>\n

Harald ha introducido unas innovaciones te\u00f3ricas en el m\u00e9todo del c\u00edrculo que le han permitido rebajar esa constante hasta 10^29. Comprobar la conjetura d\u00e9bil de Goldbach hasta esa cantidad s\u00ed que est\u00e1 al alcance de los ordenadores y \u00e9l, junto con D. Platt, lo han hecho utilizando aritm\u00e9tica de intervalos (la precisi\u00f3n exigida para dar rigurosidad matem\u00e1tica a los c\u00e1lculos con ordenador). De esta manera, la conjetura d\u00e9bil de Golbach se ha convertido en teorema.<\/p>\n

Termino con una cita de Euler sobre los n\u00fameros primos, al que sin duda tambi\u00e9n le hubiera gustado conocer la demostraci\u00f3n de la conjetura d\u00e9bil de Goldbach.<\/p>\n

\u00abLos matem\u00e1ticos han intentado en vano descubrir alg\u00fan orden en la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros primos pero tenemos muchos motivos para creer que hay algunos misterios en los que la mente humana nunca podr\u00e1 penetrar.\u00bb<\/em><\/p>\n

L. Euler (1770).<\/p>\n

\"\"<\/a>
Leonard Euler<\/figcaption><\/figure>\n

—<\/p>\n

Javier Cilleruelo<\/strong> es investigador de la Universidad Aut\u00f3noma de Madrid (UAM<\/strong>) y miembro del ICMAT<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hace apenas unos meses el nombre de Harlard Helfgott salt\u00f3 a los medios internacionales, tras haber resuelto la conjetura d\u00e9bil de Golbach. El pr\u00f3ximo viernes 21 de febrero, el matem\u00e1tico estar\u00e1 en el ICMAT presentando su demostraci\u00f3n. Javier Cilleruelo, investigador del ICMAT, presenta al ponente y hace un repaso de la larga historia detr\u00e1s de esta conjetura.   En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach dec\u00eda haber observado que \u201ctodo n\u00famero par mayor que 2 es suma de dos primos\u201d y que \u201ctodo n\u00famero impar mayor que 5 es suma de tres primos\u201d. 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Javier Cilleruelo, investigador del ICMAT, presenta al ponente y hace un repaso de la larga historia detr\u00e1s de esta conjetura.   En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach dec\u00eda haber observado que \u201ctodo n\u00famero par mayor que 2 es suma de dos primos\u201d y que \u201ctodo n\u00famero impar mayor que 5 es suma de tres primos\u201d. 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