{"id":137861,"date":"2014-03-31T05:59:28","date_gmt":"2014-03-31T04:59:28","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=137861"},"modified":"2014-04-02T11:53:53","modified_gmt":"2014-04-02T10:53:53","slug":"en-busca-de-la-solucion-perdida","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/03\/31\/137861","title":{"rendered":"En busca de la soluci\u00f3n perdida"},"content":{"rendered":"

Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda<\/strong><\/strong><\/span><\/p>\n

La historia de la resoluci\u00f3n de las ecuaciones algebraicas est\u00e1 ligada al estudio de las simetr\u00edas, fundamentales para la descripci\u00f3n y comprensi\u00f3n de la estructura cristalina. Pero adem\u00e1s, la b\u00fasqueda de estas soluciones fue uno de los grandes desaf\u00edos de la ciencia. Se extiende durante siglos e involucra a algunos de las grandes mentes matem\u00e1ticas de todos los tiempos: mesopot\u00e1micos, egipcios, griegos, \u00e1rabes, renacentistas… El recorrido empieza en Egipto, con las primeras descripciones detalladas del procedimiento para resolver ecuaciones de segundo grado.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a>
Papiro de Rhind<\/figcaption><\/figure>\n

Los primeros escritos de resoluci\u00f3n detallada de ecuaciones se encuentran en el papiro Rhind, del 1650 a.C. En este fascinante escrito, de 5\u201949 m de largo, se presentan gran parte de las matem\u00e1ticas que se conocen del antiguo Egipto, en ochenta y siete problemas, principalmente cuestiones pr\u00e1cticas, como la divisi\u00f3n de tierras, o el c\u00e1lculo de la inclinaci\u00f3n de una pir\u00e1mide, pero tambi\u00e9n problemas introducidos para los estudiantes de la \u00e9poca. Muchos de ellos se resuelven con ecuaciones, en las que la inc\u00f3gnita se denomina AHA (que significa mont\u00f3n). Las ecuaciones de primer grado, como las que aparecen en el papiro, parece que ten\u00edan mucha presencia en las matem\u00e1ticas egipcias.<\/p>\n

Tambi\u00e9n encontramos indicios de las primeras ecuaciones en China. En \u201cNueve cap\u00edtulos sobre las artes matem\u00e1ticas\u201d (que se estima entre el 206 a. C. y el 211 d.C., aparecen tambi\u00e9n problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales (y tres inc\u00f3gnitas).<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pero la dificultad de resolver ecuaciones no est\u00e1 en el n\u00famero de inc\u00f3gnitas que tengas, si no en el grado de las mismas. El salto te\u00f3rico se da con el aumento de exponente de la variable: ecuaciones lineales, cuadr\u00e1ticas, c\u00fabicas, de grado cuatro, cinco\u2026<\/p>\n

Sin embargo, su aparici\u00f3n es muy natural. Al medir y querer hacer c\u00e1lculos sobre distancias, usamos variables lineales. Cuando se quiere calcular o hacer c\u00e1lculos sobre \u00e1reas, la cosa se complica, porque el \u00e1rea de las figuras se calcula como producto de sus lados. El \u00e1rea del cuadrado es el lado elevado al cuadrado. La expresi\u00f3n del \u00e1rea del cuadrado de lado x es x^2. Por tanto, si se quiere calcular el lado del cuadrado cuya \u00e1rea es cuatro, se obtiene : x^2=4; x=+-2.<\/p>\n

En los documentos egipcios s\u00ed aparecen ecuaciones como la anterior, que involucran x^2 pero\u00a0 no a la vez x^2 y x. Y la soluci\u00f3n que daban era solo la positiva, porque el n\u00famero representaba cantidades que ten\u00edan que ser positivas, como distancias.<\/p>\n

Los griegos, pese al avance sustancial que hicieron en la disciplina, se centraron en otras \u00e1reas como geometr\u00eda y l\u00f3gica, y dejaron de lado las ecuaciones. De hecho, e n la \u00e9poca griega hab\u00eda una falta muy com\u00fan: la gente pensaba que el \u00e1rea de una figura depende enteramente de su per\u00edmeto. No cre\u00edan, por ejemplo, con un per\u00edmetro de 48 estadios, doblara la capacidad de Megal\u00f3polis, con 50 estadios de per\u00edmetro. Es f\u00e1cil ver que el \u00e1rea no solo depende del per\u00edmetro. Si se ata un cordel por los extremos para conseguir un lazo, manteniendo siempre el per\u00edmetro, puede verse que si se alarga hasta tenar una l\u00ednea doble el \u00e1rea encerrada es m\u00ednima, mientras que si se extiende hasta formar una circunferencia, el \u00e1rea recogida ser\u00e1 mucho mayor (de hecho, la mayor que puede conseguirse con ese per\u00edmetro).<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La siguiente evoluci\u00f3n del algebra, fue el paso de las formas ret\u00f3ricas de los babil\u00f3nicos, a las formas simb\u00f3licas, que mantenemos hoy en d\u00eda, imprescindibles para la concepci\u00f3n abstracta de la matem\u00e1tica. Esta etapa la representa Diofanto de Alejandr\u00eda (que se estima que vivi\u00f3 entre el a\u00f1o 150 a. C. y el 270 d. C), autor del influyente tratado Arithmetica<\/em>. En el escrito, principalmente dedicado a lo que hoy llamamos Teor\u00eda de N\u00fameros, tambi\u00e9n resuelve numerosos problemas algebraicos con destreza, aunque considera solo las soluciones que pod\u00edan expresarse como n\u00fameros naturales o fracciones de n\u00fameros naturales. No hay duda de que Diofanto sab\u00eda resolver las ecuaciones de segundo grado de los tres tipos: ax^2+bx+c=0, ax^2+bx+c=0, ax^2+c=0, ax^2+bx+ =0,<\/p>\n

Sin embargo, la verdadera pregunta, m\u00e1s all\u00e1 de que se pueda\u00a0 o no resolver ecuaciones de segundo grado, es si existe una f\u00f3rmula universal que pueda aplicarse siempre para obtener soluciones. Del colegio recordamos que s\u00ed, la hay:<\/p>\n

X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))\/2\u00aa<\/p>\n

Pero: \u00bfqui\u00e9n dio con esta f\u00f3rmula? Seguiremos con esta historia en siguientes entradas.<\/p>\n

M\u00e1s informaci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n

Sobre la historia de la resoluci\u00f3n de ecuaciones: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/resolucion-de-ecuaciones<\/p>\n

Entradas del A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/ano-internacional-cristalografia<\/p>\n

—<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) y vocal del Comit\u00e9 Ejecutivo de IMU.<\/a><\/p>\n

\u00c1gata A. Tim\u00f3n<\/strong> es responsable de Comunicaci\u00f3n y Divulgaci\u00f3n del ICMAT<\/strong>.<\/p>\n

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