{"id":138762,"date":"2014-09-15T05:22:18","date_gmt":"2014-09-15T04:22:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=138762"},"modified":"2014-09-16T15:15:07","modified_gmt":"2014-09-16T14:15:07","slug":"el-personaje-mas-romantico-de-las-matematicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2014\/09\/15\/138762","title":{"rendered":"El personaje m\u00e1s rom\u00e1ntico de las matem\u00e1ticas"},"content":{"rendered":"

Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda<\/strong><\/span><\/p>\n

Seguimos con la gran haza\u00f1a de la resoluci\u00f3n de las ecuaciones polin\u00f3micas, que involucr\u00f3 a algunos de los matem\u00e1ticos m\u00e1s importantes, desde los babil\u00f3nicos hasta el siglo XVII. Hoy llegamos al cap\u00edtulo final. En una entrada anterior hablamos del trabajo de Niels Abel, que demostr\u00f3 que, a partir de grado 5, no hab\u00eda una f\u00f3rmula general para resolver la ecuaci\u00f3n. Despu\u00e9s de esto todav\u00eda queda una gran pregunta abierta: \u00bfpodemos saber qu\u00e9 ecuaciones s\u00ed pueden resolverse con una f\u00f3rmula que solo involucre operaciones elementales? En esto trabaj\u00f3 Evariste Galois, en las primeras d\u00e9cadas del s. XIX. <\/strong><\/p>\n

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Evariste Galois es una de las figuras m\u00e1s rom\u00e1nticas de las matem\u00e1ticas. Muri\u00f3 con tan solo 20 a\u00f1os, por un disparo en el est\u00f3mago que recibi\u00f3 durante\u00a0 un duelo, no se sabe si por disputas amorosas o pol\u00edticas. Pocas horas antes, durante la madrugada, sabiendo las grandes posibilidades que ten\u00eda de no sobrevivir al encuentro, escribi\u00f3 la que despu\u00e9s se llam\u00f3 la Teor\u00eda de Galois, un planteamiento revolucionario que cambi\u00f3 el \u00e1lgebra para siempre.<\/p>\n

Pero empecemos por el principio. Galois naci\u00f3 en 1811 en Par\u00eds, en el seno de una familia acomodada. Aquel era un periodo de agitaci\u00f3n pol\u00edtica en Francia: la p\u00e9rdida del poder por parte de Napole\u00f3n, a favor del rey Luis XVIII de Borb\u00f3n, conllev\u00f3 una vuelta a pol\u00edticas conservadoras y a la restauraci\u00f3n gradual del poder de la Iglesia. Esto reaviv\u00f3 el movimiento liberal, en el que milit\u00f3 fervientemente el padre de Galois, Nicolas-Gabriel. Los cambios de poder fueron decantando la sociedad francesa en dos bandos rivales: por un lado, conservadores a favor de una monarqu\u00eda dominada por la Iglesia, y por otro, los liberales y republicanos, inspirados por las ideas de la Revoluci\u00f3n Francesa.<\/p>\n

Galois recibi\u00f3 una formaci\u00f3n basada en ideas liberales. Durante los primeros a\u00f1os, su madre se encargaba de formarles en casa, hasta los 12 a\u00f1os, cuando se incorpor\u00f3 en el prestigioso internado parisino Lyce\u00e8 Lousi-le-Grand. All\u00ed las cosas cambiaron: se encontr\u00f3 con una dura disciplina, y un reci\u00e9n nombrado director conservador. El ambiente era inestable, con peleas entre estudiantes que representaban la turbulencia pol\u00edtica del momento.<\/p>\n

Galois fue obligado a repetir el tercer curso, su manera de pensar no cuadraba con los ideales de la \u00e9poca, en el informe acad\u00e9mico le califican como \u201coriginal, pero extra\u00f1o\u201d. Sin embargo, ese fue el momento en el que descubri\u00f3 las matem\u00e1ticas. Gracias a uno de sus profesores y al libro Elements de Geometrie, de Legendre, Galois encontr\u00f3 su pasi\u00f3n, y dej\u00f3 de prestar atenci\u00f3n al resto de materias. Empez\u00f3 a leer art\u00edculos cient\u00edficos por su cuenta, y lleg\u00f3 tambi\u00e9n a la ecuaci\u00f3n de quinto grado.<\/p>\n

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Una gran pregunta y una aun mejor respuesta<\/strong><\/p>\n

Desconocedor del trabajo previo de Ruffini y Abel, Galois intent\u00f3 encontrar por su cuenta la codiciada f\u00f3rmula. Tras dos meses, pens\u00f3 que hab\u00eda dado con ella, pero encontr\u00f3 un error. Sigui\u00f3 con m\u00e1s empe\u00f1o en el estudio de las matem\u00e1ticas, mientras que dejaba totalmente de lado las otras materias. Esto jug\u00f3 en su contra en 1828, cuando hizo el examen de acceso a la Ecole Politecnique, y suspendi\u00f3, por lo que tuvo que permanecer en el Lycee Louis-le-Grand. En 1829 public\u00f3 su primer art\u00edculo cient\u00edfico, un resultado menor sobre funciones continuas.<\/p>\n

Galois no tard\u00f3 en hacer su gran aportaci\u00f3n al problema de las ecuaciones polin\u00f3micas. Hasta el momento, aunque Galois no lo sab\u00eda, Abel hab\u00eda demostrado que no existe una f\u00f3rmula general, que solo involucre operaciones elementales, para la ecuaci\u00f3n de quinto grado. Pero quedaba una pregunta interesante abierta: \u00bfqu\u00e9 ecuaciones- de grado cinco o superior- s\u00ed pueden resolverse con una f\u00f3rmula? \u00bfc\u00f3mo podemos determinarlas?<\/p>\n

Para resolver este enigma, Galois introdujo el concepto original de grupo, y cre\u00f3 una nueva rama del \u00e1lgebra. Como punto de partida sigui\u00f3 con el trabajo de Lagrange, y estudi\u00f3 las relaciones entre las supuestas soluciones de una ecuaci\u00f3n y las permutaciones de estas soluciones que dejan las relaciones inalteradas. Y fue m\u00e1s all\u00e1: defini\u00f3, para cada ecuaci\u00f3n, una especie de c\u00f3digo gen\u00e9tico (el grupo de Galois), cuyas propiedades determinan si la ecuaci\u00f3n puede resolverse con una f\u00f3rmula o no. El grupo de Galois es una medida directa de las propiedades sim\u00e9tricas de la ecuaci\u00f3n, que juegan un papel clave en la resoluci\u00f3n.<\/p>\n

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Augustin Louis Cauchy<\/figcaption><\/figure>\n

Rechazo de la Academia<\/strong><\/p>\n

Su profesor le anim\u00f3 a publicar dos ensayos con los resultados, que \u00e9l mismo llev\u00f3 a Cauchy para que este presentara a la Academia de las Ciencias. Las publicaciones se presentaron el 25 de mayo y el 1 de junio de 1829, a la espera de evaluaci\u00f3n de ilustres matem\u00e1ticos, entre los que se encontraba el propio Cauchy. Con varias excusas, Cauchy fue relegando la discusi\u00f3n, dando prioridad a sus propios temas. Cansado por la falta de atenci\u00f3n, y despu\u00e9s de leer finalmente los trabajos de Abel, Galois present\u00f3 el trabajo, con algunas modificaciones, por su cuenta como candidato al premio Prix de Matem\u00e1ticas de la Academia. El escrito \u201cMemoria de las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones por radicales\u201d, ha sido considerada desde entonces una de las obras maestras de las matem\u00e1ticas. Pero no fue nunca considerado para el premio: Fourier, el secretario del mismo, se llev\u00f3 al manuscrito a casa, y muri\u00f3 d\u00edas despu\u00e9s. Nunca se pudo recuperar el original de entre sus papeles. Y el premio se otorg\u00f3 a Abel, p\u00f3stumamente, y a Jacobi. Galois ardi\u00f3 de ira.<\/p>\n

E<\/strong>n 1831 finalmente se ley\u00f3 el veredicto de los trabajos de Galois en la academia, y el resultado fue cuanto menos inesperado: no aprobaban las demostraciones. O bien no lo entendieron, o bien no quisieron aceptar las innovadoras ideas de Galois. El trabajo presentaba todo un nuevo mundo matem\u00e1tico para resolver un problema cl\u00e1sico, que por el momento se hab\u00eda tratado con herramientas totalmente diferentes.<\/p>\n

Parece que choc\u00f3 con las ideas conservadoras de las matem\u00e1ticas y tambi\u00e9n en pol\u00edtica. Entre tanto, el inter\u00e9s por la pol\u00edtica del matem\u00e1tico hab\u00eda aumentado. En 1830, el padre de Galois se suicid\u00f3 al verse involucrado en un esc\u00e1ndalo pol\u00edtico. En ese momento ten\u00eda que prepararse para los ex\u00e1menes de la Ecole Polythecnique, que, comprensiblemente, no har\u00eda en las mejores condiciones. De nuevo le suspendieron.<\/p>\n

Mientras tanto, Galois intensificaba su acci\u00f3n pol\u00edtica, lo que le llev\u00f3 a enfrentamientos con el director del Lyceo del momento y finalmente, a su expulsi\u00f3n. El siguiente esc\u00e1ndalo sucedi\u00f3 en un evento social en el que, supuestamente, brind\u00f3 con un navaja abierta en la mano por el rey Louis-Philippe. Esto se consider\u00f3 como una amenaza al rey, y fue arrestado al d\u00eda siguiente en casa de su padre, y llevado a juicio el 15 de junio de 1831, donde fue absuelto.<\/p>\n

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Dibujo de Galois<\/figcaption><\/figure>\n

Duelo misterioso<\/strong><\/p>\n

Pocos meses despu\u00e9s volv\u00eda\u00a0 ser detenido, en este caso por llevar armas, y esta vez s\u00ed, encarcelado durante seis meses. En 1832, una vez fuera de prisi\u00f3n, conoci\u00f3 a Stephanie Potterin en la casa de convalecencia en la ingres\u00f3 por un brote de c\u00f3lera, y se enamor\u00f3 perdidamente. Parece que al principio la muchacha mostr\u00f3 tambi\u00e9n inter\u00e9s por Galois, pero no tard\u00f3 en rechazar sus propuestas con frialdad. Galois estaba devastado. Esto nos lleva al cap\u00edtulo final: su muerte.<\/p>\n

La muerte de Galois est\u00e1 rodeada de misterio. Parece que pudo ofender de alguna manera a Stephanie, lo que hizo que dos personas cercanas a ellas provocaran el duelo, que Galois no pudo ignorar, pese a que era consciente de su desventaja y del riesgo que corr\u00eda. Durante la noche previa al encuentro, escribi\u00f3 tres cartas: la primera a \u201ctodos los republicanos\u201d, la segunda a dos de sus amigos, y la tercera, a su amigo matem\u00e1tico Auguste Chevalier, en la que presenta un conciso sumario del ensayo que hab\u00eda sido rechazado por la academia, y otros desarrollos. Esboza, en esta carta, lo que se conoce como teor\u00eda de Galois. Repas\u00f3 r\u00e1pidamente los art\u00edculos matem\u00e1ticos e hizo algunos cambios de \u00faltima hora: anot\u00f3, en uno de los bordes, la devastadora cita \u201cno me queda tiempo\u201d.<\/p>\n

El duelo tuvo lugar durante las primeras horas de la ma\u00f1ana del 30 de mayo de 1832. Una bala atraves\u00f3 el est\u00f3mago de Galois, pero no muri\u00f3 en el acto. Alguien, desconocido, le llev\u00f3 al hospital Cochin unas horas m\u00e1s tarde, donde finalmente muri\u00f3, al d\u00eda siguiente, de peritonitis. No se sabe qui\u00e9nes fueron los participantes del duelo, ni quien termin\u00f3 con la vida del joven matem\u00e1tico. Tampoco nos podemos imaginar las ideas geniales que pudo haber generado la cabeza del joven matem\u00e1tico.<\/p>\n

Su amigo matem\u00e1tico se ocup\u00f3 del legado matem\u00e1tico de Galois, y sus art\u00edculos fueron aceptados por la academia en 1843. En 1856, la teor\u00eda de Galois fue introducida en los cursos avanzados de \u00e1lgebra en Francia y Alemania. Hoy sigue siendo una de las grandes leyendas de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

M\u00e1s informacion:<\/strong><\/p>\n

La historia de la resoluci\u00f3n de ecuaciones polin\u00f3micas: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/resolucion-de-ecuaciones<\/p>\n

El A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda: https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/tag\/ano-internacional-cristalografia<\/p>\n

—<\/p>\n

\u00c1gata A. Tim\u00f3n<\/strong> es responsable de Comunicaci\u00f3n y Divulgaci\u00f3n del ICMAT<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Especial A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda Seguimos con la gran haza\u00f1a de la resoluci\u00f3n de las ecuaciones polin\u00f3micas, que involucr\u00f3 a algunos de los matem\u00e1ticos m\u00e1s importantes, desde los babil\u00f3nicos hasta el siglo XVII. Hoy llegamos al cap\u00edtulo final. En una entrada anterior hablamos del trabajo de Niels Abel, que demostr\u00f3 que, a partir de grado 5, no hab\u00eda una f\u00f3rmula general para resolver la ecuaci\u00f3n. Despu\u00e9s de esto todav\u00eda queda una gran pregunta abierta: \u00bfpodemos saber qu\u00e9 ecuaciones s\u00ed pueden resolverse con una f\u00f3rmula que solo involucre operaciones elementales? 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