{"id":143611,"date":"2017-04-13T18:00:37","date_gmt":"2017-04-13T17:00:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=143611"},"modified":"2017-04-13T18:39:48","modified_gmt":"2017-04-13T17:39:48","slug":"jugamos-al-billar-cuantico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2017\/04\/13\/143611","title":{"rendered":"\u00bfJugamos al billar cu\u00e1ntico?"},"content":{"rendered":"

En el post anterior nos pregunt\u00e1bamos si un gran jugador de billar, Paul Newman en su papel de Eddie Felson en El Buscavidas, era un experto en sistemas din\u00e1micos. Evidentemente, Newman no necesitaba realizar elaborados c\u00e1lculos matem\u00e1ticos antes de realizar sus lanzamientos, a pesar de que el sistema din\u00e1mico del billar no es sencillo desde el punto de vista matem\u00e1tico. La explicaci\u00f3n es que al billar se aprende a jugar con la experiencia, acompa\u00f1ada, c\u00f3mo no, de una cierta habilidad. As\u00ed, podemos llegar a jugar muy bien sin necesidad de resolver las ecuaciones de su din\u00e1mica.<\/p>\n

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Trayectorias del estadio de Bunimovich<\/figcaption><\/figure>\n

La mec\u00e1nica cl\u00e1sica estudia el movimiento de los cuerpos f\u00edsicos a escala natural. Sin embargo, cuando analizamos el movimiento de part\u00edculas muy peque\u00f1as, como los electrones, las leyes de la mec\u00e1nica cl\u00e1sica ya no funcionan tan bien. La teor\u00eda adecuada para estudiar los procesos f\u00edsicos del mundo at\u00f3mico y subat\u00f3mico es la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica. Algunos hechos muy conocidos de esta teor\u00eda son que no se puede determinar simult\u00e1neamente y con total precisi\u00f3n la posici\u00f3n y velocidad de una part\u00edcula cu\u00e1ntica (principio de incertidumbre de Heisenberg), o que algunas magnitudes f\u00edsicas a estas escalas, como la energ\u00eda, s\u00f3lo pueden tomar valores discretos (cuantos). Las part\u00edculas son descritas por su funci\u00f3n de onda, y lo \u00fanico que podemos calcular es la probabilidad de que una part\u00edcula se encuentre en un lugar determinado. Las ecuaciones de Hamilton deben ser sustituidas por la de Schr\u00f6dinger.<\/p>\n

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Estadio de Bunimovich<\/figcaption><\/figure>\n

En este modelo, nuestra experiencia ya no sirve para hacer buenas predicciones. Cabe preguntarse, \u00bfpodemos jugar en un billar cu\u00e1ntico?<\/p>\n

El estudio del caos cu\u00e1ntico parte del llamado principio de correspondencia, invocado por primera vez por Bohr en 1923. Seg\u00fan este principio, la mec\u00e1nica cl\u00e1sica deber\u00eda emerger de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica como una aproximaci\u00f3n cuando pasamos de la escala subat\u00f3mica a la macrosc\u00f3pica. Esto es razonable puesto que la mec\u00e1nica cl\u00e1sica funciona muy bien a escala natural, y tambi\u00e9n seg\u00fan la hip\u00f3tesis de que las leyes fundamentales del universo no deber\u00edan depender de la escala que se utilice. Es decir, la mec\u00e1nica cl\u00e1sica estar\u00eda encapsulada de alguna forma en la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, aunque s\u00f3lo podamos verla al mirar en la escala adecuada. El caos cu\u00e1ntico se centra en las propiedades cu\u00e1nticas que exhibe un sistema cuyo an\u00e1logo cl\u00e1sico (el sistema a escala macrosc\u00f3pica) tiene un comportamiento ca\u00f3tico.<\/p>\n

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Una autofunci\u00f3n t\u00edpica en el estadio de Bunimovich<\/figcaption><\/figure>\n

La mec\u00e1nica cu\u00e1ntica nos dice que si una part\u00edcula cu\u00e1ntica est\u00e1 confinada en una regi\u00f3n plana con forma de mesa de billar, su energ\u00eda s\u00f3lo puede tomar valores discretos (sus n\u00fameros cu\u00e1nticos). La probabilidad de encontrar la part\u00edcula en diferentes partes de la mesa de billar cambiar\u00e1 conforme la energ\u00eda aumente. Decimos que la part\u00edcula con una determinada energ\u00eda est\u00e1 en un orbital. Las propiedades geom\u00e9tricas de los orbitales guardan relaci\u00f3n con las trayectorias del billar cl\u00e1sico.<\/p>\n

Cuando el billar cl\u00e1sico es ca\u00f3tico (por ejemplo, el billar de Bunimovich), la inmensa mayor\u00eda de las trayectorias del billar cl\u00e1sico recorren todo el espacio disponible (decimos que este billar es erg\u00f3dico). En su contrapartida cu\u00e1ntica, es esperable que la probabilidad de encontrar la part\u00edcula tienda a ser uniforme en toda la mesa, conforme la energ\u00eda aumenta, lo que se denomina ergodicidad cu\u00e1ntica. Esto ocurre de hecho para la mayor\u00eda de sucesiones de n\u00fameros cu\u00e1nticos. Pero este marco general est\u00e1 lejos de dar una idea completa de lo que esconde el caos cu\u00e1ntico. Recientemente se ha probado te\u00f3ricamente que existen sucesiones \u201craras\u201d de orbitales para los billares de Bunimovich que no cumplen esta propiedad de ergodicidad, pues la probabilidad de encontrar la part\u00edcula se concentra en conjuntos peque\u00f1os de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas, luego la situaci\u00f3n es m\u00e1s compleja de lo que se podr\u00eda pensar en un principio. Podemos decir que el juego del billar cu\u00e1ntico no ha hecho sino comenzar.<\/p>\n

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Leonid Bunimovich<\/figcaption><\/figure>\n

Digamos tambi\u00e9n que este modelo protot\u00edpico de billar es debido al matem\u00e1tico rusoamericano Leonid Bunimovich, qui\u00e9n desarroll\u00f3 su tesis doctoral en la Universidad de Mosc\u00fa, bajo la direcci\u00f3n de Yakok G. Sinai. Actualemnet, Bunomovich es profesor en el Georgia Institute of Technology<\/a>.<\/p>\n

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Un nanocuerno de carbono<\/figcaption><\/figure>\n

Finalmente, no se trata solo de \u201cjugar\u201d, sino que estos juegos con los billares cu\u00e1nticos se aplican al estudio de los nanotubos de carbono. En particular, se espera estudiar m\u00e1s a fondo las nanocornetas o nanocuernos, estructuras de carbono cuyo nombre alude a su forma especial.<\/p>\n

______<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sard\u00f3n <\/strong><\/strong><\/strong>(ICMAT-CSIC), y V\u00edctor Arn\u00e1iz <\/strong><\/strong>(ICMAT-CSIC).
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En el post anterior nos pregunt\u00e1bamos si un gran jugador de billar, Paul Newman en su papel de Eddie Felson en El Buscavidas, era un experto en sistemas din\u00e1micos. Evidentemente, Newman no necesitaba realizar elaborados c\u00e1lculos matem\u00e1ticos antes de realizar sus lanzamientos, a pesar de que el sistema din\u00e1mico del billar no es sencillo desde el punto de vista matem\u00e1tico. La explicaci\u00f3n es que al billar se aprende a jugar con la experiencia, acompa\u00f1ada, c\u00f3mo no, de una cierta habilidad. As\u00ed, podemos llegar a jugar muy bien sin necesidad de resolver las ecuaciones de su din\u00e1mica. 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