{"id":137736,"date":"2014-03-04T05:45:14","date_gmt":"2014-03-04T04:45:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=137736"},"modified":"2014-03-28T14:31:25","modified_gmt":"2014-03-28T13:31:25","slug":"copos-de-nieve-y-solidos-platonicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736","title":{"rendered":"Copos de nieve y s\u00f3lidos plat\u00f3nicos"},"content":{"rendered":"<p class=\"MsoNormal\" style=\"text-align: center;\"><span style=\"text-decoration: underline;\"><strong>Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\">L<strong>os poliedros regulares y semiregulares aparecen en la disertaci\u00f3n de Kepler sobre los cristales de nieve (ve\u00e1se la entrada anterior <a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/02\/26\/137687\">La fascinaci\u00f3n de los cristales de nieve<\/a>) y as\u00ed, en su \u201cStrena seu de nive sex\u00e1ngula\u201d. Muchos siglos atr\u00e1s, los poliedros regulares, o s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, empezaron a fascinar a los matem\u00e1ticos que, como Pit\u00e1goras o Plat\u00f3n, dedicaron parte de su obra al estudio de estas formas.<\/strong><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137746\" title=\"f6\" src=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg\" alt=\"\" width=\"334\" height=\"260\" srcset=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg 334w, https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6-300x233.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 334px) 100vw, 334px\" \/><\/a><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Desde la antig\u00fcedad conoc\u00edan la existencia de cinco poliedros regulares, es decir, s\u00f3lidos limitados por pol\u00edgonos regulares id\u00e9nticos, en los que concurren en cada v\u00e9rtice un n\u00famero igual de caras. Estos cinco poliedros son: <\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span lang=\"EN-US\">El <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">tetraedro<\/strong>, formado por 4 caras que son tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros iguales.<\/span><\/li>\n<li><span lang=\"EN-US\">El <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">hexaedro<\/strong> o <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">cubo<\/strong>, formado por 6 caras que son cuadrados iguales.<\/span><\/li>\n<li><span lang=\"EN-US\">El <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">octaedro<\/strong>, formado por 8 caras que son tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros iguales.<\/span><\/li>\n<li><span lang=\"EN-US\">El <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">dodecaedro<\/strong>, formado por 12 caras que son pent\u00e1gonos regulares iguales.<\/span><\/li>\n<li><span lang=\"EN-US\">El <strong style=\"mso-bidi-font-weight: normal;\">icosaedro<\/strong>, formado por 20 caras que son tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros iguales.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Desde tiempos antiguos, los cinco poliedros regulares han despertado el inter\u00e9s de la humanidad, como puede verse en estos cinco bolas de piedra tallada encontradas en Kincardineshire, Aberdeenshire y Banff en Escocia. Estas piedras est\u00e1n datadas en le final del Neol\u00edtico o principios de la Edad del Bronce. Las piedras se pueden contemplar en el Museo Ashmolean de Arte y Arqueolog\u00eda de la Universidad de Oxford.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/AN1927-2727-31-med.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137739\" title=\"AN1927-2727-31-med\" src=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/AN1927-2727-31-med.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"180\" \/><\/a><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Aunque la definici\u00f3n de los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos se suelen atribuir a Pit\u00e1goras (cuyo padre era grabador de piedras preciosas y le dio por tanto ocasi\u00f3n a familiarizarse con estas formas), parece que por entonces solo conoc\u00eda eltetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuy\u00e9ndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto, un amigo de Plat\u00f3n y profesor en la Academia.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">En el <em>Timeo<\/em>, uno de los di\u00e1logos m\u00e1s famosos de Plat\u00f3n, aparecen descritos (de ah\u00ed la denominaci\u00f3n de s\u00f3lidos plat\u00f3nicos) y vinculados (de acuerdo con la Cosmogon\u00eda elaborada por Emp\u00e9docles de Agrigento) a los cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua; mientras que consider\u00f3 el dodecaedro como la quintaesencia, el quinto elemento, es decir, la sustancia de los cuerpos celestiales. Plat\u00f3n escribe:<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><em><span lang=\"EN-US\">\u00abA la tierra le atribuimos la figura c\u00fabica, porque la tierra es el elemento m\u00e1s dif\u00edcil de mover, el m\u00e1s tenaz, el de las bases m\u00e1s s\u00f3lidas, &#8230;, la figura s\u00f3lida de la pir\u00e1mide es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento (octaedro) es el elemento del aire, y la tercera (icosaedro), el del agua\u00bb.<\/span><\/em><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><strong>Solo son cinco<\/strong><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">El Libro XIII de Los Elementos de Euclides est\u00e1 dedicado enteramente al estudio de estos poliedros.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">La demostraci\u00f3n de que solo existen<\/span><span lang=\"EN-US\"><span lang=\"EN-US\"> estos cinco poliedros regulares, recordamos, s\u00f3lidos limitados por pol\u00edgonos regulares id\u00e9nticos,<\/span> es una de esas maravillas de las matem\u00e1ticas, sencilla y elegante, y est\u00e1 basada en la ecuaci\u00f3n de Euler:<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">C<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>+<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>V<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>=<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>A<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span><span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0<\/span>+<span style=\"mso-spacerun: yes;\">\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>2<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">que relaciona el n\u00famero de caras (C), el n\u00famero de v\u00e9rtices (V) y el n\u00famero de aristas (A).<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">La construcci\u00f3n de los cinco s\u00f3lidos plat\u00f3nicos podr\u00eda haber respondido al intento de generalizar lo que ya conoc\u00edan los pitag\u00f3ricos entonces para recubrir (teselar) un plano, s\u00f3lo posible con tri\u00e1ngulos, cuadrados y hex\u00e1gonos.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Los poliedros regulares (y otros semiregulares) fueron objeto de estudio por artistas y cient\u00edficos, como Piero della Francesca, Luca Pacioli, o Alberto Durero. De hecho, Piero della Francesca descubri\u00f3 la dualidad de los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, que los clasifica en tres grupos: tetraedro que es dual de s\u00ed mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa). Esta dualidad se describe as\u00ed: el s\u00f3lido cuyos v\u00e9rtices son los centros de las caras de uno plat\u00f3nico tambi\u00e9n es plat\u00f3nico.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Joahnnes Kepler fue seducido por los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, y construy\u00f3 una cosmolog\u00eda basada en ellos. En su \u00e9poca s\u00f3lo se conoc\u00edan seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. J\u00fapiter y Saturno. Kepler pens\u00f3 que los dos n\u00fameros estaban vinculados: \u00abhay s\u00f3lo seis planetas porque hay s\u00f3lo cinco poliedros regulares\u00bb y da una visi\u00f3n del sistema solar que consiste en s\u00f3lidos plat\u00f3nicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas conc\u00e9ntricas circunscritas que intervienen con las \u00f3rbitas de los planetas. Llam\u00f3 a esta visi\u00f3n El Misterio C\u00f3smico. Dentro de la \u00f3rbita o esfera de Saturno Kepler inscribi\u00f3 un cubo; y dentro de \u00e9ste la esfera de J\u00fapiter circunscrita a un tetraedro. Inscrita en \u00e9ste situ\u00f3 a la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio el octaedro. Y en el centro de todo el sistema el el Sol.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/musica.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137740\" title=\"musica\" src=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/musica.jpg\" alt=\"\" width=\"516\" height=\"599\" srcset=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/musica.jpg 516w, https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/musica-258x300.jpg 258w\" sizes=\"(max-width: 516px) 100vw, 516px\" \/><\/a><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Afortunadamente Kepler us\u00f3 las mediciones de Tycho Brahe y su visi\u00f3n se hizo m\u00e1s cient\u00edfica y le llev\u00f3 a enunciar sus tres famosas leyes que rigen el movimiento de los astros.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Pero Kepler tambi\u00e9n us\u00f3 los poliedros regulares y semiregulares para su disertaci\u00f3n sobre los cristales de nieve (ve\u00e1se la entrada anterior <a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/02\/26\/137687\">La fascinaci\u00f3n de los cristales de nieve<\/a>) y as\u00ed, en su \u201cStrena seu de nive sex\u00e1ngula\u201d, cuando medita sobre la mejor manera de empaquetar \u00ab\u00e1tomos\u00bb, y observa lo que hacen las abejas con sus celdas hexagonales, y que en su interior forma rombos para optimizar el espacio, tiene la idea de hacer algo similar con los copos de nieve. As\u00ed, construye un dodecaedro r\u00f3mbico (o rombododecaedro) que llena completamente el espacio cuando se re\u00fanen varios de ellos al igual que un hex\u00e1gono llena el plano.<\/span><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><a href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/Dodecaedro_ro\u0301mbico.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137741\" title=\"Dodecaedro_ro\u0301mbico\" src=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/Dodecaedro_ro\u0301mbico.jpg\" alt=\"\" width=\"519\" height=\"461\" srcset=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/Dodecaedro_ro\u0301mbico.jpg 519w, https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/Dodecaedro_ro\u0301mbico-300x266.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 519px) 100vw, 519px\" \/><\/a><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\"><span lang=\"EN-US\">Precisamente el rombododecaedro desempe\u00f1a un papel esencial en la demostraci\u00f3n de la conjetura de Kepler.<\/span><\/p>\n<p class=\"MsoNormal\">\u2013<\/p>\n<p><strong>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del <a href=\"http:\/\/www.icmat.es\">Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) y vocal del Comit\u00e9 Ejecutivo de IMU.<\/a><\/p>\n<p><strong>\u00c1gata A. Tim\u00f3n<\/strong> es responsable de Comunicaci\u00f3n y Divulgaci\u00f3n del <strong>ICMAT<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda Los poliedros regulares y semiregulares aparecen en la disertaci\u00f3n de Kepler sobre los cristales de nieve (ve\u00e1se la entrada anterior La fascinaci\u00f3n de los cristales de nieve) y as\u00ed, en su \u201cStrena seu de nive sex\u00e1ngula\u201d. Muchos siglos atr\u00e1s, los poliedros regulares, o s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, empezaron a fascinar a los matem\u00e1ticos que, como Pit\u00e1goras o Plat\u00f3n, dedicaron parte de su obra al estudio de estas formas. Desde la antig\u00fcedad conoc\u00edan la existencia de cinco poliedros regulares, es decir, s\u00f3lidos limitados por pol\u00edgonos regulares id\u00e9nticos, en los que concurren en cada v\u00e9rtice un n\u00famero igual\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v18.0 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Copos de nieve y s\u00f3lidos plat\u00f3nicos - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Copos de nieve y s\u00f3lidos plat\u00f3nicos - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda Los poliedros regulares y semiregulares aparecen en la disertaci\u00f3n de Kepler sobre los cristales de nieve (ve\u00e1se la entrada anterior La fascinaci\u00f3n de los cristales de nieve) y as\u00ed, en su \u201cStrena seu de nive sex\u00e1ngula\u201d. 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Muchos siglos atr\u00e1s, los poliedros regulares, o s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, empezaron a fascinar a los matem\u00e1ticos que, como Pit\u00e1goras o Plat\u00f3n, dedicaron parte de su obra al estudio de estas formas. Desde la antig\u00fcedad conoc\u00edan la existencia de cinco poliedros regulares, es decir, s\u00f3lidos limitados por pol\u00edgonos regulares id\u00e9nticos, en los que concurren en cada v\u00e9rtice un n\u00famero igual\u2026","og_url":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736","og_site_name":"Matem\u00e1ticas y sus fronteras","article_published_time":"2014-03-04T04:45:14+00:00","article_modified_time":"2014-03-28T13:31:25+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Escrito por":"Matem\u00e1ticas y sus fronteras","Tiempo de lectura":"5 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/#website","url":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/","name":"Matem\u00e1ticas y sus fronteras","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"es"},{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736#primaryimage","inLanguage":"es","url":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg","contentUrl":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2014\/03\/f6.jpg"},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736#webpage","url":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736","name":"Copos de nieve y s\u00f3lidos plat\u00f3nicos - Matem\u00e1ticas y sus fronteras","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736#primaryimage"},"datePublished":"2014-03-04T04:45:14+00:00","dateModified":"2014-03-28T13:31:25+00:00","author":{"@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/#\/schema\/person\/15722bca1b77eece37f4c192bd1b5230"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/04\/137736#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Copos de nieve y s\u00f3lidos plat\u00f3nicos"}]},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/#\/schema\/person\/15722bca1b77eece37f4c192bd1b5230","name":"Matem\u00e1ticas y sus fronteras","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/#personlogo","inLanguage":"es","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/50eb6cc40d97cb9ad268a3471c7e2492?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/50eb6cc40d97cb9ad268a3471c7e2492?s=96&d=mm&r=g","caption":"Matem\u00e1ticas y sus fronteras"},"description":"Manuel de Le\u00f3n es Profesor de Investigaci\u00f3n del CSIC, acad\u00e9mico de la Real Academia de Ciencias y su Tesorero, fundador del ICMAT (CSIC), acad\u00e9mico de la Real Academia Canaria de Ciencias y de la Real Academia Galega de Ciencias. 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