{"id":142071,"date":"2016-07-27T11:16:07","date_gmt":"2016-07-27T10:16:07","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=142071"},"modified":"2016-07-27T11:16:07","modified_gmt":"2016-07-27T10:16:07","slug":"la-misteriosa-ley-de-zipf","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/07\/27\/142071","title":{"rendered":"La misteriosa ley de Zipf"},"content":{"rendered":"

De este blog y de sus diez a\u00f1os dedicados a las matem\u00e1ticas, queda claro que las mismas tienen muchas aplicaciones en otros campos: en la biolog\u00eda, medicina, en las finanzas, ymuy especialmente, en la f\u00edsica.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

En la biolog\u00eda,\u00a0 por ejemplo, las matem\u00e1ticas han desarrollado modelos del equilibrio y supervivencia de las especies. Son los llamados modelos de Lotka-Volterra, en los que se predice la coexistencia de dos poblaciones: la de presas y depredadores, o la invasi\u00f3n parasitaria sobre otro organismo. El modelo consiste en dos ecuaciones diferenciales acopladas, regidas por ciertas condiciones iniciales y par\u00e1metros que dan cuenta de las condiciones ecol\u00f3gicas del entorno.<\/p>\n

En la medicina, las aplicaciones son muy numerosas: desde el c\u00e1lculo de las dosis de f\u00e1rmaco pertinentes a la explicaci\u00f3n de un diagn\u00f3stico radiol\u00f3gico. Especialmente, se est\u00e1n desarrollado grandes modelos matem\u00e1ticos (teor\u00eda de grafos, por ejemplo) para la explicaci\u00f3n de los procesos neuronales.<\/p>\n

En finanzas, existen modelos predictivos del mercado (a\u00fan muy poco refinados, de lo contrario la inversi\u00f3n en valores estar\u00eda m\u00e1s concurrida que la de los abuelos dirigidos por brokers del mismo banco al que han confiado todos los ahorros de su vida laboral, como hemos visto en la \u00faltima crisis econ\u00f3mica). Por ejemplo, los modelos de Black-Scholes tientan la subida de precio de un activo. Sin embargo, sus redefiniciones son continuas, y su rango de aplicaci\u00f3n va a opciones europeas o inversiones con dividendos.<\/p>\n

En f\u00edsica, es imposible elegir un ejemplo caracter\u00edstico de aplicaci\u00f3n entre los centenares de modelos te\u00f3ricos basados en las matem\u00e1ticas m\u00e1s formales (invitamos a seguir los que aparecen en el arxiv diariamente). Las aplicaciones a la f\u00edsica pueden dividirse en ramas de las matem\u00e1ticas con su relaci\u00f3n a su rama f\u00edsica correspondiente. Por ejemplo, la geometr\u00eda diferencial es el punto de partida de la relatividad general, pero tambi\u00e9n en la termodin\u00e1mica. El an\u00e1lisis matem\u00e1tico tiene un gran peso en la teor\u00eda de fluidos y el \u00e1lgebra lineal y el an\u00e1lisis funcional son primordiales en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica y sus operadores matriciales.<\/p>\n

Sin embargo, las matem\u00e1ticas parecen no haber llegado a calar tan intensamente en otros campos no cient\u00edficos, como\u00a0 la biblioteconom\u00eda o la ling\u00fc\u00edstica. Para desmentir su carencia de aplicaci\u00f3n en el campo de las letras, hoy queremos describir la llamada ley de Zipf<\/strong>.<\/p>\n

En los a\u00f1os cuarenta, el ling\u00fcista George Zipf se dio cuenta de que las palabras y su n\u00famero de apariciones en textos, segu\u00edan alguna ley especial. La palabra m\u00e1s utilizada ocupar\u00eda el n\u00famero uno en el ranking, el n\u00famero dos se corresponde con la segunda palabra m\u00e1s veces repetida, etc. As\u00ed, se guardaba una estrecha relaci\u00f3n entre el n\u00famero de apariciones de las palabras m\u00e1s populares. La primera palabra m\u00e1s utilizada aparec\u00eda el doble de veces que la segunda y tres veces m\u00e1s que la tercera, y sigue el patr\u00f3n seg\u00fan esta norma. Por ejemplo, en el Mago de Oz, de Franz L. Baum, publicado en 1908, la palabra m\u00e1s frecuente fue \u201cthe\u201d con 3137 apariciones, la segunda es \u201cand\u201d con 1544 apariciones, y la tercera \u201cto\u201d aparece 1107 veces. La ley dice que<\/p>\n

Pn<\/sub> <\/em>\u2248<\/em> 1\u2044na<\/sup><\/em><\/em><\/p>\n

donde P<\/em> n<\/sub><\/em> <\/em> <\/sub>es la frecuencia de una palabra en el orden n y el exponente a<\/em> es aproximadamente 1.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Gr\u00e1fico mostrando el rango versus la frecuencia para las primeras 10 millones de palabras en 30 Wikipedias en una escala a log-log (extra\u00eddo de Wikipedia)<\/figcaption><\/figure>\n

George Kingsley Zipf (1902\u20131950) fue un ling\u00fcista americano, nacido en Freeport, Illinois, que se encontr\u00f3 con este fen\u00f3meno en sus estudios estad\u00edsticos de filolog\u00eda comparada. Estudi\u00f3 en Harvard, Bonn y Berlin, siendo luego profesor en Harvard.\u00a0 Digamos como curiosidad de que fue Zipf quien populariz\u00f3 esta ley, la misma parece haber sido descubierta previamente por el estenografo franc\u00e9s Jean-Baptiste Estoup y tambi\u00e9n por el f\u00edsico alem\u00e1n Felix Auerbach en 1913.<\/p>\n

\"\"<\/a>
George Kingsley Zipf<\/figcaption><\/figure>\n

Esta ley se convirti\u00f3 en una ley curiosa que no s\u00f3lo describe el comportamiento de la redacci\u00f3n y el uso de las palabras, sino que tambi\u00e9n distribu\u00eda, por ejemplo, el salario de los hombres m\u00e1s adinerados del planeta; en efecto, en un mismo pa\u00eds, la persona con mayor sueldo recib\u00eda el doble que el siguiente en orden descendente.<\/p>\n

Otro uso de esta ley fue para el c\u00e1lculo de habitantes en las ciudades m\u00e1s pobladas de un mismo pa\u00eds. Tambi\u00e9n se corrobor\u00f3 que, aproximadamente, el n\u00famero de personas en la capital m\u00e1s poblada es el doble que en la segunda capital m\u00e1s poblada y el triple que en la tercera, etc. Por ejemplo, los n\u00fameros concuerdan con las capitales estadounidenses: seg\u00fan el censo del 2010, Nueva York ten\u00eda una poblaci\u00f3n total de 8.175.133 personas, siendo la siguiente capital m\u00e1s poblada Los \u00c1ngeles, con 3,792,621 habitantes y las siguientes capitales en el ranking, respectivamente,\u00a0 Chicago, Houston and Filadelfia con 2,695,598, 2,100,263 y 1,526,006 . Efectivamente, parece que la ley se cumple. En este citad\u00edsimo art\u00edculo de 1999<\/a> el economista Xavier Gabaix describi\u00f3 esta ley para las ciudades como una ley de potencias, y el gr\u00e1fico ser\u00eda algo as\u00ed:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La ley parece cumplirse hasta en el caso de ciudades con crecimiento ca\u00f3tico. Sin embargo, parece que los n\u00fameros no se siguen para ciudades de peque\u00f1o tama\u00f1o. Se bajara que la ley de Zipf sea un reflejo del crecimiento de ciudades con condiciones econ\u00f3micas similares, como pueden ser las integradas en la Uni\u00f3n Europea.<\/p>\n

Otra de las leyes matem\u00e1ticas aplicadas a la sociolog\u00eda y las poblaciones es la regla de los tres cuartos. Esta regla es aplicable al c\u00e1lculo de la cantidad de recursos necesarios dependiendo del crecimiento de la ciudad. A primera vista, dir\u00edamos que si el n\u00famero de habitantes de una ciudad es el doble que el otra, el n\u00famero de gasolineras necesarias ser\u00eda el doble. Sin embargo, el n\u00famero de recursos se corresponde con los mencionados \u00be, y la eficiencia de la ciudad ser\u00e1 la misma con s\u00f3lo un 77%\u00a0 m\u00e1s de gasolineras.<\/p>\n

Existen variaciones de la ley de Zipf e investigaciones recientes concernientes a tal ley. Los investigadores \u00c1lvaro Corral, Isabel Moreno Garc\u00eda y Francesc Font Clos, del Centro de Recerca Matem\u00e1tica (CRM) de Barcelona, vinculado a la Universidad Aut\u00f3noma de Barcelona, han completado un an\u00e1lisis a gran escala de miles de textos digitalizados para el primer tratamiento emp\u00edrico de la ley de Zipf. Su trabajo se basaba en el estudio de m\u00e1s de 30.000 vol\u00famenes en ingl\u00e9s para la formulaci\u00f3n clara de la ley desde el punto de vista probabil\u00edstico: una que no asocie probabilidad a las palabras, sino variables num\u00e9ricas.<\/p>\n

Se obtuvo una ley equivalente de contar el n\u00famero de apariciones de una palabra, y una segunda estad\u00edstica que de cuenta del n\u00famero de palabras diferentes que aparecen un n\u00famero dado de veces. As\u00ed, el n\u00famero de palabras que aparecen una \u00fanica vez es el cu\u00e1druplo del n\u00famero de palabras que aparecen dos veces, el n\u00f3nuplo del n\u00famero que aparecen tres veces, y sucesivamente. Las dos leyes de las frecuencias se han considerado hasta ahora quasiequivalentes, salvo porque la frecuencia de las palabras no es una variable continua.<\/p>\n

La falta de empiricidad hab\u00eda derrotado muchas de estas teor\u00edas. Sin embargo, los nuevos m\u00e9todos computacionales pueden simplificarnos mucho su corroboraci\u00f3n. Como hemos visto, el estudio relatado anteriormente es muy reciente, del 2015, y se ha llevado a cabo gracias al software accesible del siglo XXI.<\/p>\n

Sin embargo, todav\u00eda no est\u00e1 muy clara la explicaci\u00f3n de la ley de Zipf, una ley emp\u00edrica. Aparte de las explicaciones estad\u00edsticas, se habla por ejemplo de una ley del m\u00ednimo esfuerzo por parte de los que hablan, escriben o escuchan que para simplificar sus frases elijen las palabras mas corrientes, o el principio de que el \u00e9xito atrae el \u00e9xito. El tema es intrigante y requerir\u00e1 mas y mas inter\u00e9s en el futuro inmediato.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Sao Paulo, Brasil<\/figcaption><\/figure>\n

Gracias a a\u00a0 revoluci\u00f3n inform\u00e1tica y su crecimiento exponencial, con la creaci\u00f3n diaria de nuevas apps, estamos viviendo la era del Big Data. Esta ciencia se dedica a la clasificaci\u00f3n y almacenamiento de vol\u00famenes de datos que no pueden ser tratados normalmente, debido su ingente cantidad. Para ello, se est\u00e1n desarrollando nuevas herramientas en software y nuevas modas estad\u00edsticas. El concepto engloba infraestructuras, tecnolog\u00edas y servicios creados para el procesamiento de estos conjuntos de datos estructurados, no estructurados o semi-estructurados (mensajes en redes sociales, se\u00f1ales de m\u00f3vil, archivos de audio, sensores, im\u00e1genes digitales, datos de formularios, emails, datos de encuestas, logs etc,) que pueden provenir de sensores, micr\u00f3fonos, c\u00e1maras, esc\u00e1neres m\u00e9dicos, etc.<\/p>\n

En el ICMAT se ha puesto en marcha el Laboratorio Robert Grossman, en el que este experto mundial que trabaja en la Universidad de Chicago colaborar\u00e1 con investigadores del instituto en estos temas. A la vez, la recientemente lanzada Fundaci\u00f3n CorBI (Coru\u00f1a Biomedical Institute) tiene entre sus objetivos el desarrollo de proyectos relacionados con Big Data y est\u00e1 cerrando importantes colaboraciones en los Estados Unidos.<\/p>\n

Les dejamos con este video que explica con detalle la ley de Zipf:<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fCn8zs912OE[\/youtube]<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sard\u00f3n <\/strong>(ICMAT-CSIC).
\n<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

De este blog y de sus diez a\u00f1os dedicados a las matem\u00e1ticas, queda claro que las mismas tienen muchas aplicaciones en otros campos: en la biolog\u00eda, medicina, en las finanzas, ymuy especialmente, en la f\u00edsica. En la biolog\u00eda,\u00a0 por ejemplo, las matem\u00e1ticas han desarrollado modelos del equilibrio y supervivencia de las especies. Son los llamados modelos de Lotka-Volterra, en los que se predice la coexistencia de dos poblaciones: la de presas y depredadores, o la invasi\u00f3n parasitaria sobre otro organismo. 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