{"id":142618,"date":"2016-10-14T16:35:25","date_gmt":"2016-10-14T15:35:25","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=142618"},"modified":"2016-10-14T16:35:25","modified_gmt":"2016-10-14T15:35:25","slug":"la-demostracion-de-un-teorema","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/10\/14\/142618","title":{"rendered":"La demostraci\u00f3n de un teorema"},"content":{"rendered":"

Todos hemos o\u00eddo alguna vez sobre esos problemas abiertos en las matem\u00e1ticas casi imposibles en su resoluci\u00f3n, que de ser conseguida, puede ser premiada con un mill\u00f3n de d\u00f3lares. Son los denominados \u201cproblemas del milenio\u201d, atacados por muchos, pero de los 7 problemas abiertos en diferentes \u00e1reas de las matem\u00e1ticas, s\u00f3lo uno ha sido resuelto.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Pierre de Fermat<\/figcaption><\/figure>\n

Si quisi\u00e9ramos saber c\u00f3mo de avanzadas est\u00e1n las resoluciones de los otros seis, deber\u00edamos preguntar a los m\u00e1s expertos, y muchas veces, la respuesta es inconclusa o dubitativa. De hecho, la prueba a uno de los grandes problemas no inclu\u00eddo en el listado de los siete problemas del milenio (ya que hab\u00eda sido resuelto antes del 2000), \u201cel \u00faltimo teorema de Fermat\u201d, se guard\u00f3 recelosamente y se trabaj\u00f3 en solitario en un despacho de Cambrige, cuyo principal autor es el ingl\u00e9s Andrew Wiles.<\/p>\n

El problema de Fermat ha permanecido abierto desde hace 350 a\u00f1os, cuando Pierre de Fermat afirm\u00f3 haber encontrado la prueba en el margen de un libro de Diofanto. Por cierto, uno de los problemas de ese libro, La Aritm\u00e9tica, tiene el siguiente enunciado: \u201cDescomponer un cuadrado dado en dos cuadrados\u201d. En el margen del libro, Fermat escribi\u00f3:<\/p>\n

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.<\/em><\/p>\n

Es decir:<\/p>\n

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostraci\u00f3n realmente admirable, pero el margen del libro es muy peque\u00f1o para ponerla.<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
El margen<\/figcaption><\/figure>\n

Se cree que Fermat pudo demostrarlo para los casos n=3,4,\u00a0 seg\u00fan su correspondencia con sus colegas. A partir de ah\u00ed, quiz\u00e1s pens\u00f3 que la generalizaci\u00f3n ser\u00eda sencilla pero desde luego no lo era. A lo largo de los siglos, numerosos matem\u00e1ticos desde Leonhard Euler a Sophie Germain trataron de resolverlo consiguiendo s\u00f3lo resultados parciales.<\/p>\n

El caso n=2 es el famoso teorema de Pit\u00e1goras, que se ense\u00f1a en las escuelas y es universalmente conocido. Las demostraciones para n mayor o igual que 3 han acabado en numerosos intentos fallidos a lo largo de la historia. El matem\u00e1tico prusiano Christian Goldbach (1690-1764) a quien se le recuerda por la tambi\u00e9n famosa conjetura que lleva su nombre, revivi\u00f3 el inter\u00e9s por la prueba, que no hab\u00eda suscitado mucho entre los contempor\u00e1neos de Fermat, m\u00e1s interesados en problemas de c\u00e1lculo que en teor\u00eda de n\u00fameros.<\/p>\n

Los comentarios de Goldbach captaron el inter\u00e9s de otro eminente matem\u00e1tico nacido 40 a\u00f1os m\u00e1s tarde que Fermat, el brillante Leonhard Euler, sin embargo, s\u00f3lo lo prob\u00f3 para n=3. No obstante, n=3 no s\u00f3lo constituye un resultado para un \u00fanico n\u00famero, sino para todos los m\u00faltiplos de 3, es decir, para la secuencia 6, 9, 12, 15…lo que implica una infinidad de n\u00fameros.<\/p>\n

Si el teorema se demostrase para los n\u00fameros primos, su prueba estar\u00eda completa, pues cualquier n\u00famero es m\u00faltiplo de primos. La prueba se estanc\u00f3 con n=5, que result\u00f3 de verdadera complejidad.<\/p>\n

El denominado pr\u00edncipe de las matem\u00e1ticas, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tambi\u00e9n busc\u00f3 su resoluci\u00f3n, de forma fallida, por lo que excus\u00f3 su abandono \u201cpor la falta de inter\u00e9s del problema\u201d, comentario inoportuno fruto de su frustraci\u00f3n.<\/p>\n

Sophie Germain (1776-1831) se enfrent\u00f3 a m\u00faltiples problemas matem\u00e1ticos y f\u00edsicos a lo largo de su carrera. A pesar de no haber gozado de educaci\u00f3n formal, venci\u00f3 los obst\u00e1culos a la carrera cient\u00edfica vetada a las mujeres durante el siglo XIX y demostr\u00f3 su extraordinario talento. Sophie Germain prob\u00f3 que para dos primos P y p,\u00a0 tales que (P=2p+1) y que cumplen otras propiedades, en particular, que p no divide a xyz, donde xn<\/sup>+yn<\/sup>=zn <\/sup>son las inc\u00f3gnitas del problema de Fermat, el teorema se cumple para n=p.<\/p>\n

Posteriormente, los matem\u00e1ticos Legendre y Dirichlet lo probaron para n=5 mediante la teor\u00eda de formas cuadr\u00e1ticas.<\/p>\n

En d\u00e9cadas posteriores, vinieron los intentos de demostraci\u00f3n de Lam\u00e9, Cauchy y Kummer. Lam\u00e9 prob\u00f3 el caso n=7 bas\u00e1ndose en el \u00e1lgebra de n\u00fameros complejos. Cauchy casi lo prob\u00f3 de forma general con un enfoque similar al de Lam\u00e9. Sin embargo, Kummer, a finales del siglo XIX proclam\u00f3 la incorrecci\u00f3n de las pruebas de Lam\u00e9 y Cauchy: ambos hab\u00edan cometido el error de asumir la factorizaci\u00f3n \u00fanica de de los n\u00fameros complejos. El problema de la factorizaci\u00f3n de los n\u00fameros complejos ayud\u00f3 a Kummer a establecer su teor\u00eda de los ideales. Demostr\u00f3 que existen ciertos primos regulares para los que el teorema de Fermat se cumple. As\u00ed, el teorema se demostr\u00f3 para todos los casos en que n fuera menor que 100 excepto para 37, 69 y 67.<\/p>\n

En el siglo XX se puso de moda la dotaci\u00f3n econ\u00f3mica por la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos importantes. Paul Wolfskehl instaur\u00f3 un premio de 100.000 marcos a quien demostrara o refutara el \u00faltimo teorema de Fermat.<\/p>\n

El desarrollo de los ordenadores tambi\u00e9n contribuy\u00f3 muy positivamente en la prueba del teorema. Por ejemplo, una de las conjeturas planteadas por Euler, en que afirmaba que la siguiente ecuaci\u00f3n no tiene soluciones<\/p>\n

x4<\/sup>+y4<\/sup>+z4<\/sup>=w4<\/sup><\/p>\n

se demostr\u00f3 falsa con un contraejemplo en 1988 con soluci\u00f3n (x=2.682.440, y=15.365.639, z=18.796.760, w=20.615.673).<\/p>\n

\"\"<\/a>
Gerd Faltings<\/figcaption><\/figure>\n

En 1983, el matem\u00e1tico y medallista Fields Gerd Faltings demostr\u00f3 un resultado conocido hoy en d\u00eda como el Teorema de Faltings que como corolario probaba que para n mayor que 4, si existen soluciones naturales a la ecuaci\u00f3n de Fermat, el n\u00famero ser\u00eda finito. Esto no demuestra el teorema, pero supone un resultado importante. Faltings basaba su resultado en la geometr\u00eda algebraica. Faltings en particular relacion\u00f3 el \u00faltimo teorema de Fermat con superficies similares a una rosquilla, que en vez de tener un \u00fanico agujero central, puede tener muchos. Cuanto m\u00e1s grande es n, mayor n\u00famero de agujeros tendr\u00e1n las \u201crosquillas\u201d. La existencia de m\u00e1s de un agujero implicaba como mucho, un n\u00famero finito de soluciones a la ecuaci\u00f3n de Fermat.<\/p>\n

Despu\u00e9s de la aparici\u00f3n inesperada geometr\u00eda diferencial en el estudio del \u00faltimo teorema de Fermat, el siguiente avance consisti\u00f3 en el estudio de curvas el\u00edpticas. Son curvas de la forma<\/p>\n

y2<\/sup>=x3<\/sup>+ax+b,<\/p>\n

con a,b,c n\u00fameros enteros. Esta ecuaci\u00f3n es la llamada forma normal de Weierstrass de una curva el\u00edptica, que debe satisfacer adem\u00e1s una condici\u00f3n de no singularidad. Se llaman el\u00edpticas aunque no representen elipses, pero s\u00ed aparecen al tratar de calcular la longitud de un arco de elipse. El c\u00e1lculo se resolv\u00eda con integrales que se denominaron el\u00edpticas, y cuyas inversas son las llamadas funciones el\u00edpticas estudiadas por Niels Abel. Estas funciones son doblemente peri\u00f3dicas en el cuerpo de los n\u00fameros complejos y por tanto se pueden identificar a un cociente del plano complejo por un ret\u00edculo, dando lugar a una curva compleja, que topol\u00f3gicamente es equivalente a un toro. Recordemos adem\u00e1s que las elipses aparecen tras las leyes de Johannes Kepler en el estudio de las trayectorias planetarias.<\/p>\n

Por otra parte, existen las llamadas formas modulares, o funciones en un espacio hiperb\u00f3lico. Cada forma modular, siguiendo el s\u00edmil de Simon Singh con el ADN, tiene una tupla de n\u00fameros representativos que la caracterizan por completo. De forma an\u00e1loga, se establecen tuplas para la caracterizaci\u00f3n de las curvas el\u00edpticas.<\/p>\n

El famoso postulado de Taniyama-Shimura dice que a cada forma modular le corresponde una curva el\u00edptica y viceversa. A\u00f1os despu\u00e9s, en 1980, el matem\u00e1tico alem\u00e1n Gerhard Frey plante\u00f3 que el \u00faltimo teorema de Fermat podr\u00eda representarse como una curva el\u00edptica muy especial, cuya correspondencia modular no podr\u00eda establecerse. As\u00ed, si la curva el\u00edptica que describiera el teorema de Fermat existiera, habr\u00eda un contrajemplo para la conjetura japonesa y se refutar\u00eda.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Andrew Wiles<\/figcaption><\/figure>\n

En la d\u00e9cada de los 90, el ingl\u00e9s Andrew Wiles decidi\u00f3 probar la conjetura de Taniyama-Shimura, que demostrar\u00eda autom\u00e1ticamente el teorema de Fermat. Los enfoques de Wiles fueron m\u00faltiples y muy macerados durante a\u00f1os de recogimiento y silencio. Inicialmente utiliz\u00f3, igual que Kummer, la teor\u00eda de grupos. Su enfoque tambi\u00e9n se bas\u00f3 en la teor\u00eda de Iwasawa. Finalmente, su prueba, presentada en una serie de conferencias en la Universidad de Cambridge, se basaba en su segunda estrategia, el m\u00e9todo de Kolyvagin-Flach, que superaba todos los errores iniciales del resto de m\u00e9todos. La prueba de Wiles ten\u00eda un error que solvent\u00f3 en un a\u00f1o m\u00e1s de trabajo con la ayuda de su estudiante Richard Taylor. El art\u00edculo de public\u00f3 finalmente en Annals of Mathematics resolviendo as\u00ed uno de los problemas m\u00e1s estudiados durante los \u00faltimos 350 a\u00f1os.<\/p>\n

____<\/strong><\/strong><\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sard\u00f3n <\/strong><\/strong>(ICMAT-CSIC).
\n<\/strong><\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Todos hemos o\u00eddo alguna vez sobre esos problemas abiertos en las matem\u00e1ticas casi imposibles en su resoluci\u00f3n, que de ser conseguida, puede ser premiada con un mill\u00f3n de d\u00f3lares. Son los denominados \u201cproblemas del milenio\u201d, atacados por muchos, pero de los 7 problemas abiertos en diferentes \u00e1reas de las matem\u00e1ticas, s\u00f3lo uno ha sido resuelto. Si quisi\u00e9ramos saber c\u00f3mo de avanzadas est\u00e1n las resoluciones de los otros seis, deber\u00edamos preguntar a los m\u00e1s expertos, y muchas veces, la respuesta es inconclusa o dubitativa. 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