{"id":142732,"date":"2016-11-02T10:57:10","date_gmt":"2016-11-02T09:57:10","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=142732"},"modified":"2016-11-02T10:57:10","modified_gmt":"2016-11-02T09:57:10","slug":"los-otros-teoremas-de-fermat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2016\/11\/02\/142732","title":{"rendered":"Los otros teoremas de Fermat"},"content":{"rendered":"

Seguimos contando m\u00e1s cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente hab\u00edamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resoluci\u00f3n a lo largo de m\u00e1s de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matem\u00e1tico sino de abogado y juez, consagr\u00f3 sus momentos de ocio al planteamiento y resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Pierre de Fermat<\/figcaption><\/figure>\n

Los problemas los lanzaba por la v\u00eda epistolar, escribiendo cartas que conten\u00edan retos dirigidos a la comunidad matem\u00e1tica europea; esto a veces ten\u00eda como consecuencia la aparici\u00f3n de rivalidades entre matem\u00e1ticos de diferentes nacionalidades. Sus resoluciones quedaban muchas veces inconclusas, apuntadas en los m\u00e1rgenes de los libros, en ocasiones sin ninguna indicaci\u00f3n de una posible prueba. En el env\u00edo de sus cartas, cont\u00f3 con la ayuda de Marin Mersenne, que serv\u00eda de enlace entonces entre la comunidad matem\u00e1tica.<\/p>\n

Muchos de los problemas planteados por Fermat son cl\u00e1sicos en teor\u00eda de n\u00fameros. Por ejemplo, los referidos a los n\u00fameros perfectos, aquellos cuya suma de divisores es el propio n\u00famero. El primer ejemplo es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma iguala 6. Esta particularidad del 6 lo dot\u00f3 de un significado m\u00edstico por la escuela pitag\u00f3rica; representaba la unicidad, la dualidad y la trinidad.<\/p>\n

Euclides hab\u00eda probado en Los Elementos<\/em> que 2p\u22121<\/sup>(2p <\/sup>\u2212 1) es un n\u00famero par perfecto siempre que 2p<\/sup> \u2212 1 sea primo. Estos son los llamados primos de Mersenne (cuando p es primo, lo que no garantiza que el correspondiente n\u00famero de Mersenne lo sea).<\/p>\n

Hay muchos resultados sobre n\u00fameros perfectos que a\u00fan no se ha demostrado, por ejemplo, si existen n\u00fameros perfectos impares. Tampoco se sabe si los n\u00fameros de Mersenne son infinitos. Lo que s\u00ed se sabe, evidentemente, es que no todos los n\u00fameros son perfectos. Los que no lo son pueden dividirse en dos tipos: aquellos cuya suma de divisores es menor que el n\u00famero, que son los denominados n\u00fameros abundantes; y aquellos para los que la suma de divisores excede al propio n\u00famero, que son los denominados n\u00fameros deficientes. Finalmente, tambi\u00e9n existen los n\u00fameros amigos: dos n\u00fameros son amigos cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro n\u00famero y viceversa; por ejemplo, el 220 y el 284. A este tipo de n\u00fameros se le dio un significado m\u00edstico; se cre\u00eda que si dos personas com\u00edan dos panes en los que se inscrib\u00edan tales n\u00fameros, entonces ser\u00edan amigos para siempre.<\/p>\n

En 1636 Fermat plante\u00f3 el problema de c\u00f3mo determinar la suma de los divisores de un n\u00famero. Ren\u00e9 Descartes fue el primero en aceptar el reto y plantear un m\u00e9todo. Dado que todo n\u00famero puede expresarse como\u00a0 el producto de potencias de sus factores primos<\/p>\n

N= p1<\/sub>k<\/sup>1<\/sub> p2<\/sub>k<\/sup>2<\/sub> \u2026 pn<\/sub>k<\/sup>n<\/sub><\/p>\n

cuyos divisores ser\u00e1n todas las combinaciones entre dichos factores, Descartes propuso un m\u00e9todo que cubr\u00eda los divisores anteriores de forma recursiva. Posteriormente, Fermat propuso un m\u00e9todo alternativo aunque similar, pero que nunca apareci\u00f3 probado.<\/p>\n

Otro resultado sobre primos se refiere a los llamados ahora n\u00fameros de Fermat; un n\u00famero de Fermat es un n\u00famero natural de la forma:<\/p>\n

Fn<\/sub> = 22<\/sup>n <\/sup>+ 1<\/p>\n

donde n es natural. Fermat conjetur\u00f3 que todos ellos eran primos, pero Leonhard Euler prob\u00f3 que no era as\u00ed, ya que<\/p>\n

F5<\/sub> = 4294967297 = 641 x 6700417<\/p>\n

S\u00fabitamente, Fermat dej\u00f3 de escribir a sus colegas matem\u00e1ticos y se mantuvo en silencio m\u00e1s de diez a\u00f1os. Las consecuencias fueron que perdi\u00f3 a muchos de sus colaboradores; algunos hab\u00edan muerto, y con otros perdi\u00f3 el contacto.<\/p>\n

Este aislamiento lleg\u00f3 a su fin cuando Blaise Pascal le propuso algunos problemas sobre probabilidades. Pascal y Fermat son hoy en d\u00eda considerados como los fundadores de la teor\u00eda de la probabilidad.<\/p>\n

Otro campo en el que Fermat consigui\u00f3 importantes resultados fue el de los n\u00fameros triangulares. Recordemos que un n\u00famero triangular es aquel que se descompone en sumandos que forman un tri\u00e1ngulo. Por ejemplo, el 10: 1+2+3+4.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

El n\u00famero 10 se denomin\u00f3 tetrakys y fue venerado como n\u00famero de la cambiante creaci\u00f3n. Sorprendentemente, todo n\u00famero perfecto es triangular.<\/p>\n

A pesar del misticismo y las c\u00e1balas pitag\u00f3ricas, estos n\u00fameros no s\u00f3lo demuestran una belleza matem\u00e1tica, sino que tambi\u00e9n pueden ser n\u00fameros claves en la naturaleza. A\u00f1os despu\u00e9s, el misticismo se ve corroborado en la aparici\u00f3n del patr\u00f3n tetrakys en procesos f\u00edsicos. En 1969, Murray Gell-Mann recibi\u00f3 el premio Nobel de F\u00edsica al predecir la existencia de una part\u00edcula a partir del pico inconcluso del tri\u00e1ngulo formado por diez part\u00edculas, clasificadas atendiendo a dos par\u00e1metros: hipercarga e isospin.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Este es el denominado decuplete del modelo est\u00e1ndard de la f\u00edsica de part\u00edculas, cuyas part\u00edculas elementales (aquellas formadas por dos o tres quarks) han sido ampliamente clasificadas y predichas en diagramas gr\u00e1ficos, todos correpondientes con pol\u00edgonos regulares. La verdadera ra\u00edz de esta interpretaci\u00f3n recae en la teor\u00eda de grupos y las representaciones irreducibles del grupo del modelo est\u00e1ndar, al que dedicamos una entrada de este blog hace unos meses, titulada Teor\u00eda de grupos, m\u00e1s all\u00e1 del formalismo.<\/em><\/a><\/p>\n

\"\"<\/a>
Murray GellMann<\/figcaption><\/figure>\n

Dejando la corroboraci\u00f3n f\u00edsica y volviendo al misticismo, el tetrakys representaba los cuatro elementos. La armon\u00eda de las esferas, y el ordenamiento del espacio: 0, 1, 2 y 3 dimensiones representadas por cada l\u00ednea.<\/p>\n

El concepto se generaliz\u00f3 f\u00e1cilmente, siendo un n\u00famero cuadrado el que puede descomponerse en sumandos que formen un cuadrado y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n

Para terminar con Fermat y la teor\u00eda de n\u00fameros, enunciamos uno de sus \u00faltimos teoremas: todo n\u00famero es, o bien triangular, o bien la suma de dos o tres n\u00fameros triangulares. Tambi\u00e9n, o es cuadrado, o la suma de dos o tres cuadrados. O pentagonal, con un enunciado similar.\u00a0 Una vez m\u00e1s, el resultado fue consignado en otro margen de la Aritm\u00e9tica de Diofanto con una observaci\u00f3n t\u00edpica de Fermat: \u201cLa demostraci\u00f3n de este resultado tampoco tiene cabida en este margen, pero pienso escribir un libro sobre ello\u201d.<\/p>\n

Sin embargo, Fermat cada vez se sent\u00eda m\u00e1s hastiado de no encontrar correspondencia ni inter\u00e9s en sus problemas planteados. En un extracto de unas de sus cartas se pone de manifiesto las querellas internacionales que propiciaba a costa de retar con sus problemas:<\/p>\n

\u201cEsperamos estas soluciones, y si Inglaterra o B\u00e9lgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo har\u00e1\u201d.<\/em><\/p>\n

Los \u00faltimos cient\u00edficos con quienes mantuvo contacto, como Huygens y Pascal tambi\u00e9n se negaron a participar en la nueva teor\u00eda de los n\u00fameros. En la \u00e9poca, no se ve\u00eda la utilidad de la resoluci\u00f3n de tales problemas.<\/p>\n

____<\/strong><\/strong><\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) <\/strong>y Cristina Sard\u00f3n <\/strong><\/strong><\/strong>(ICMAT-CSIC).
\n<\/strong><\/strong><\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seguimos contando m\u00e1s cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente hab\u00edamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resoluci\u00f3n a lo largo de m\u00e1s de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matem\u00e1tico sino de abogado y juez, consagr\u00f3 sus momentos de ocio al planteamiento y resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos. 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