{"id":141747,"date":"2016-06-26T04:25:30","date_gmt":"2016-06-26T03:25:30","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=141747"},"modified":"2016-06-26T04:25:30","modified_gmt":"2016-06-26T03:25:30","slug":"instrumentos-musicales-animales-y-las-matematicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/06\/26\/141747","title":{"rendered":"Instrumentos musicales, animales y las matem\u00e1ticas"},"content":{"rendered":"

Seguimos en esta nueva entrada hablando de m\u00fasica y matem\u00e1ticas, hoy con los instrumentos musicales.<\/strong><\/p>\n

Las familias de instrumentos se dividen en tres clases: cuerda, viento y percusi\u00f3n. A su vez, cada una de estas familias se divide en subfamilias: arco, arpa y piano para la primera, madera y metal para la segunda y parches e idi\u00f3fonos para la \u00faltima. La caracter\u00edstica com\u00fan de todos estos instrumentos tan distintos en principio, es que su sonido enmascara una ley f\u00edsica y, consecuentemente, una ley matem\u00e1tica.<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MJvj9C_n1rc&index=12&list=PL55D459D961D83B80[\/youtube]<\/p>\n

Los Straitjackets – \u00abYeah Yeah Yeah\u00bb<\/em><\/p>\n

Ya hemos comentado el monocordio de Pit\u00e1goras, y es evidente que \u00e9ste supuso el preludio de los instrumentos de cuerda. El mecanismo de una guitarra es el mismo monocordio multiplicado por seis. Tambi\u00e9n lo es en el caso del piano, cuyo mecanismo, aunque m\u00e1s escondido, tambi\u00e9n se corresponde con el de la cuerda pulsada.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Instrumentos de la orquesta<\/figcaption><\/figure>\n

Para entender el mecanismo de los instrumentos, necesitamos utilizar la f\u00edsica de las ondas. La f\u00edsica de ondas es una materia de estudio desde hace siglos; de hecho, todos hemos disfrutado en nuestra ni\u00f1ez de nuestro primer experimento con la f\u00edsica de ondas: lanzar una piedra al agua y observar la propagaci\u00f3n del agua circundante en forma de frente de onda con simetr\u00eda esf\u00e9rica.<\/p>\n

En 1834, John Scott Russell observ\u00f3 por primera vez un caso particular de onda, los denominados solitones. El fen\u00f3meno observado por este ingeniero escoc\u00e9s, fue la propagaci\u00f3n de una onda surgida en las aguas de un canal como estela de la pieza arrastrada por dos caballos uncidos al yugo.<\/p>\n

El solit\u00f3n se defini\u00f3 en aquel momento como una onda imperturbable, muy localizada, que remontaba su altura y velocidad a pesar de la corriente. Desde entonces, las propiedades de scattering de estas ondas y su presencia en m\u00faltiples fen\u00f3menos f\u00edsicos (principalmente a altas energ\u00edas en las que se ponen de manifiesto los efectos no lineales) son un tema de enorme inter\u00e9s.<\/p>\n

Sin embargo, la f\u00edsica de ondas subyacente a los instrumentos es m\u00e1s sencilla que la de los denominados solitones. Para poder entenderlo, conviene revisar c\u00f3mo se produce el sonido.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

De forma muy simplificada, podemos definir la m\u00fasica como un conjunto de sonidos armoniosos que deleitan nuestro sentido auditivo. Tambi\u00e9n de forma muy simplificada, diremos que el sonido es un conjunto de ondas sonoras. Si seguimos concatenando definiciones simplificadas, a su vez las ondas sonoras son un conjunto de vibraciones que alteran el aire en que se propagan, produciendo cambios de presi\u00f3n, que constituyen las ondas sonoras.<\/p>\n

Las ondas de sonido son longitudinales, quiere decir que su direcci\u00f3n de vibraci\u00f3n y desplazamiento son la misma. Existen ondas transversales, en las que la direcci\u00f3n de desplazamiento de la onda es perpendicular a la direcci\u00f3n de vibraci\u00f3n. Este es el caso del ejemplo descrito para las ondas esf\u00e9ricas provocadas al tirar una piedra en un estanque.<\/p>\n

Las ondas longitudinales vienen descritas por su longitud de onda que se define como la distancia entre dos crestas o vientres o la distancia entre dos nodos. Se representa mediante la letra griega lambda. En otras palabras, la longitud de onda es \u00a0distancia entre dos puntos consecutivos de m\u00e1xima vibraci\u00f3n o de m\u00ednima, respectivamente. La inversa de la longitud de onda se denomina frecuencia, y as\u00ed puede entenderse como el n\u00famero de repeticiones por unidad de tiempo. Se mide en Hertzs en el SI, en honor al f\u00edsico alem\u00e1n, premio Nobel en 1925 por sus aportaciones al estudio de la corriente el\u00e9ctrica.<\/p>\n

El tono de nuestro sonido musical se identifica con la frecuencia. Decimos que nuestro sonido es grave si las vibraciones son de baja frecuencia y decimos que sonamos agudo si emitimos vibraciones de alta frecuencia. En el caso de que nuestra frecuencia sonora se duplique, decimos que estamos una octava por encima. El o\u00eddo humano es capaz de identificar un rango de diez octavas en la escala de frecuencias sonoras, pero muchos animales superan con creces nuestras posibilidades. Por ejemplo, los murci\u00e9lagos emiten sonidos, cuya onda rebotada contra el entorno, es interpretada por sus sistemas nerviosos. Los delfines proceden de manera similar, lanzando chillidos que rebotan en sus mand\u00edbulas, con lo que consiguen una idea clara de c\u00f3mo es su entorno.<\/p>\n

Los elefantes tienen un o\u00eddo m\u00e1s agudizado que el humano, siendo capaces de detectar frecuencias veinte veces inferiores a nuestro rango auditivo. Este hecho se debe al fen\u00f3meno de propagaci\u00f3n de ondas sonoras a trav\u00e9s de sus patas y trompas. Las palomas, tambi\u00e9n son capaces de detectar frecuencias tan bajas que hacen de su sentido de la orientaci\u00f3n un paradigma.<\/p>\n

El volumen de nuestra m\u00fasica est\u00e1 relacionado con la amplitud de las ondas de sonido. Definimos la amplitud de la onda como la distancia entre el eje de las X y la altura m\u00e1xima de vibraci\u00f3n de la onda.<\/p>\n

Sin embargo, nuestra forma de percepci\u00f3n del volumen ac\u00fastico no es lineal. La escala es logar\u00edtmica y sigue la siguiente ecuaci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n

L= 10 log10 <\/sub>I\/I0\u00a0 <\/sub><\/p>\n

donde I es la potencia a estudiar en vatios, I0<\/sub> es un valor de referencia igual a 10-12 <\/sup>v\/m2<\/sup> (vatios por metro cuadrado) y el logaritmo es el logaritmo en base diez.<\/p>\n

El c\u00e1lculo resultante mide la sensaci\u00f3n de un oyente. Es una cantidad de potencia y se mide en decibelios. Un decibelio es la d\u00e9cima parte de un belio, que es el logaritmo de la relaci\u00f3n entre la cantidad estudiada y la de referencia. A efectos pr\u00e1cticos, es m\u00e1s c\u00f3modo el uso de los decibelios. El nombre belio se acu\u00f1\u00f3 en honor al cient\u00edfico escoc\u00e9s Graham Bell.<\/p>\n

El timbre depende de la forma de la onda sonora. Los instrumentos, debido a su construcci\u00f3n y forma, impondr\u00e1n condiciones de contorno sobre nuestra onda. De ah\u00ed que surjan diferentes sonidos, basados en la topolog\u00eda del instrumento.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Dos sonidos con tonos diferentes, m\u00e1s agudo el de 440 Hz y m\u00e1s grave el de 200 Hz<\/figcaption><\/figure>\n

En general, las ondas generadas por los instrumentos son de car\u00e1cter sinusoidal, es decir, su ecuaci\u00f3n descriptiva fundamental es una funci\u00f3n seno. Las combinaciones de conjuntos de sinusoides, componen la melod\u00eda. A la frecuencia m\u00e1s baja se la denomina frecuencia fundamental, por consiguiente, aquella con longitud de onda mayor (equivalente a no pulsar en ning\u00fan punto intermedio la cuerda de una guitarra, por ejemplo). A las frecuencias m\u00e1s altas, correspondientes a longitudes de onda menores, se les denomina arm\u00f3nicos. La generaci\u00f3n de arm\u00f3nicos es comparable a pulsar una cuerda en un n\u00famero determinado de puntos, es decir, dar lugar a la \u201ccreaci\u00f3n de nodos\u201d o puntos de m\u00ednima vibraci\u00f3n por efecto de la presi\u00f3n ejercida (con los dedos en los trastes).<\/p>\n

En el caso de los instrumentos de viento, la creaci\u00f3n de estos nodos es directa, dependiendo del n\u00famero de orificios que tapemos en una flauta y su disposici\u00f3n conveniente.<\/p>\n

De esta manera, la propagaci\u00f3n y caracter\u00edsticas de las ondas sonoras son equivalentes en las tres familias de instrumentos, salvo que su forma de fabricaci\u00f3n y materiales influyen en el resultado, pero la misma noci\u00f3n f\u00edsica es aplicable a todos ellos.<\/p>\n

En el caso del tambor, la onda se propaga en la superficie construida por una membrana denominada parche. Las ondas creadas son tan sensibles que dependen del material del parche y de su grosor, afectando a los arm\u00f3nicos producidos. Por ejemplo, en el caso del jazz se utilizan parches texturizados, o parches con un material adicional que ejerce un efecto de fricci\u00f3n en las escobillas.<\/p>\n

La geometr\u00eda del instrumento tambi\u00e9n es crucial. En el caso de un tambor con simetr\u00eda esf\u00e9rica, las ondas tienden a propagarse adecu\u00e1ndose a la forma del instrumento.\u00a0 El sonido resultante ser\u00e1 en parte dependiente no s\u00f3lo de la geometr\u00eda circular de la membrana, sino tambi\u00e9n del cilindro que act\u00faa como caja de resonancia del tambor y adem\u00e1s de sus bordes. Por todas estas razones, podemos decir que \u201cpodemos o\u00edr la forma de un tambor\u201d.<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sard\u00f3n <\/strong>(ICMAT-CSIC).
\n<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seguimos en esta nueva entrada hablando de m\u00fasica y matem\u00e1ticas, hoy con los instrumentos musicales. Las familias de instrumentos se dividen en tres clases: cuerda, viento y percusi\u00f3n. A su vez, cada una de estas familias se divide en subfamilias: arco, arpa y piano para la primera, madera y metal para la segunda y parches e idi\u00f3fonos para la \u00faltima. La caracter\u00edstica com\u00fan de todos estos instrumentos tan distintos en principio, es que su sonido enmascara una ley f\u00edsica y, consecuentemente, una ley matem\u00e1tica. 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