{"id":145421,"date":"2018-07-09T21:31:21","date_gmt":"2018-07-09T20:31:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=145421"},"modified":"2018-07-13T00:39:42","modified_gmt":"2018-07-12T23:39:42","slug":"pitagorico-al-agua","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2018\/07\/09\/145421","title":{"rendered":"\u00a1Pitag\u00f3rico al agua!"},"content":{"rendered":"

Es un d\u00eda tormentoso en el mar en la costa de Grecia; la \u00e9poca, el siglo V a.C. Un barco navega por esas aguas, cuando, violentamente, un hombre es arrojado por la borda con la intenci\u00f3n de que muera ahogado. Su nombre es Hipaso de Metaponto, y su crimen, haber descubierto la irracionalidad de \u221a2.<\/p>\n

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Esta es la leyenda urbana, de la que no tenemos constancia hist\u00f3rica, aunque el historiador J\u00e1mblico refiere en su Vida de Pit\u00e1goras<\/a> ese suceso:<\/p>\n

\u201cHipaso era un pitag\u00f3rico, pero al haber divulgado por escrito como se pod\u00eda construir una esfera a partir de doce pent\u00e1gonos, pereci\u00f3 en el mar por haber cometido ese acto de impiedad. Recibi\u00f3 el m\u00e9rito por ese descubrimiento pero en realidad todo proven\u00eda de \u00c9L\u201d.<\/p>\n

\u00c9l<\/em> era nada menos que el propio Pit\u00e1goras, y los descubrimientos de su escuela deb\u00edan permancer secretos. Otra versi\u00f3n habla de que su delito fue demostrar la incomensurabilidad de los n\u00fameros, probando que \u221a2 no era un n\u00famero racional. Los pitag\u00f3ricos afirmaban que toda cantidad se pod\u00eda medir a partir de una unidad o de sus partes, o, dicho de otra manera, solo hab\u00eda n\u00fameros racionales.<\/p>\n

Evidentemente, como dir\u00edan los italianos, \u201csi non \u00e8 vero, \u00e8 ben trovato\u201d, as\u00ed que mantendremos la historia, inclusive cuando se le atribuye al mismo Pit\u00e1goras el haberlo arrojado por la borda.<\/p>\n

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Hipaso de Metaponto<\/figcaption><\/figure>\n

Hipaso de Metaponto fue un fil\u00f3sofo y matem\u00e1tico pitag\u00f3rico, que vivi\u00f3 en el siglo V a.C. Se cree que naci\u00f3 en Metaponto, aunque se conocen pocos detalles de su vida, y hay muchas contradicciones, como suele ocurrir on los personajes de esas \u00e9pocas. Los pitag\u00f3ricos se dividieron en dos sectas, los matem\u00e1ticos, directamente bajo las \u00f3rdenes de Pit\u00e1goras, y el grupo de los acusm\u00e1ticos, que solo conoc\u00edan los rudimentos de la doctrina, y eran dirigidos por el propio H\u00edpaso.<\/p>\n

Por su parte, Pit\u00e1goras era hijo de Menarco, un comerciante y grabador de joyas, y parece que de ah\u00ed pudieran venirle sus conocimientos de la geometr\u00eda de los s\u00f3lidos, denominados hoy en d\u00eda pitag\u00f3ricos o plat\u00f3nicos. Tampoco se conoce mucho sobre su formaci\u00f3n, aunque se cree que viaj\u00f3 a Egipto y a Babilonia: en Egipto aprendi\u00f3 muchos de sus conocimientos geom\u00e9tricos; y de los fenicios y caldeos, aprendi\u00f3 aritm\u00e9tica y astronom\u00eda. El viaje a Egipto est\u00e1 documentado en uno de los libros del historiador griego Plutarco. En esta entrada anterior de Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/a>, podemos encontrar m\u00e1s informaci\u00f3n sobre Pit\u00e1goras.<\/p>\n

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Pit\u00e1goras en La Escuela de Atenas<\/figcaption><\/figure>\n

El Teorema de Pit\u00e1goras nos da en realidad relaciones entre ternas de n\u00fameros, aquellos que cumplen la relaci\u00f3n establecida en el mismo. Estas ternas pitag\u00f3ricas ya se encontraban en las tabletas cuneiformes de Babilonia. Su posible extensi\u00f3n a potencias superiores a 2, cuya imposibilidad Fermat asegur\u00f3 haber probado, dio lugar a una apasionante historia que culmin\u00f3 con la prueba de Andrew Wiles, y que contribuy\u00f3 a crear una de las ramas m\u00e1s fruct\u00edferas de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

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Irracionalidad de <\/strong>\u221a<\/strong>2<\/strong><\/p>\n

Una prueba de la irracionalidad de \u221a2 se encuentra en la obra de Arist\u00f3teles, Analytica Priora<\/em>, y apareci\u00f3 primero como la proposici\u00f3n 117 de los Elementos de Euclides. Si suponemos que \u221a2 es racional, pentonces se podr\u00eda escribir como una fracci\u00f3n irreducible a\/b (es decir, a y b no tienen factores comunes). Entonces a2<\/sup> \/ b2<\/sup> = 2 y a2<\/sup> = 2 b2<\/sup>, y a2<\/sup> es par y por lo tanto a debe ser par tambi\u00e9n. Por lo tanto, existe un entero k tal que a = 2k. Si sustituimos a por 2k en la ecuaci\u00f3n anterior, obtenemos\u00a0 2 b2<\/sup> = (2k)2<\/sup> = 4k2<\/sup>, de modo que b2<\/sup> = 2k2<\/sup>, de lo que se deduce que b tambi\u00e9n es par. As\u00ed, hemos llegado a una contradicci\u00f3n.<\/p>\n

Hoy en d\u00eda poseemos una clara divisi\u00f3n entre los diferentes tipos de n\u00fameros:<\/p>\n