{"id":143756,"date":"2017-05-14T11:54:38","date_gmt":"2017-05-14T10:54:38","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=143756"},"modified":"2017-05-14T12:04:35","modified_gmt":"2017-05-14T11:04:35","slug":"triangulos-de-heron","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2017\/05\/14\/143756","title":{"rendered":"Tri\u00e1ngulos de Heron"},"content":{"rendered":"

Estos \u00faltimos meses me he dedicado a leer muchos art\u00edculos sobre unos falsamente modestos objetos geom\u00e9tricos, los tri\u00e1ngulos. Fruto de esa curiosidad, traemos a Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/strong> un tipo de tri\u00e1ngulos con propiedades muy interesantes, los llamados tri\u00e1ngulos de Heron<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Her\u00f3n de Alejandr\u00eda<\/figcaption><\/figure>\n

Un tri\u00e1ngulo de Heron es \u00e1quel cuyos lados y \u00e1reas son n\u00fameros enteros. F\u00e1cilmente vemos que cualquier tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo con lados enteros es de Heron, porque el \u00e1rea es la mitad del producto de los dos catetos, ya que uno act\u00faa como base y el otro como altura:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Un ejemplo de un tri\u00e1ngulo heroniano que no es rect\u00e1ngulo es uno is\u00f3sceles que se puede obtener pegando dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos de lados 3, 4, y 5 por el cateto de longitud 4; as\u00ed obtenemos un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles con lasdos de longitudes 5, 5 y 6, y \u00e1rea 12 unidades cuadradas.<\/p>\n

\"\"<\/a>Esta t\u00e9cnica vale en general, porque si tomamos un triple pitag\u00f3rico (que es equivalente a dar un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo) (a, b, c), con c mayor que a y b, y tra (a, d, e), con e mayor que a y d, entonces podemos construir un nuevo tri\u00e1ngulo pegando los lados de longitud a (ve\u00e1se la figura anterior).<\/p>\n

Las longitudes de sus lados ser\u00e1n c, e, y b + d, y el \u00e1rea es A = 1\/2 (b+d) a<\/p>\n

En consecuencia, si a es un entero par o b+d lo son, entonces el \u00e1rea A es entera.<\/p>\n

Pero no todos los tri\u00e1ngulos heronianos son as\u00ed, y se llaman indescomponibles. Podemos permitir una generalizaci\u00f3n del concepto de tri\u00e1ngulo heroniano permitiendo que los lados y el \u00e1rea sean n\u00fameros racionales. En este caso, siempre se puede hacer esa descomposici\u00f3n.<\/p>\n

Heron encontr\u00f3 una f\u00f3rmula maravillosa que relacionaba el \u00e1rea con el per\u00edmetro de un tri\u00e1ngulo<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

d\u00f3nde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiper\u00edmetro. Por lo tanto, tenemos una ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

El conjunto completo de soluciones para tri\u00e1ngulos heronianos fue encontrada (\u00a1c\u00f3mo no!)\u00a0 por Leonhard Euler, y las versiones param\u00e9tricas son debidas a Brahmagupta y Carmichael (1952), y son de este tipo<\/p>\n

\"\"<\/a>\"\"<\/a>\"\"<\/a>\"\"<\/a>\"\"<\/a><\/p>\n

para los valores de a, b, c, s y \u0394<\/strong>, respectivamente. Aqu\u00ed, los enteros m,n y k verifican<\/p>\n

\"\"<\/a>\"\"<\/a>\"\"<\/a><\/p>\n

As\u00ed se pueden producir infinidad de tri\u00e1ngulos de Heron de una manera sencilla.<\/p>\n

La curiosidad sobre los problemas matem\u00e1ticos es inagotables, y as\u00ed nos encontramos con tetaedros heronianos y pir\u00e1mides perfectas.<\/p>\n

\u00a1Un mundo apasionante el de los tri\u00e1ngulos!<\/p>\n

____<\/strong><\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Estos \u00faltimos meses me he dedicado a leer muchos art\u00edculos sobre unos falsamente modestos objetos geom\u00e9tricos, los tri\u00e1ngulos. Fruto de esa curiosidad, traemos a Matem\u00e1ticas y sus fronteras un tipo de tri\u00e1ngulos con propiedades muy interesantes, los llamados tri\u00e1ngulos de Heron. Un tri\u00e1ngulo de Heron es \u00e1quel cuyos lados y \u00e1reas son n\u00fameros enteros. 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