{"id":137790,"date":"2014-03-17T05:41:49","date_gmt":"2014-03-17T04:41:49","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=137790"},"modified":"2014-03-28T14:33:57","modified_gmt":"2014-03-28T13:33:57","slug":"137790","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/17\/137790","title":{"rendered":"Simetr\u00edas escondidas en las ecuaciones"},"content":{"rendered":"

Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda<\/strong><\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

La cristalograf\u00eda es la ciencia que estudia a las estructuras cristalinas y las propiedades de los cristales. Se basa principalmente en el orden y la simetr\u00eda, conceptos indudablemente matem\u00e1ticos. La simetr\u00eda es un importante concepto no solo en las matem\u00e1ticas, si no tambi\u00e9n en la f\u00edsica, en la biolog\u00eda, en el arte\u2026 Pero adem\u00e1s, matem\u00e1ticamente, las simetr\u00edas son lo mismo que las soluciones de las ecuaciones. Es decir, si miramos de manera abstracta las simetr\u00edas, su estructura es la misma que las de las soluciones de ecuaciones polin\u00f3micas. Efectivamente, ambos son lo que se llama en matem\u00e1ticas, un grupo.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Un grupo es un conjunto con una operaci\u00f3n (por ejemplo, los n\u00fameros enteros con la suma), en el que se cumplen ciertas propiedades:<\/p>\n

1)\u00a0\u00a0 Proximidad. El resultado de \u201coperar\u201d dos elementos del grupo (por ejemplo, de sumar dos n\u00fameros enteros), sigue siendo un miembro del grupo (efectivamente, lo es, otro n\u00famero entero).<\/p>\n

2)\u00a0\u00a0 Propiedad asociativa. Cuando se operan tres elementos del grupo, el resultado es el mismo que si opero primero dos de ellos, y el resultado se opero con el tercero, independientemente de cuales de ellos escoja antes o despu\u00e9s.<\/p>\n

3)\u00a0\u00a0 Elemento neutro. En el grupo, hay un elemento que, al operarlo con cualquier otro, lo deja inalterado (el cero, en nuestro caso).<\/p>\n

4)\u00a0\u00a0 Elemento inverso. Para cualquier elemento del grupo, hay otro que, al operarlo, obtengo el neutro (el opuesto: de 3, -3, que suman cero, de -2765, 2765).<\/p>\n

La definici\u00f3n de grupo es tan general que es un concepto aplicable a multitud de estructuras. Los elementos de un grupo pueden ser de diverso tipo: las simetr\u00edas del cuerpo humano, o las de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, y tambi\u00e9n \u00a0extra\u00f1os conjuntos matem\u00e1ticos con una operaci\u00f3n imposible definida entre ellos. Cualquier cosa, mientras que cumplan las cuatro propiedades anteriores.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Evariste Galoise fue el creador del concepto de grupo<\/figcaption><\/figure>\n

De esta manera, la recopilaci\u00f3n de todas las transformaciones de simetr\u00eda de cualquier sistema, es decir, el conjunto de las modificaciones que dejan inalterado cualquier sistema, siempre forma un grupo. Se cumplen las propiedades:<\/p>\n

1)\u00a0\u00a0 Dadas dos aplicaciones de simetr\u00eda, su composici\u00f3n tambi\u00e9n lo es (primero aplico una, que deja inalterado el sistema, y luego otra, que deja inalterado el sistema).<\/p>\n

2)\u00a0\u00a0 Da igual como aplique tres simetr\u00edas, porque cada una ir\u00e1 dejando inalterado el sistema, y el resultado ser\u00e1 el mismo.<\/p>\n

3)\u00a0\u00a0 El elemento neutro es la aplicaci\u00f3n: dejar todo como est\u00e1, que es evidentemente una aplicaci\u00f3n de simetr\u00eda.<\/p>\n

4)\u00a0\u00a0 Cada transformaci\u00f3n tiene un inverso, devolviendo las cosas al estado original.<\/p>\n

Por tanto, es un grupo.<\/p>\n

Y con una comprobaci\u00f3n similar se puede demostrar que las soluciones de las ecuaciones alg\u00e9bricas tambi\u00e9n tienen estructura de grupo. De hecho, fue gracias al estudio de las soluciones como apareci\u00f3 el concepto de grupo, en el s. XIX. Pero esta historia matem\u00e1tica, la b\u00fasqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas empez\u00f3 siglos antes, entorno al a\u00f1o 1600 a.C, con la cultura babil\u00f3nica.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Los babilonios desarrollaron matem\u00e1ticas muy sofisticadas, motivadas por el reparto o la distribuci\u00f3n. Para dividir terrenos, partes de un testamento, transacciones comerciales\u2026 hac\u00edan falta n\u00fameros, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones\u2026 La repartici\u00f3n de terrenos motiv\u00f3 la aparici\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos , en los que usaban palabras para las cantidades desconocidas que ten\u00edan que calcular. Su formalizaci\u00f3n matem\u00e1tica no era la misma que se usa ahora para las ecuaciones, pero la idea era la misma. Las ecuaciones m\u00e1s sencillas son las lineales, es decir, las que la inc\u00f3gnita aparece solo multiplicada por n\u00fameros, sumada o restada (del tipo 2x + 1=0). Los babil\u00f3nicos las resolv\u00edan, pero no hay documentaci\u00f3n detallada al respecto, porque al parecer encontraban el procedimiento demasiado elemental.<\/p>\n

—<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) y vocal del Comit\u00e9 Ejecutivo de IMU.<\/a><\/p>\n

\u00c1gata A. Tim\u00f3n<\/strong> es responsable de Comunicaci\u00f3n y Divulgaci\u00f3n del ICMAT<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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