{"id":138236,"date":"2014-06-05T08:58:02","date_gmt":"2014-06-05T07:58:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=138236"},"modified":"2014-09-02T14:04:19","modified_gmt":"2014-09-02T13:04:19","slug":"de-camino-hacia-la-ecuacion-de-quinto-grado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/06\/05\/138236","title":{"rendered":"De camino hacia la ecuaci\u00f3n de quinto grado"},"content":{"rendered":"

Especial A\u00f1o de la Cristalograf\u00eda<\/strong><\/span><\/p>\n

El camino en la resoluci\u00f3n de las ecuaciones polin\u00f3micas fue largo y duro. Los matem\u00e1ticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari obtuvieron las f\u00f3rmulas para las ecuaciones de tercer y cuarto grado en el s. XVI. A partir de ese momento muchos fueron los miembros de la comunidad matem\u00e1tica que asumieron como propio el reto de encontrar la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de quinto grado. En el proceso para encontrar la respuesta definitiva a este gran enigma surgieron importantes ideas matem\u00e1ticas, como los n\u00fameros imaginarios.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a>
Edici\u00f3n de Bolonia de 1579 del Algebra de Rafael Bombelli<\/figcaption><\/figure>\n

Tras los trabajos de Tartaglia, Cardano y Ferrano para la ecuaci\u00f3n de tercer y cuarto grado, la siguiente contribuci\u00f3n\u00a0 interesante en la resoluci\u00f3n de las ecuaciones polin\u00f3micas fue del bolo\u00f1\u00e9s Rafael Bombelli. En 1572 escribi\u00f3 el libro L\u2019Algebra, en el que reformulaba algunas de las ideas del Ars Magna de Cardano, ya que consideraba que no era lo suficientemente claro, y a\u00f1ad\u00eda una idea nueva y revolucionaria: la de los n\u00fameros imaginarios.<\/p>\n

La unidad imaginaria, i, se define como la ra\u00edz cuadrada de (-1). De vez en cuando, en la resoluci\u00f3n de ecuaciones c\u00fabicas, aparec\u00eda, como paso intermedio, la ra\u00edz de un n\u00famero negativo. Evidentemente, no hay ning\u00fan numero real cuyo cuadrado sea negativo (si es negativo, menos por menos ser\u00e1 m\u00e1s, si es positivo, m\u00e1s por m\u00e1s ser\u00e1 m\u00e1s).<\/p>\n

Es interesante el paralelismo entre la aparici\u00f3n de nuevas categor\u00edas de n\u00fameros y la resoluci\u00f3n de las ecuaciones con coeficientes enteros. Los n\u00famero negativos aparecen en ecuaciones lineales del tipo x+4=2, los radicales en ecuaciones cuadr\u00e1ticas como x.x=2, y los n\u00famero imaginarios, en la resoluci\u00f3n de las ecuaciones c\u00fabicas.<\/p>\n

Aunque aparec\u00edan en sus escritos, Cardano no se ocup\u00f3 de ellos diciendo que eran \u201ctan sutiles que eran in\u00fatiles\u201d. Sin embargo Bombelli s\u00ed prest\u00f3 atenci\u00f3n a estos n\u00fameros, que llamaba \u201cm\u00e1s de menos\u201d. Aunque fue el gran matem\u00e1tico Leonhard Euler el primero que llamo a la ra\u00edz cuadrada de (-1) i, en 1777.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 nuevas categor\u00edas aparecer\u00edan al resolver la ecuaci\u00f3n de quinto grado? El problema se convirti\u00f3 en uno de los grandes retos matem\u00e1ticos del momento.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Leonhard Euler<\/figcaption><\/figure>\n

Los m\u00e9todos usados en los casos anteriores resultaron in\u00fatiles, porque eran demasiado concretos, no trataban las ecuaciones como un objeto abstracto, no se entend\u00edan las caracter\u00edsticas generales ni las relaciones entre sus elementos. Muchos grandes matem\u00e1ticos lo intentaron, entre ellos Euler. Sin embargo, el c\u00e9lebre matem\u00e1tico solo lleg\u00f3 a intuir que, con cuidado, podr\u00eda reducirse la ecuaci\u00f3n de quinto grado a una de cuarto, que ya sab\u00edan resolver. Tambi\u00e9n Joseph-Louise Lagrange, otro de los grandes pesos pesados de las matem\u00e1ticas, trabaj\u00f3 en el problema. Public\u00f3 un libro llamado \u201cReflexiones sobre la soluci\u00f3n de ecuaciones algebraicas\u201d en el que propon\u00eda un procedimiento uniforme para resolver ecuaciones hasta cuarto grado, que sustitu\u00eda todos los trucos anteriores. Consegu\u00eda, mediante un m\u00e9todo concreto, reducir la ecuaci\u00f3n a la de un grado menor (la de cuarto a la de tercero, la de tercero a la de segundo, la de segundo a la de primero), y por tanto tras un n\u00famero de pasos, reducir el problema a un c\u00e1lculo trivial.<\/p>\n

Sin embargo, al aplicar este procedimiento a la ecuaci\u00f3n de quinto grado, \u00a1obtenida una ecuaci\u00f3n de grado 6! En el libro, el propio Lagrange asum\u00eda su fracaso, \u201ces improbable que estos m\u00e9todos conduzcan a la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de quinto grado\u201d. Pese a ello, sus trabajo era tremendamente interesante: Lagrange descubri\u00f3 la relaci\u00f3n entre las propiedades de las ecuaciones y su resolubilidad y ciertas simetr\u00edas de las soluciones por permutaciones.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Hab\u00eda tambi\u00e9n una cuesti\u00f3n a considerar: quiz\u00e1s no se pod\u00edan encontrar estas soluciones. En aquella \u00e9poca los matem\u00e1ticos empezaron a preguntarse si dada una ecuaci\u00f3n (de cualquier orden), \u00bfpod\u00edan asegurar que siempre tuviese al menos una soluci\u00f3n? O m\u00e1s all\u00e1, dada una soluci\u00f3n de grado n, \u00bfcu\u00e1ntas soluciones tendr\u00e1?<\/p>\n

Hizo falta uno de los mayores talentos de la historia de las matem\u00e1ticas para resolver este enigma: el de Johann Carl Fredrich Gauss. En su tesis doctoral, que ley\u00f3 con apenas 22 a\u00f1os, en 1799, Gauss demostr\u00f3 el famoso Teorema Fundamental del \u00c1lgebra, en el que afirma que todas las ecuaciones de grado n tienen exactamente n soluciones (que pueden ser n\u00fameros reales y complejos).<\/p>\n

M\u00e1s informaci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n

Sobre la historia de la resoluci\u00f3n de ecuaciones: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/resolucion-de-ecuaciones<\/p>\n

Entradas del A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/ano-internacional-cristalografia<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas (ICMAT) y vocal del Comit\u00e9 Ejecutivo de IMU.<\/a><\/p>\n

\u00c1gata A. Tim\u00f3n<\/strong> es responsable de Comunicaci\u00f3n y Divulgaci\u00f3n del ICMAT<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Especial A\u00f1o de la Cristalograf\u00eda El camino en la resoluci\u00f3n de las ecuaciones polin\u00f3micas fue largo y duro. Los matem\u00e1ticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari obtuvieron las f\u00f3rmulas para las ecuaciones de tercer y cuarto grado en el s. XVI. A partir de ese momento muchos fueron los miembros de la comunidad matem\u00e1tica que asumieron como propio el reto de encontrar la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de quinto grado. En el proceso para encontrar la respuesta definitiva a este gran enigma surgieron importantes ideas matem\u00e1ticas, como los n\u00fameros imaginarios. 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