{"id":144049,"date":"2017-07-21T10:35:28","date_gmt":"2017-07-21T09:35:28","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=144049"},"modified":"2017-07-22T09:56:22","modified_gmt":"2017-07-22T08:56:22","slug":"cuadrados-latinos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2017\/07\/21\/144049","title":{"rendered":"Cuadrados latinos"},"content":{"rendered":"

Hace unos d\u00edas habl\u00e1bamos de cuadrados m\u00e1gicos y prometimos hablar tambi\u00e9n de cuadrados latinos; hoy ser\u00e1 el d\u00eda. Digamos antes de nada, que un cuadrado latino es una matriz de n\u00d7n elementos en la que cada casilla est\u00e1 ocupada por uno de los n s\u00edmbolos, de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.<\/p>\n

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Lo primero que debemos tener en cuenta es que un cuadrado latino no se forma s\u00f3lo con n\u00fameros, sino que vale cualquier tipo de s\u00edmbolos. Vemos por ejemplo en la fotograf\u00eda encima de estas l\u00edneas, este cuadrado latino formado por cuadraditos de diferentes colores, y que compone un vitral en el sal\u00f3n comedor del Gonville y Caius College, en Cambridge, Inglaterra. Este vitral honra la memoria del estad\u00edstico y biol\u00f3go Sir Ronald Aylmer Fisher, quien lo us\u00f3 en sus experimentos.<\/p>\n

Los cuadrados latinos son conocidos desde la antig\u00fcedad, y ya los \u00e1rabes e indios los usaban como amuletos. Una aparici\u00f3n m\u00e1s moderna ocurre en el siglo XIII, cuando el fil\u00f3sofo Ram\u00f3n\u00a0 Llull\u00a0 (1232-1315)\u00a0 introduce en\u00a0 su\u00a0 texto\u00a0 Ars\u00a0 Demostrativa\u00a0 (1283)\u00a0 cuatro cuadrados latinos de orden 4, utilizando como s\u00edmbolos los cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra.<\/p>\n

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Una definici\u00f3n formal es debida a Leonhard Euler, quien en 1799 estaba interesado en dar soluci\u00f3n al llamado Problema de los 36 oficiales<\/em>. Dicho problema consiste\u00a0 en ver si es posible colocar en un cuadrado de tama\u00f1o\u00a0 6×6, a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y que de cada regimiento haya uno de los seis distintos grados, de forma que no coincidan dos oficiales\u00a0 del\u00a0 mismo rango o del mismo regimiento en ninguna fila y en ninguna columna.<\/p>\n

De hecho, en su art\u00edculo Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques,<\/em> publicado en la revista Verhandelingen uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen en 1782, Leonard Euler escribe:<\/p>\n

Una cuesti\u00f3n muy curiosa que ha desafiado la inteligencia de muchas personas, me inspir\u00f3 para emprender la siguiente investigaci\u00f3n que al parecer ha abierto una nueva trayectoria dentro del An\u00e1lisis y, en particular, en Combinatoria. Esta cuesti\u00f3n concierne a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales, cada uno de diferente rango y regimiento. Pero, despu\u00e9s de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, tenemos que reconocer que tal disposici\u00f3n es absolutamente imposible, aunque no podemos ofrecer una prueba rigurosa.<\/em><\/p>\n

Generar cuadrados latinos ha sido siempre un pasatiempo de muchos aficionados a las matem\u00e1ticas, y una de sus versiones modernas son precisamente los sudokus<\/em>, en los que la restricci\u00f3n adicional es que cada uno de los subgrupos de 3\u00d73 que lo forman debe debe contener todos los d\u00edgitos del 1 al 9.<\/p>\n

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Un sudoku<\/figcaption><\/figure>\n

Hay tipos especiales de cuadrados latinos, como los cuadrados greco-latinos, cuadrados de Euler o cuadrados latinos ortogonales de orden n. \u00c9stos, son cuadr\u00edculas cuadradas n\u00d7n de elementos de dos conjuntos S y T, ambos con n elementos, cada celda conteniendo un par ordenado (s, t).\u00a0 Aqu\u00ed, s es un elemento de S y t es un elemento de T, de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna y que no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado. Este es uno de los ejemplos que manejaba Euler, qui\u00e9n prob\u00f3 muchos resultados:<\/p>\n

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Obviamente, un cuadrado greco-latino puede descomponerse en dos ortogonales.<\/p>\n

El estad\u00edstico ingl\u00e9s Ronald Fisher, de qui\u00e9n hemos hablado al principio, \u00a0us\u00f3 los cuadrados latinos para mejorar los m\u00e9todos agr\u00edcolas, cuando se hallaba investigando la eficacia de los fertilizantes en el rendimiento de las cosechas. Busc\u00f3 la manera de plantar cosechas en similares condiciones de suelo, de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor indeseable que influyese en el rendimiento de la cosecha. Si bien la \u00fanica manera de asegurarse de tener condiciones id\u00e9nticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo, en la pr\u00e1ctica esto es casi imposible, pues se deber\u00edan desenterrar y volver a plantar las cosechas varias veces.<\/p>\n

Si se tuviese un campo cuadrado dividido en 16 parcelas, puede construirse un cuadrado latino en que la descripci\u00f3n del campo sea tal que la calidad del suelo var\u00ede \u00abvertical\u00bb y \u00abhorizontalmente\u00bb. Entonces, se aplican al azar los 4 fertilizantes (\u00aba\u00bb, \u00abb\u00bb, \u00abc\u00bb, y \u00abd\u00bb) con la \u00fanica condici\u00f3n de que cada fertilizante aparezca una s\u00f3la vez en cada fila y en cada columna. De esta manera se busca eliminar la variaci\u00f3n de la calidad de tierra. Si hubiese otro factor que pudiese influir en el rendimiento, por ejemplo, el momento del d\u00eda (A, B, C, D) en que se aplica el tratamiento, entonces puede utilizarse un cuadrado latino ortogonal al anterior, donde se identifiquen dichos momentos del d\u00eda. DAs\u00ed, cada pareja momento-fertilizante se aplicar\u00e1 en una \u00fanica parcela.<\/p>\n

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Terminamos con una fotograf\u00eda del cuadrado latino m\u00e1s famoso que se ha utilizado en dise\u00f1o de experimentos. Fue elaborado por Fisher en 1926, y llevado a la pr\u00e1ctica en 1929 en el Bosque Beddgelert, en el norte de Gales, para estudiar el\u00a0 comportamiento de cinco tipos de \u00e1rboles.<\/p>\n

\"\"<\/a>______<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) <\/strong>y Cristina Sard\u00f3n <\/strong><\/strong><\/strong>(ICMAT-CSIC).
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