![\"\"](\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2016\/02\/GIF-Rubik-Cube-Huge-giphy.gif\" "\\"GIF")
<\/a><\/p>\n<\/p>\n
Desde el punto de vista matem\u00e1tico, la teor\u00eda de grupos se reduce a conceptos abstractos y super elaborados: grupos topol\u00f3gicos, grupos de transformaciones, teor\u00eda geom\u00e9trica y combinatoria de grupos o teor\u00eda de sus representaciones. Son muchos los resultados obtenidos fruto de la investigaci\u00f3n en este terreno: un hito de los a\u00f1os 70 fue la clasificaci\u00f3n de los grupos simples, finito dimensionales. Desde el punto de vista formal, la teor\u00eda tiene una gran belleza y para un matem\u00e1tico basta el deleite de un enunciado conciso: \u201cCualquier grupo simple, finito es isomorfo a un grupo c\u00edclico de orden primo, a un grupo alternante de orden cinco o superior, a un grupo de Lie simple (incluy\u00e9ndose los grupos cl\u00e1sicos conocidos: unitario, simpl\u00e9tico, ortogonal…) o a un grupo espor\u00e1dico (uno de los 26 grupos excepcionales o twisted)<\/em>\u201d.-Teorema de Jordan-H\u00f6lder.<\/p>\n <\/em>Sin embargo, aparte de la aparente simplicidad y precisi\u00f3n del enunciado (su demostraci\u00f3n ocupa miles de p\u00e1ginas con contribuciones de m\u00e1s de cien autores), existen grandes aplicaciones de la teor\u00eda de grupos en otras disciplinas cient\u00edficas. En particular, durante la segunda mitad del siglo XX, la teor\u00eda de grupos se ve afectada por las simetr\u00edas continuas (influenciadas por los grupos de Weyl<\/em>, grupos finitos generados por reflexiones actuando en el espacio euclidiano), originando los grupos de Lie y sus t\u00e9cnicas asociadas: simetr\u00edas de Lie y grupos de transformaciones, que han servido de gran apoyo en la resoluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales: de constante aparici\u00f3n en modelos f\u00edsicos, matem\u00e1ticos, financieros o biom\u00e9dicos. Por ejemplo, el \u00e1tomo de hidr\u00f3geno es representado por el grupo de simetr\u00edas SO(4). Otro ejemplo importante en la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica es la invarianza de las funciones de ondas bajo el grupo de simetr\u00edas U(1<\/em>), es decir, las funciones de onda desencadenan la misma fenomenolog\u00eda f\u00edsica aunque presenten un cambio de fase tipo ei\u03b1<\/sup>.<\/p>\n El enunciado anterior puede comprobarse trivialmente hallando la densidad de probabilidad P <\/em>de que una part\u00edcula se encuentre inmersa en una regi\u00f3n del espacio. El c\u00e1lculo se realiza de la siguiente forma:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n donde \u03a6 es la funci\u00f3n de onda en un espacio de Hilbert H<\/em>, \u03a6*<\/sup>es su conjugada compleja y dr<\/em> es el diferencial de volumen. Est\u00e1 claro la densidad de probabilidad es invariante bajo transformaciones \u03a6 –> ei\u03b1 <\/sup>\u03a6, siempre que se encuentren combinaciones de la funci\u00f3n de onda y su complejo conjugada.<\/p>\n Una de las disciplinas cient\u00edficas m\u00e1s famosas por el uso de la teor\u00eda de grupos es la f\u00edsica de part\u00edculas. En 1969, el f\u00edsico estadounidense Gell-mann predijo la existencia la part\u00edcula \u03a9, una pieza fundamental en el incompleto modelo de SU(3)<\/em> de sabor.<\/p>\n Acostumbrados a la intuici\u00f3n f\u00edsica, este caso supuso un claro ejemplo de intuici\u00f3n matem\u00e1tica, lejana a las evidencias experimentales (probadas cuatro a\u00f1os despu\u00e9s del postulado de existencia, en el laboratorio de f\u00edsica de part\u00edculas de Brookhaven).<\/p>\n Hasta el momento, las cuatro interacciones fundamentales en la naturaleza (interacci\u00f3n fuerte, d\u00e9bil, electromagn\u00e9tica y gravitatoria) hab\u00edan sugerido la existencia de familias de part\u00edculas con una serie de propiedades. Dependiendo de su interacci\u00f3n, se hizo una primera clasificaci\u00f3n en leptones<\/em> y hadrones<\/em>, aquellas que no interact\u00faan \u201cfuerte\u201d (transparentes a esta interacci\u00f3n) y las que s\u00ed, respectivamente. Los componentes fundamentales de los hadrones se denominan quarks<\/em>.<\/p>\n <\/p>\n Dentro de los hadrones, se hizo una primera clasificaci\u00f3n atendiendo al spin<\/em>, cualidad de las part\u00edculas que se manifiesta en la presencia de campos electromagn\u00e9ticos (recordatorio: si las part\u00edculas tienen spin semientero se denominan fermione<\/em>s y si es entero, son bosones<\/em>), y una segunda subclasificaci\u00f3n dentro de los posibles spines enteros y semienteros: la representaci\u00f3n de las part\u00edculas atendiendo a su spin isot\u00f3pico <\/em>o isosp\u00edn<\/em>. El isospin es otra propiedad intr\u00ednseca de las part\u00edculas, dependiente de su contenido quark. Las part\u00edculas fundamentales contempladas por grupo de simetr\u00edas global SU(3)<\/em> sabor est\u00e1n compuestas principalmente por los tres quarks m\u00e1s ligeros u, d y s,<\/em> que son los denominados sabores<\/em>. As\u00ed, los hadrones se denominar\u00e1n bariones<\/em> si contienen tres quarks o mesones<\/em> si contienen un quark y un antiquark. Existen part\u00edculas ex\u00f3ticas<\/em> que no siguen estas reglas de contenido quark.<\/p>\n La genial idea de Gell-Mann fue hacer las representaciones irreducibles de SU(3)<\/em> sabor atendiendo al spin de los fermiones m\u00e1s ligeros (1\/2) y su primera excitaci\u00f3n, con spin 3\/2) y los bosones m\u00e1s ligeros (con spin 0 y su primeras excitaciones, con spin 1). Si se representa cada part\u00edcula con las mencionadas propiedades en unos ejes coordenados en los que se representan la proyecci\u00f3n de isosp\u00edn y la hipercarga<\/em> (magnitud f\u00edsica que combina el n\u00famero bari\u00f3nico y la propiedad extra\u00f1eza), se obtienen los diagramas a continuaci\u00f3n. Notar que I3<\/sub> <\/em>o T3<\/sub><\/em> es la mencionada proyecci\u00f3n de isospin e Y<\/em> representa la hipercarga.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n El resultado fue los octetes<\/em> (a pesar de ser hex\u00e1gonos existen dos part\u00edculas en el centro, de ah\u00ed que sea un octete) representaban las propiedades f\u00edsicas de las part\u00edculas conocidas. En el caso del decuplete<\/em> (o sea, el tri\u00e1ngulo), las part\u00edculas se\u00f1aladas eran conocidas excepto la \u03a9 situada en el pico. Esta representaci\u00f3n pict\u00f3rica de una idea abstracta matem\u00e1tica, fue la que indic\u00f3 que deber\u00eda existir otra part\u00edcula que completara el decuplete. Y as\u00ed fue como, posteriormente, el modelo SU(3)<\/em> sabor pudo completarse adecuadamente.<\/p>\n No obstante, en los \u00faltimos tiempos, parece que el modelo est\u00e1ndar se tambalea, debido a la existencia de teor\u00edas superiores y que poco a poco, podr\u00e1n corroborarse experimentalmente debido a la infrastructura que estamos construyendo, como el acelerador-detector LHC (Large Hadron Collider<\/em>). Sin embargo, otra pieza clave del puzzle fue corroborada en 4 de Julio del 2012, en la que se probaba la existencia del bos\u00f3n de Higgs<\/em>, o part\u00edcula encargada de la dotaci\u00f3n de masa de las part\u00edculas del modelo est\u00e1ndard. Este descubrimiento reafirm\u00f3 la base te\u00f3rica del modelo est\u00e1ndard, sin embargo, los experimentos posteriores, a\u00fan no anunciados oficialmente, parecen apuntar la existencia de m\u00e1s de un bos\u00f3n de Higgs, lo que de nuevo, nos llevar\u00eda a una redefinici\u00f3n del modelo est\u00e1ndard. No obstante, a d\u00eda de hoy, el modelo est\u00e1ndar sigue present\u00e1ndose como el modelo de grupo de simetr\u00edas gauge SU(2) \u00d7 SU(3) \u00d7 U(1),<\/em> que se corresponden, respectivamente, con los grupos asociados al isospin d\u00e9bil<\/em>, color<\/em> (otra propiedad de las part\u00edculas interactuando en un campo fuerte<\/em>) y la hipercarga d\u00e9bil<\/em>. Sin embargo, el grupo gauge no tiene cabida en este breve comentario de c\u00f3mo la teor\u00eda de grupos, una teor\u00eda matem\u00e1tica estrictamente abstracta, contibuy\u00f3 en la predicci\u00f3n de un modelo f\u00edsico.<\/p>\n Quepa esta anotaci\u00f3n te\u00f3rico-hist\u00f3rica para convencer a matem\u00e1ticos recalcitrantes, que la aplicaci\u00f3n de una teor\u00eda matem\u00e1tica al mundo que nos rodea, puede conducirnos a resultados excepcionales, m\u00e1s all\u00e1 de lo esperado, que no s\u00f3lo existe la belleza en un enunciado formal, autocontenido y l\u00f3gico, sino que la naturaleza es caprichosa y nos brinda muchos secretos que a\u00fan hemos de descubrir.<\/p>\n ____________<\/p>\n Christina Sard\u00f3n<\/strong>, Salamanca<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" La mayor\u00eda de lectores estar\u00e1 familiarizado con la teor\u00eda de grupos y son conscientes de su influencia en el \u00e1lgebra moderna. Muchos, adem\u00e1s, ser\u00e1n expertos en el manejo de esta estructura algebraica. Desde el punto de vista matem\u00e1tico, la teor\u00eda de grupos se reduce a conceptos abstractos y super elaborados: grupos topol\u00f3gicos, grupos de transformaciones, teor\u00eda geom\u00e9trica y combinatoria de grupos o teor\u00eda de sus representaciones. Son muchos los resultados obtenidos fruto de la investigaci\u00f3n en este terreno: un hito de los a\u00f1os 70 fue la clasificaci\u00f3n de los grupos simples, finito dimensionales. Desde el punto de vista formal,\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\n
\n<\/strong><\/a><\/em><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/a><\/a>