{"id":141733,"date":"2016-07-04T09:55:21","date_gmt":"2016-07-04T08:55:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=141733"},"modified":"2016-07-04T09:55:21","modified_gmt":"2016-07-04T08:55:21","slug":"la-enganosa-humildad-del-triangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/07\/04\/141733","title":{"rendered":"La enga\u00f1osa humildad del tri\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"

Reflexionamos en esta entrada sobre unos objetos geom\u00e9tricos a los que a veces no les damos la importancia debida, los tri\u00e1ngulos.<\/strong><\/p>\n

Todos sabemos lo que es un tri\u00e1ngulo, la figura plana mas sencilla: tres lados, tres \u00e1ngulos, tres v\u00e9rtices, abarcando un trozo definido del plano. Todos los dem\u00e1s pol\u00edgonos se pueden descomponer en tri\u00e1ngulos, as\u00ed que estos son los ladrillos de la geometr\u00eda plana (este proceso se llama triangulaci\u00f3n). El n\u00famero m\u00ednimo de tri\u00e1ngulos necesarios para esta divisi\u00f3n es n-2, donde n es el n\u00famero de lados del pol\u00edgono. Por eso los tri\u00e1ngulos fueron objeto de un estudio intensivo en \u201cLos elementos\u201d de Euclides, que les dedic\u00f3 su Libro I.<\/p>\n

\"\"<\/a>\"\"<\/a>\"\"<\/a><\/p>\n

Y recordamos, c\u00f3mo no, la clasificaci\u00f3n del colegio: equil\u00e1teros (\u201clados iguales\u201d), is\u00f3sceles (que significa \u201cpiernas iguales\u201d) y escalenos (del griego \u201cdesigual\u201d). Y los podemos clasificar tambi\u00e9n por sus \u00e1ngulos, rect\u00e1ngulos, obtus\u00e1ngulos y acut\u00e1ngulos, porque un famoso teorema establece que la suma de los tres \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo es siempre 180\u00ba (esto ya lo demostr\u00f3 Euclides).<\/p>\n

Esta noci\u00f3n de tri\u00e1ngulo plano se puede extender a cualquier superficie, y en dimensiones arbitrarias, a espacios mas generales, las llamadas variedades diferenciables. En este caso, necesitamos extender el concepto de recta al de l\u00ednea geod\u00e9sica y nos encontramos con lo que llamamos un tri\u00e1ngulo geod\u00e9sico, cuyos lados son segementos de geod\u00e9sicas.<\/p>\n

Aqu\u00ed ya no nos vale que la suma de los \u00e1ngulos interiores es 180\u00ba, y la diferencia mide el exceso o defecto debido a la curvatura, por ejemplo en el caso de tri\u00e1ngulos esf\u00e9ricos o tri\u00e1ngulos en el plano hiperb\u00f3lico o de Lobachevskii. Recordemos que las geometr\u00edas no euclidianas surgen cuando nos olvidamos del quinto postulado de Euclides (por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela) y admitimos que no pase ninguna (geometr\u00eda esf\u00e9rica) o infinitas (geometr\u00eda hiperb\u00f3lica). Este gran logro del pensamiento que permiti\u00f3 a Albert Einstein desarrollar la teor\u00eda de la relatividad se refleja como dec\u00edamos en las propiedades de los modestos tri\u00e1ngulos.<\/p>\n

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Tri\u00e1ngulo esf\u00e9rico<\/figcaption><\/figure>\n

Una aventura que tiene como protagonistas a los tri\u00e1ngulos es precisamente la medida del meridiano, con nombres como Maupertuis y La Condamine (y los espa\u00f1oles Jorge Juan y Antonio de Ulloa) basada en las triangulaciones. Algo parecido a lo que ahora hacen nuestros GPS orient\u00e1ndonos cuando nos desplazamos por la superficie de nuestro planeta.<\/p>\n

Los tri\u00e1ngulos son pues mas importantes de lo que pareciera en una primera impresi\u00f3n, y por eso sus propiedades nos importan. Y son muchas, dando lugar a puntos notables, como el baricentro o centroide (punto de intersecci\u00f3n de las medianas, un aut\u00e9ntico centro de gravedad), circuncentro (intersecci\u00f3n de las mediatrices de los lados), incentro (intersecci\u00f3n de las bisectrices de los \u00e1ngulos), y ortocentro (intersecci\u00f3n de las alturas).<\/p>\n

\"\"<\/a>
Baricentro<\/figcaption><\/figure>\n

Y estos puntos tienen otras propiedades; el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres v\u00e9rtices del tri\u00e1ngulo; y el incentro es el centro de la circunferencia inscrita, que es tangente a los lados del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n

\u00bfY qu\u00e9 decir de la maravillosa f\u00f3rmula de Her\u00f3n que relaciona el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo con su per\u00edmetro? \u00bfO del teorema de Pit\u00e1goras para los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos? \u00bfO de las relaciones trigonom\u00e9tricas?<\/p>\n

Contaremos en futuras entradas mas maravillas sobre los tri\u00e1ngulos, y seguramente ya no nos parecer\u00e1n tan modestos como al principio.<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Reflexionamos en esta entrada sobre unos objetos geom\u00e9tricos a los que a veces no les damos la importancia debida, los tri\u00e1ngulos. Todos sabemos lo que es un tri\u00e1ngulo, la figura plana mas sencilla: tres lados, tres \u00e1ngulos, tres v\u00e9rtices, abarcando un trozo definido del plano. Todos los dem\u00e1s pol\u00edgonos se pueden descomponer en tri\u00e1ngulos, as\u00ed que estos son los ladrillos de la geometr\u00eda plana (este proceso se llama triangulaci\u00f3n). El n\u00famero m\u00ednimo de tri\u00e1ngulos necesarios para esta divisi\u00f3n es n-2, donde n es el n\u00famero de lados del pol\u00edgono. 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