{"id":141866,"date":"2016-07-14T08:22:57","date_gmt":"2016-07-14T07:22:57","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=141866"},"modified":"2020-07-03T19:54:48","modified_gmt":"2020-07-03T18:54:48","slug":"la-musica-fractal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/07\/14\/141866","title":{"rendered":"La m\u00fasica fractal"},"content":{"rendered":"

Continuamos nuestro recorrido por la m\u00fasica y las matem\u00e1ticas, esta vez de la mano de los fractales.<\/strong><\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BowyUXyNud4[\/youtube]<\/p>\n

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Fractales y caos<\/strong><\/p>\n

Los fractales son estructuras geom\u00e9tricas caracterizadas por la repetici\u00f3n de un patr\u00f3n en diferentes escalas. Por ejemplo, Kanadoff, en un art\u00edculo en Physics Today, en 1986, dice: \u201cLa gente usa el adjetivo fractal de diferentes maneras, pero la mayor\u00eda de las definiciones identifican a los objetos fractales como cajas chinas o mu\u00f1ecas chinas\u201d.<\/p>\n

La autosimilaridad es pues la noci\u00f3n clave para un fractal. Hay dos tipos de relaciones de autosimilaridad. La primera es la similaridad id\u00e9ntica, que es la de los fractales lineales, en los que el factor de escala reproduce exactamente la misma forma en diferentes tama\u00f1os. Sin embargo, en el caso de fractales no lineales, la reproducci\u00f3n del patr\u00f3n a diferentes escalas no es exacta, pero puede describirse como autosimilaridad casi id\u00e9ntica.<\/p>\n

Originalmente, la palabra fractal procede de la palabra latina fractu<\/em>s, que significa quebrado o fracturado. La caracter\u00edstica m\u00e1s sorprendente de un fractal es su dimensi\u00f3n fraccionaria. Vamos a explicarlo. Si nos plante\u00e1ramos medir las dimensiones de un terreno abrupto, como por ejemplo una l\u00ednea costera, deber\u00edamos marcar una unidad de medida. Si vamos haciendo un zoom de los detalles, nos damos cuenta de la dificultad, \u00a0porque cuanto m\u00e1s peque\u00f1a se haga esa unidad de medida, el per\u00edmetro tender\u00e1 a infinito.<\/p>\n

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La costa de Gran Breta\u00f1a<\/figcaption><\/figure>\n

Las dimensiones fractales dan cuenta de la capacidad de la unidad de medida para cubrir todo el espacio, sin resquicios. Aparentemente, la costa podr\u00eda visualizarse como una l\u00ednea de una dimensi\u00f3n, desde una vista a\u00e9rea, por ejemplo. Sin embargo, al aproximarnos a su forma detallada, comenzamos a visualizar el plano en el que est\u00e1 inscrita. Beniot Mandelbrot demostr\u00f3 que la dimensi\u00f3n fractal de una l\u00ednea costera es 1.26, intermedia entre una l\u00ednea y un plano.<\/p>\n

Sorprendentemente, muchos objetos en la naturaleza\u00a0 son fractales no lineales, en los que la recursi\u00f3n de su estructura interna, a diferentes escalas, es casi id\u00e9ntica.<\/p>\n

Por ejemplo, encontramos fractales no lineales en:\u00a0 las nubes, los copos de nieve, las fluctuaciones del mercado de valores o la propagaci\u00f3n de se\u00f1ales en nuestro sistema nervioso.<\/p>\n

El inter\u00e9s en los fractales surge de la famosa teor\u00eda del caos, que atrae una gran atenci\u00f3n tanto de expertos como del p\u00fablico en general, por las m\u00faltiples menciones al fen\u00f3meno en las artes visuales, en los guiones de pel\u00edculas o en la creaci\u00f3n de m\u00fasica. La teor\u00eda del caos es, junto con la relatividad general y la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, una de las teor\u00edas revolucionarias de la ciencia del s. XX.<\/p>\n

En t\u00e9rminos matem\u00e1ticos, muchos fen\u00f3menos naturales vienen modelizados por medio de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales, si son integrables, se pueden resolver para casos particulares imponiendo unas condiciones iniciales (condiciones para los par\u00e1metros de los que depende, que est\u00e1n relacionados con nuestro entorno en el momento inicial en que consideramos el problema).<\/p>\n

Decimos que una ecuaci\u00f3n es determinista, si dadas unas condiciones iniciales, podemos encontrar la soluci\u00f3n de \u00e9sta para cualquier tiempo indefinido.<\/p>\n

Las ecuaciones meteorol\u00f3gicas, por el contrario, no son deterministas. Una peque\u00f1a variaci\u00f3n en las condiciones iniciales del problema, puede desencadenar resultados inesperados. Estos son los regimenes ca\u00f3ticos de las ecuaciones diferenciales.<\/p>\n

Una frase descriptiva que da cuenta de la sensibilidad de las ecuaciones diferenciales como modelos predictivos es:\u00a0 \u201cel batir de alas de una mariposa en nuestro jard\u00edn puede desencadenar un hurac\u00e1n en otro continente\u201d. (De ah\u00ed el nombre teor\u00eda del caos o efecto mariposa). Si estas ecuaciones fueran deterministas, tendr\u00edamos una soluci\u00f3n general que podr\u00eda darnos el tiempo meteorol\u00f3gico predicho de aqu\u00ed a un a\u00f1o, o de aqu\u00ed a cien. Sin embargo, la sensibilidad a las condiciones iniciales restringe las predicciones certeras a un rango de unos diez d\u00edas (aunque las previsiones mejoran constantemente).<\/p>\n

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Atractor de Lorentz<\/figcaption><\/figure>\n

La imagen que reproducimos se corresponde con el famoso atractor de Lorentz. Este atractor surge de las ecuaciones simplificadas para describir los fen\u00f3menos de convecci\u00f3n en la atm\u00f3sfera terrestre. Para ciertos valores de par\u00e1metros presentes en las ecuaciones, aparece un comportamiento ca\u00f3tico. Precisamente es su forma de mariposa ha inspirado el nombre del efecto mariposa.<\/p>\n

Desde el punto de vista matem\u00e1tico, el desarrollo de potentes paquetes de c\u00e1lculo como Wolfram Mathematica, o Maple, nos ha dado la capacidad de desarrollar herramientas para la programaci\u00f3n de estos algortimos recursivos. Adem\u00e1s, sus m\u00faltiples opciones de representaci\u00f3n gr\u00e1fica, nos proporcionan excelentes dibujos del fractales.<\/p>\n

M\u00fasica fractal<\/strong><\/p>\n

El \u00e9xito de las matem\u00e1ticas en la m\u00fasica se ha reflejado, en los \u00faltimos a\u00f1os, en la denominada m\u00fasica fractal.\u00a0 Durante la pasada d\u00e9cada, se hicieron muchos debates sobre la creaci\u00f3n art\u00edstica fractal. Beniot Mandelbrot, en colaboraci\u00f3n con Harlam Brothers, propusieron en particular el tratamiento matem\u00e1ticamente formal de la m\u00fasica fractal.<\/p>\n

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Conjunto de Mandelbrot<\/figcaption><\/figure>\n

Como resultado de este debate, se organizaron una serie de seminarios en Geometr\u00eda fractal en la Universidad de Yale. Otra consecuencia fue la publicaci\u00f3n \u00abStructural Scaling in Bach\u2019s Cello Suite No. 3,\u00bb (Fractals Vol. 15, No. 1, 2007), en la que se revela la existencia de una estructura fractal semejante al conjunto de Cantor en la Suite n\u00ba 3 para violonchelo, de Bach.<\/p>\n

El conjunto de Cantor recibe su nombre en honor a su descubridor George Cantor en el s. XIX. Es\u00a0 conjunto de Cantor es un subconjunto fractal en el intervalo [0,1], y se construye de la siguiente manera: se elimina el tercio de segmento central, respecto al inicial, recursivamente.<\/p>\n

El libro\u00a0 \u201cBenoit Mandelbrot: a life in many dimensions\u201d, de World Scientific Publishing publicado en 2015, constituye una antolog\u00eda de m\u00fasica fractal. Uno de los descubrimientos m\u00e1s importantes expuesto en este libro es la existencia de m\u00fasica fractal desde hace m\u00e1s de seis siglos.<\/p>\n

Un ejemplo de m\u00fasica contempor\u00e1nea fractal, es la del compositor brasile\u00f1o Dmitry Kormann.<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HQkZV8wwC24[\/youtube]<\/p>\n

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Dmitry, un aficionado a los sintetizadores de m\u00fasica con generadores de melod\u00edas aleatorias, explica c\u00f3mo puede crearse m\u00fasica con un patr\u00f3n fractal subyacente, que da lugar a resultados armoniosos. La era de la m\u00fasica fractal comienza con\u00a0 la transcripci\u00f3n de las representaciones gr\u00e1ficas a sonidos mediante programas como Coagula<\/em> o Metasynth<\/em>. Iniciado el proceso, la implementaci\u00f3n de mayor estructura cambia la din\u00e1mica del timbre, ritmo o tono.<\/p>\n

Su idea surgi\u00f3 de la observaci\u00f3n de texturas musicales que cautivaban su atenci\u00f3n. Cuenta que pod\u00eda identificar patrones recursivos en la percusi\u00f3n de ciertas composiciones de heavy metal, en particular con John Cage, quien ha dedicado m\u00e1s de veinte a\u00f1os de percusi\u00f3n basada en recursi\u00f3n de micro y macro composici\u00f3n y estructuras autosimilares.<\/p>\n

En el siguiente ejemplo, el autor muestra la estructura fractal dentro de los ciclos de bater\u00eda. Comienza con diecis\u00e9is series de compases divididos en cinco frases de diferente longitud:<\/p>\n

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Dado que a la primera frase se le ha asociado la longitud cuatro, podemos repetir esta estructura cuatro veces<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

A su vez, la segunda frase tiene longitud tres, por lo que repetiremos la figura anterior tres veces, posteriormente, la resultante se repetir\u00e1 dos, dada la longitud de la tercera, etc.<\/p>\n

El resultado de la composici\u00f3n ser\u00eda:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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El autor ha decidido llamar a su proceso creativo el Fractal de Wuferspiel<\/em>, en honor al Wuferspiel\u00a0 (juego de dados) de Mozart y Haydn, en que los compases pueden organizarse al azar siguiendo el lanzamiento de un dado, y a\u00fan as\u00ed, la melod\u00eda sonar\u00eda musicalmente coherente.<\/p>\n

Otro compositor influyente en la creaci\u00f3n de m\u00fasica fractal fue el espa\u00f1ol Francisco Guerrero, de gran prestigio internacional, interesado desde su ni\u00f1ez en\u00a0 las matem\u00e1ticas y su relaci\u00f3n con la m\u00fasica, astronom\u00eda o psicolog\u00eda. El caracter fractal de sus composiciones se plasm\u00f3, principalmente, en su gran sinfon\u00eda para orquesta titulada Sahara. Dado el car\u00e1cter matem\u00e1tico de sus obras, estas adquirieron una gran complejidad sinf\u00f3nica, que le llev\u00f3 al \u00e9xito en el extranjero. Su m\u00fasica fue tildada de an\u00e1rquica, con un gran sentimiento. \u00c9l mismo dec\u00eda: \u201cMe gusta el arte potente y el que s\u00f3lo se sustenta en s\u00ed mismo. No me interesa el arte panfletario y el que tiene que recurrir a lo externo para justificarse. No me interesa el minimalismo, el serialismo integral, el espectralismo, los neos de ninguna especie\u201d. Desafortunadamente, este enigm\u00e1tico compositor muri\u00f3 joven debido a una enfermedad fulminante, dej\u00e1ndonos un legado de de m\u00fasica compuesta, muy meticulosa y radicalmente basada en las matem\u00e1ticas. En el Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos (ICM) celebrado en Madrid en 2006 se organiz\u00f3 un homenaje a este gran compositor.<\/p>\n

Teor\u00eda del caos, fractales y las artes<\/strong><\/p>\n

Los fractales y la teor\u00eda del caos no s\u00f3lo han servido como fuente de inspiraci\u00f3n en la m\u00fasica. Son muchas las referencias a esta teor\u00eda matem\u00e1tica en campos multidisciplinares.<\/p>\n

\"\"<\/a>
MC Escher<\/figcaption><\/figure>\n

Por ejemplo, el artista Maurits Cornelis Escher (1898-1972), cambi\u00f3 las acuarelas de paisajes por t\u00e9cnicas menos populares: recubrir el plano completamente con figuras dibujadas, o plasmar el concepto del infinito en la pintura. A pesar de ser un ignorante de las matem\u00e1ticas desde el punto de vista operacional,\u00a0 sus trabajos hicieron referencias directas a elementos matem\u00e1ticos: recubrimientos del espacio con poliedros, el juego con la geometr\u00eda proyectiva, la inclusi\u00f3n de cintas de Moebius,\u00a0 o la experimentaci\u00f3n con geometr\u00edas alejadas de la eucl\u00eddea. \u00abMi inter\u00e9s principal es lo asombroso\u00bb, dec\u00eda Escher.<\/p>\n

El tema preferido de Escher fueron las estructuras en superficies y la denominada metamorfosis. La metamorfosis es el proceso en que se iteran peque\u00f1os cambios de la figura patr\u00f3n, a veces id\u00e9nticos, otras veces con alteraciones de la figura, recubriendo siempre las superficies. Escher siempre buscaba la armon\u00eda visual en su composici\u00f3n, como un m\u00fasico busca su armon\u00eda auditiva. Sus inspiraciones proced\u00edan de sus lecturas de tratados matem\u00e1ticos, si bien no entend\u00eda el lenguaje, s\u00ed supo captar la naturaleza pict\u00f3rica de las leyes. La Alhambra fue una gran fuente de inspiraci\u00f3n para \u00e9l, en sus excursiones a la ciudad de Granada durante 1926. Algunos de sus trabajos pueden contemplarse plasmados en las mismas calles de Madrid. El siguiente fresco se corresponde con el Escher Castizo,\u00a0 con particiones regulares de la superficie.<\/p>\n

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En la calle Conde de Romanones, Madrid, un gran esgrafiado recubre la fachada de un edificio con uno de los dise\u00f1os de Escher (obra de Julio Barbero)<\/figcaption><\/figure>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sard\u00f3n <\/strong>(ICMAT-CSIC).
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Continuamos nuestro recorrido por la m\u00fasica y las matem\u00e1ticas, esta vez de la mano de los fractales. [youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BowyUXyNud4[\/youtube]   Fractales y caos Los fractales son estructuras geom\u00e9tricas caracterizadas por la repetici\u00f3n de un patr\u00f3n en diferentes escalas. Por ejemplo, Kanadoff, en un art\u00edculo en Physics Today, en 1986, dice: \u201cLa gente usa el adjetivo fractal de diferentes maneras, pero la mayor\u00eda de las definiciones identifican a los objetos fractales como cajas chinas o mu\u00f1ecas chinas\u201d. La autosimilaridad es pues la noci\u00f3n clave para un fractal. Hay dos tipos de relaciones de autosimilaridad. 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