{"id":140934,"date":"2016-04-01T09:00:13","date_gmt":"2016-04-01T08:00:13","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=140934"},"modified":"2019-04-18T10:40:45","modified_gmt":"2019-04-18T09:40:45","slug":"la-escuela-pitagorica-y-la-musica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/04\/01\/140934","title":{"rendered":"La escuela pitag\u00f3rica y la m\u00fasica"},"content":{"rendered":"

Manuel de Le\u00f3n\u00a0(ICMAT-CSIC) y Cristina Sard\u00f3n (ICMAT-CSIC) continuan en esta entrada con su exploraci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre m\u00fasica y matem\u00e1ticas. Para empezar el relato, como no pod\u00eda ser de otra manera, recurren a Pit\u00e1goras. Para este importante personaje de la Grecia Antigua, y para su escuela, la conexi\u00f3n entre las matem\u00e1ticas y la m\u00fasica era evidente y decisiva para sus vidas.<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a>
If man in 5, then the devil is 6, then god is 7…<\/figcaption><\/figure>\n

There was a guy<\/em>
\n An under water guy who controlled the sea<\/em>
\n Got killed by ten million pounds of sludge<\/em>
\n From New York and New Jersey<\/em><\/p>\n

This monkey’s gone to Heaven<\/em>
\n <\/em><\/em><\/p>\n

The creature in the sky<\/em>
\n Got sucked in a hole<\/em>
\n Now there’s a hole in the sky<\/em><\/p>\n

And the ground’s not cold<\/em>
\n And if the ground’s not cold<\/em>
\n Everything is gonna burn<\/em>
\n We’ll all take turns, I’ll get mine too<\/em><\/p>\n

This monkey’s gone to Heaven<\/em>
\n <\/em><\/em><\/p>\n

Rock me Jo
\n<\/em><\/p>\n

If Man is five, if Man is five, if Man is five<\/em>
\n Then the Devil is six, then the Devil is six<\/em>
\n The Devil is six, the Devil is six and if the Devil is six<\/em>
\n Then God is seven , then God is seven<\/em><\/p>\n

Monkey gone to heaven<\/em><\/a>, Pixies<\/div>\n

La afirmaci\u00f3n de que la m\u00fasica y las matem\u00e1ticas est\u00e1n relacionadas se ha convertido ya en un hecho indiscutible. Cualquiera que se haya acercado a la m\u00fasica sabe que est\u00e1 llena de patrones, simetr\u00edas, repeticiones, etc. que no son sino el reflejo de su contenido matem\u00e1tico.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Cuando se habla del origen de esta relaci\u00f3n entre m\u00fasica y matem\u00e1ticas, uno empieza siempre recurriendo a Pit\u00e1goras. Recordemos algunos datos sobre este importante personaje de la Grecia Antigua. Como ocurre con muchos personajes de la antig\u00fcedad, no existen datos muy fiables sobre la vida de Pit\u00e1goras. Por ejemplo, en el libro Vidas de fil\u00f3sofos ilustres, <\/em>\u00a0de Di\u00f3genes Laercio, los datos son a veces contradictorios. La causa en este caso es que no hay biograf\u00edas de alg\u00fan contempor\u00e1neo suyo as\u00ed como la naturaleza esot\u00e9rica de la comunidad pitag\u00f3rica.<\/p>\n

El fil\u00f3sofo y matem\u00e1tico griego Pit\u00e1goras, naci\u00f3 en 569 a.C. en una peque\u00f1a isla oriental griega, Samos. Su padre fue Mnesarco, un mercader de Tiro, y al parecer, Pit\u00e1goras lo habr\u00eda acompa\u00f1ado a muchos de sus viajes. Se suelen mencionar como maestros de Pit\u00e1goras a Fer\u00e9cides de Siros, a Tales y a su pupilo, Anaximandro. Estos dos \u00faltimos lo llevaron a interesarse por las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Se supone que Pit\u00e1goras visit\u00f3 Egipto, Babilonia y se habla incluso de la India, con el prop\u00f3sito de recolectar todo el concimiento de su tiempo. La visita a Egipto parece estar basada en las alianzas del rey de Samos, Pol\u00edcrates, con los egipcios. Finalmente, Pit\u00e1goras se establece en el sur de Italia. Seg\u00fan Di\u00f3genes, Piat\u00e1goras eligi\u00f3 Crotona escapando de la tiran\u00eda de Pol\u00edcrates, pero no est\u00e1 claro que esta haya sido la causa y si quiz\u00e1s el escaso \u00e9xito de Pit\u00e1goras en su ciudad natal.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

A su llegada, funda su escuela, la llamada escuela Pitag\u00f3rica, en el golfo de Tarento. Desafortunadamente, esta escuela dur\u00f3 en su primera sede menos de un siglo, y fue destruida por causas pol\u00edticas. No obstante, los fundamentos de la escuela perduraron en Alejandr\u00eda y pa\u00edses aleda\u00f1os como Grecia, durante siglos despu\u00e9s.<\/p>\n

La escuela pitag\u00f3rica atrajo enseguida numerosos seguidores. Practicaba el ascetismo y eran vegetarianos, y se basaba fundamentalmente en las matem\u00e1ticas. Se llamaban a s\u00ed mismos matem\u00e1ticos (matematikoi<\/em>), y observaban estrictas reglas de conducta personal.<\/p>\n

Los pitag\u00f3ricos m\u00e1s conocidos fueron contempor\u00e1neos de Plat\u00f3n, como Arquitas, \u00abel tirano de Tarento\u00bb, Hiceas de Siacusa (quien intuye por primera vez la rotaci\u00f3n de la tierra sobre su propio eje) o Efkanto, quien avanza la teor\u00eda del atomismo desarrollada m\u00e1s tarde por Dem\u00f3crito y Leucipo. Durante los siglos posteriores, el pitagorismo sigue vigente, aunque no existan muchas referencias hist\u00f3ricas sobre sus miembros.<\/p>\n

Los prop\u00f3sitos de la escuela estaban claramente basados en creencias religiosas. La clave principal consist\u00eda en explicar los misterios del universo para conseguir la posterior purificaci\u00f3n del alma. El medio para llegar al principio de todas las cosas y su salvaci\u00f3n, eran las matem\u00e1ticas. La fundamentalizaci\u00f3n religiosa del grupo fue tan importante, que estaba prohibido el sacrificio de animales, pues sus cuerpos podr\u00edan ser la futura morada de su alma, ya que los pitag\u00f3ricos cre\u00edan en la transmigraci\u00f3n (la metempsicosis).<\/p>\n

Los pitag\u00f3ricos se centraron especialmente en la geometr\u00eda y los n\u00fameros. De hecho, el emblema de la escuela era una estrella pentagonal, que se forma al trazar las cinco diagonales de un pent\u00e1gono. Esta figura encierra relaciones a\u00fareas que lo hac\u00edan sumamente interesante para los pitag\u00f3ricos.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

El n\u00famero se convirti\u00f3 en el ente ra\u00edz de todos los objetos y pensamientos. El mismo Pit\u00e1goras dec\u00eda: \u201cDios, es en efecto, un n\u00famero\u201d. Seg\u00fan Di\u00f3genes Laercio, Pit\u00e1goras afirmaba: \u00abQue el principio de todas las cosas es la unidad, y que de \u00e9sta procede la dualidad, que es indefinida y depende, como materia, de la unidad que la causa. As\u00ed, la numeraci\u00f3n proviene de la unidad y de la dualidad indefinida. De los n\u00fameros provienen los puntos; de \u00e9stos, las l\u00edneas; de las l\u00edneas, las figuras planas; de las figuras planas, las s\u00f3lidas, y de \u00e9stas los cuerpos s\u00f3lidos, de los cuales constan los cuatro elementos, fuego, agua, tierra y aire, que trascienden y giran por todas las cosas, y de ellos se engendra el mundo animado, intelectual, esf\u00e9rico, que abraza en medio a la tierra, tambi\u00e9n esf\u00e9rica y habitada en todo su rededor<\/em>\u00ab.<\/p>\n

En particular, a los pitag\u00f3ricos les llamaba la atenci\u00f3n los denominados n\u00fameros perfectos. Son los n\u00fameros que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto \u00e9l mismo, por ejemplo, el 6 es un n\u00famero perfecto puesto que 6=1+2+3.<\/p>\n

Tambi\u00e9n mostraron especial inter\u00e9s por los denominados n\u00fameros cuadrados. Se formaban tomando el 1 como punto de partida y se le suma la serie ascendente de n\u00fameros impares. La progresi\u00f3n aritm\u00e9tica que surge tiene la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcci\u00f3n,\u00a0 la suma de la unidad y de los n\u00fameros impares da un n\u00famero expresable en un cuadrado perfecto. Por ejemplo:<\/p>\n

1+3=4<\/p>\n

1+3+5=9<\/p>\n

1+3+5+7=16<\/p>\n

Por supuesto que podr\u00edamos mencionar el famoso Teorema de Pit\u00e1goras y muchos otros resultados vinculados con los logros de Pit\u00e1goras y sus disc\u00edpulos, pero no es este el lugar para un detalle exhaustrivo sobre este personaje. Comentar que no se tienen muchos detalles sobre su muerte; parece que en 508 a.C. los pitag\u00f3ricos de Crotona fueron violentamente atacados y Pit\u00e1goras escap\u00f3 a Metaponto, sonde muri\u00f3.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Sin embargo, los pitag\u00f3ricos tambi\u00e9n hicieron especial hincapi\u00e9 en dos disciplinas, a priori, no tan relacionadas con las matem\u00e1ticas, la m\u00fasica y la astronom\u00eda.\u00a0 De aqu\u00ed surgi\u00f3 posteriormente el Quadrivium<\/em> medieval,\u00a0 o clasificaci\u00f3n de sus ciencias de inter\u00e9s en aritm\u00e9tica, geometr\u00eda, m\u00fasica y astronom\u00eda. La m\u00fasica fue de hecho muy influyente en el pensamiento de Pit\u00e1goras.<\/p>\n

Dado que los n\u00fameros estaban presentes en cualquier entidad, desde el punto de vista pitag\u00f3rico-matem\u00e1tico, (quepa el inciso de que a d\u00eda de hoy, los matem\u00e1ticos estamos de acuerdo con esta afirmaci\u00f3n de hace 25 siglos), Pit\u00e1goras se dedic\u00f3 a la identificaci\u00f3n de los patrones matem\u00e1ticos en la m\u00fasica.<\/p>\n

Seg\u00fan los relatos del fil\u00f3sofo romano Boecio, Pit\u00e1goras, obsesionado con explicar los intervalos fijos de la escala musical, se deten\u00eda frente a los golpes de un martillo contra un yunque en la herrer\u00eda. Hab\u00eda un total de cinco martillos, de los cuales cuatro ten\u00edan una relaci\u00f3n num\u00e9rica entera entre sus pesos, y el quinto no se identificaba con el resto. Intuitivamente, el quinto martillo no contribu\u00eda en armon\u00eda y efectivamente, una vez retirado del experimento, pod\u00eda comprobarse que el m\u00e1s pesado de los martillos, con un peso doble que uno de los restantes, produc\u00eda sonidos en una octava menor. El peso de los dos martillos restantes segu\u00eda otra regla matem\u00e1tica, se correspond\u00edan con la media aritm\u00e9tica y arm\u00f3nica de los otros dos pesos probados. As\u00ed, pues, los otros dos pesos podr\u00edan dar otras dos notas fijas de la escala.<\/p>\n

Se demostr\u00f3 que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados como fracciones de n\u00fameros naturales. Podr\u00eda probarse expl\u00edcitamente con una cuerda denominada monocordio, y un elemento que presione en ciertas partes equidistantes de la cuerda y que fraccionen su longitud. Las posiciones fraccionarias mostraron ser m\u00e1s armoniosas que la nota emitida por la longitud completa al tensarla.<\/p>\n

Desde entonces, se hicieron m\u00faltiples experimentos con cuerdas y tubos sonoros, que han acabado creando m\u00fasica. Las columnas de aire, en ciertos tubos, se comportan tambi\u00e9n como las cuerdas musicales. Vamos a explicar este fen\u00f3meno de una manera sencilla. Si tomamos una cuerda de 1 metro de longitud, y la tensamos y hacemos vibrar, se produce una nota musical. Podemos comprobar que cuanto mas larga sea la cuerda, m\u00e1s grave es la nota. Si tomamos dos cuerdas de diferente longitud, veremos que a veces las dos notas suenan mejor y otras peor.<\/p>\n

Lo que aprendemos es que si la relaci\u00f3n entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracci\u00f3n simple, con n\u00fameros enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Por ejemplo (relaci\u00f3n 2\/1), 4\/3 \u00f3 3\/2. Procediendo de esta manera, vamos construyendo lo que se llama la escala musical pitag\u00f3rica<\/em>. As\u00ed pues, para Pit\u00e1goras y sus disc\u00edpulos, la conexi\u00f3n entre las matem\u00e1ticas y la m\u00fasica era evidente y decisiva para sus vidas. Una vez establecidas las relaciones, podr\u00edan utilizarse para deducir los secretos del universo.<\/p>\n

Pit\u00e1goras cre\u00eda en las propiedades curativas de la m\u00fasica. As\u00ed, ciertas melod\u00edas apaciguaban pasiones inapropiadas y consegu\u00edan la armon\u00eda del alma, y por lo tanto, del cuerpo.<\/p>\n

Como \u00faltimas contribuciones de la escuela, comentaremos la interpretaci\u00f3n del universo en torno a la m\u00fasica y las matem\u00e1ticas, de donde surgi\u00f3 la teor\u00eda de la denominada armon\u00eda de las esferas. Pit\u00e1goras estableci\u00f3 que la distancia entre sol, luna y estrellas fijas se correspond\u00eda con una octava, quinta y cuarta de la voz de los siete planetas de la esfera de las estrellas fijas. Para la escuela pitag\u00f3rica, el espaciado interestelar se correspond\u00eda con relaciones musicalmente armoniosas. El propio Arist\u00f3teles afirmaba: \u201cesta m\u00fasica no la podemos o\u00edr, ya sea porque siempre hemos estado acostumbrados a ella y no la podemos distinguir, o porque el sonido es tan potente que escapa a nuestras capacidades auditivas\u201d.<\/p>\n

A d\u00eda de hoy nos preguntamos que, si estamos recibiendo continuamente\u00a0 los denominados ecos del Big bang en forma de radiaci\u00f3n de microondas desde el fondo del cielo (descubrimiento llevado a cabo por Penzias y Wilson en 1965), lo que no deja de ser un r\u00e9gimen energ\u00e9tico de radiaci\u00f3n electromagn\u00e9tica, y como la experiencia nos dice que la luz suele ir acompa\u00f1ada de ondas sonoras, especialmente al propagarse en materia, \u00bfqui\u00e9n dice que no cabe esperar que estemos siendo rociados no s\u00f3lo con energ\u00eda electromagn\u00e9tica invisible, sino que el eco puediera hacerse audible y estemos inmersos en la gran sinfon\u00eda del universo?<\/p>\n

Si los pitag\u00f3ricos levantaran la cabeza, afirmar\u00edan rotundamente la \u201cc\u00e1bala\u201d anterior. As\u00ed, pues, vista la importante relaci\u00f3n establecida entre las matem\u00e1ticas y la m\u00fasica, \u00bfpodr\u00eda un gran matem\u00e1tico convertirse en un c\u00e9lebre compositor?<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0(ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sard\u00f3n<\/strong> (ICMAT-CSIC).<\/p>\n

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Manuel de Le\u00f3n\u00a0(ICMAT-CSIC) y Cristina Sard\u00f3n (ICMAT-CSIC) continuan en esta entrada con su exploraci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre m\u00fasica y matem\u00e1ticas. Para empezar el relato, como no pod\u00eda ser de otra manera, recurren a Pit\u00e1goras. Para este importante personaje de la Grecia Antigua, y para su escuela, la conexi\u00f3n entre las matem\u00e1ticas y la m\u00fasica era evidente y decisiva para sus vidas. 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