{"id":139874,"date":"2015-07-31T07:11:33","date_gmt":"2015-07-31T06:11:33","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=139874"},"modified":"2015-07-31T10:02:19","modified_gmt":"2015-07-31T09:02:19","slug":"capacidades-de-canales-via-normas-p-sumantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2015\/07\/31\/139874","title":{"rendered":"Capacidades de canales v\u00eda normas p-sumantes"},"content":{"rendered":"
Rese\u00f1a cient\u00edfica aparecida en el ICMAT Newsletter #9<\/a><\/strong><\/div>\n
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T\u00edtulo:Channel capacities via p-summing norms<\/address>\n
Autores: Marius Junge (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, EE UU) y Carlos Palazuelos (UCM-ICMAT)<\/address>\n
Fuente:Advances in Mathematics 272, 350-398<\/address>\n
Fecha de publicaci\u00f3n: febrero de 2015<\/address>\n
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En los \u00faltimos a\u00f1os han aparecido interesantes aplicaciones de las t\u00e9cnicas del \u00e1lgebra de operadores y del an\u00e1lisis funcional a la teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. Por ejemplo, las t\u00e9cnicas de espacios de operadores se han aplicado en el contexto de las desigualdades de Bell, la probabilidad libre ha resultado ser muy \u00fatil para estudiar la capacidad cl\u00e1sica de un canal cu\u00e1ntico, y versiones no conmutativas del Teorema de Grotendieck se han empleado para obtener aproximaciones eficientes para ciertos valores de juegos cu\u00e1nticos.<\/p>\n

Una parte importante del trabajo del Laboratorio Marius Junge del ICMAT se centra en esta conexi\u00f3n entre las matem\u00e1ticas y la informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. En esta l\u00ednea se engloba el reciente trabajo publicado por Marius Junge (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, EE UU) y Carlos Palazuelos (UCM-ICMAT) en la revista Advances in Mathematics el pasado mes de febrero. En este trabajo los investigadores han descubierto una conexi\u00f3n, hasta ahora insospechada, entre dos \u00e1reas muy activas de la investigaci\u00f3n actual: la llamada teor\u00eda m\u00e9trica de productos tensoriales, iniciada por el recientemente fallecido Alexander Grothendieck, y el estudio de las capacidades de los canales, un tema central en la teor\u00eda de la informaci\u00f3n de Shannon. Seg\u00fan esta teor\u00eda, la transmisi\u00f3n de informaci\u00f3n entre un emisor y un receptor est\u00e1 descrita por una aplicaci\u00f3n que a cada secuencia de bits (el mensaje emitido) le asigna otra secuencia con una cierta probabilidad (el mensaje recibido).<\/p>\n

Esta probabilidad representa el ruido (errores) en la emisi\u00f3n \u2013que puede poner en riesgo la comunicaci\u00f3n eficiente. De forma general, un canal cl\u00e1sico se define como una aplicaci\u00f3n lineal positiva que preserva distribuciones de probabilidad. Esto es, la acci\u00f3n de un canal no se define exclusivamente sobre las secuencias de bits, sino que tambi\u00e9n se permite como entrada del canal cualquier distribuci\u00f3n de probabilidad sobre dichas secuencias. La capacidad del canal es una relaci\u00f3n entre el n\u00famero de bits transmitidos y el n\u00famero de usos del canal requeridos (matem\u00e1ticamente, el n\u00famero de veces que tenemos que tensorizar el canal consigo mismo) para transmitir esos bits; es un valor asint\u00f3tico porque se considera cuando el error en la comunicaci\u00f3n tiende a cero.<\/p>\n

El principal resultado del art\u00edculo de Junge y Palazuelos, aunque se refiere a un contexto mucho m\u00e1s general, muestra una bonita relaci\u00f3n entre la teor\u00eda de la informaci\u00f3n de Shannon y los operadores p-sumantes \u2013introducidos por Grothendieck\u2013 cuando se aplica a canales cl\u00e1sicos. Asegura que la capacidad del canal se puede obtener diferenciando la norma p-sumante del canal, cuando este se entiende como una aplicaci\u00f3n lineal entre ciertos espacios de Banach. La teor\u00eda de los operadores p-sumantes fue introducida por Grothendieck y, desde entonces, muchos matem\u00e1ticos la han estudiado de forma exhaustiva como uno de los pilares de la teor\u00eda local de espacios de Banach. Estos operadores son aplicaciones lineales entre espacios de Banach cuya norma permanece acotada cuando se tensorizan, de una cierta forma, con el operador identidad sobre espacios Lp .<\/p>\n

De hecho, los operadores p-sumantes han resultado ser una herramienta muy \u00fatil para estudiar propiedades geom\u00e9tricas de los espacios de Banach, y su relaci\u00f3n con la teor\u00eda de la probabilidad y el an\u00e1lisis arm\u00f3nico. Recientemente, el matem\u00e1tico Gilles Pisier generaliz\u00f3 la teor\u00eda de los operadores p-sumantes al contexto de los espacios de operadores, una versi\u00f3n no conmutativa de los espacios de Banach, a trav\u00e9s de los llamados operadores completamente p-sumantes. La propia definici\u00f3n de estos operadores es muy interesante, ya que involucra el uso de espacios Lp no conmutativos y vectoriales, introducidos por el propio Pisier.<\/p>\n

Considerando la relaci\u00f3n anterior entre los operadores p-sumantes y la capacidad de un canal cl\u00e1sico, es natural plantearse si los operadores completamente p-sumantes pueden tener un papel an\u00e1logo en la versi\u00f3n cu\u00e1ntica (es decir, no conmutativa) de la teor\u00eda de Shannon; esto es, en la teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. En este contexto se consideran los canales cu\u00e1nticos, que son aplicaciones lineales completamente positivas entre \u00e1lgebras de matrices y que preservan la traza.<\/p>\n

En este nuevo contexto, uno puede estudiar la capacidad del canal para transmitir informaci\u00f3n cl\u00e1sica (bits) y tambi\u00e9n informaci\u00f3n cu\u00e1ntica (qubits). Es m\u00e1s, en el escenario cu\u00e1ntico aparece un fen\u00f3meno sorprendente, llamado entrelazamiento cu\u00e1ntico. Sin entrar en muchos detalles, el entrelazamiento permite que dos sistemas est\u00e9n correlacionados de manera que, actuando sobre uno de ellos, se puede modificar de forma instant\u00e1nea el estado del otro sistema.De esta manera, no es sorprendente que el emisor y el receptor de un canal puedan usar un estado entrelazado para incrementar la capacidad de enviar informaci\u00f3n. En este caso, hablamos de capacidad del canal con entrelazamiento asistido.<\/p>\n

El principal resultado del paper publicado en Advances in Mathematics establece que la capacidad cl\u00e1sica de un canal cu\u00e1ntico con entrelazamiento asistido puede ser obtenida diferenciando la norma completamente p-sumantes del canal, cuando \u00e9ste se considera como una aplicaci\u00f3n entre ciertas \u00e1lgebras de matrices. El trabajo tiende as\u00ed un puente entre dos teor\u00edas muy importantes de la matem\u00e1tica actual que, hasta el momento, estaban desconectadas. Esto permitir\u00e1 usar las t\u00e9cnicas de espacios de operadores para entender diferentes cuestiones en el contexto de los canales cu\u00e1nticos. M\u00e1s a\u00fan, abre tambi\u00e9n la posibilidad de explorar la direcci\u00f3n contraria: c\u00f3mo las t\u00e9cnicas de la teor\u00eda de canales cu\u00e1nticos se pueden aplicar a la teor\u00eda de \u00e1lgebras de operadores y espacios de operadores.<\/p>\n

Sobre los autores:<\/strong><\/span><\/p>\n

Carlos Palazuelo<\/strong>s (Madrid, 1979), obtuvo su doctorado en Matem\u00e1ticas por la Universidad Complutense de Madrid (UCM) en 2009. Tras ello, estuvo un a\u00f1o en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign (EE UU), antes de incorporarse al ICMAT con un contrato Juan de la Cierva en el CSIC. En 2013 obtuvo un contrato Ram\u00f3n y Cajal que desarrolla actualmente en la UCM. Sus principales \u00e1reas de inter\u00e9s son el an\u00e1lisis funcional y la teor\u00eda de la informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. Gran parte de su trabajo est\u00e1 centrado en las aplicaciones de la teor\u00eda de los espacios de operadores (un an\u00e1logo no conmutativo de la teor\u00eda de espacios de Banach) a la teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica; y en particular a la teor\u00eda de las desigualdades de Bell, el entrelazamiento cu\u00e1ntico y los canales cu\u00e1nticos. Parte de su investigaci\u00f3n est\u00e1 relacionada con problemas del campo de las \u00e1lgebras de operadores. Otra de sus l\u00edneas de investigaci\u00f3n se engloba en el an\u00e1lisis arm\u00f3nico no conmutativo, en particular, sobre la hipercontractividad en las \u00e1lgebras de von Neuman. Sus trabajos se pueden encontrar en revistas como Communications in Mathematical Physics, Advances in Mathematics, Annales Scientifiques de l\u2019\u00c9cole Normale Sup\u00e9rieure, Physical Review Letters y Computational Complexity-<\/p>\n


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Marius Junge<\/strong> (1962, Hannover, Alemania). Doctor por la Universidad Christian-Albrechts en Kiel (bajo la supervisi\u00f3n de Herman K\u00f6nig) es actualmente catedr\u00e1tico en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign. Es director del Laboratorio Junge-ICMAT que se puso en marcha con el programa Severo Ochoa. Marius Junge es uno de los mayores expertos mundiales en probabilidad cu\u00e1ntica, teor\u00eda de espacios de operadores, an\u00e1lisis arm\u00f3nico no conmutativo y, m\u00e1s recientemente en teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. Cabe destacar sus aportaciones a los teoremas erg\u00f3dicos, y de maximal no conmutativo de Doob, as\u00ed como al programa de Grothendieck para \u00e1lgebras de von Neumann; la teor\u00eda de inclusi\u00f3n Lp en la categor\u00eda de espacios de operadores y m\u00e1s recientemente, sus trabajos en multiplicadores de Fourier para las \u00e1lgebras de von Neumann de grupo; y tambi\u00e9n en desigualdades de Bell. En el proyecto del Laboratorio-ICMAT, el principal objetivo es incluir la perspectiva de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica en el contexto del an\u00e1lisis arm\u00f3nico y la teor\u00eda de la informaci\u00f3n. Adem\u00e1s, algunos de los problemas que se tratan en el laboratorio podr\u00e1n aportar nuevas perspectivas al an\u00e1lisis arm\u00f3nico cl\u00e1sico. En relaci\u00f3n con la informaci\u00f3n cu\u00e1ntica, el trabajo del Laboratorio se centra en canales cu\u00e1nticos, desigualdades de Bell, teor\u00eda del entrelazamiento y juegos cu\u00e1nticos v\u00eda espacios de operadores.<\/p>\n

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Bolet\u00edn ICMAT<\/h1>\n

El\u00a0Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas<\/em>\u00a0(ICMAT) lanza este bolet\u00edn con el que quiere mostrar a la comunidad cient\u00edfica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. El bolet\u00edn quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera m\u00e1s amplia, en un centro de excelencia de investigaci\u00f3n matem\u00e1tica. Se presentan temas de inter\u00e9s relacionados con la investigaci\u00f3n matem\u00e1tica actual, la actividad cient\u00edfica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad cient\u00edfica, presentados para p\u00fablico general con inter\u00e9s por la ciencia.\u00a0 Los autores de estos art\u00edculos son los propios investigadores del Instituto u otros matem\u00e1ticos que colaboren con el ICMAT, adem\u00e1s de un equipo especial dedicado a la comunicaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Puede suscribirse a la lista de distribuci\u00f3n en este enlace<\/a><\/p>\n

Puede descargar el \u00faltimo n\u00famero aqu\u00ed<\/a><\/p>\n

Y todos los n\u00fameros publicados hasta ahora en http:\/\/www.icmat.es\/outreach\/newsletter<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Rese\u00f1a cient\u00edfica aparecida en el ICMAT Newsletter #9 T\u00edtulo:Channel capacities via p-summing norms Autores: Marius Junge (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, EE UU) y Carlos Palazuelos (UCM-ICMAT) Fuente:Advances in Mathematics 272, 350-398 Fecha de publicaci\u00f3n: febrero de 2015 \u00a0 En los \u00faltimos a\u00f1os han aparecido interesantes aplicaciones de las t\u00e9cnicas del \u00e1lgebra de operadores y del an\u00e1lisis funcional a la teor\u00eda de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica. 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