{"id":145874,"date":"2018-11-02T12:34:02","date_gmt":"2018-11-02T11:34:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=145874"},"modified":"2018-11-04T19:06:19","modified_gmt":"2018-11-04T18:06:19","slug":"clasificando-nudos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2018\/11\/02\/145874","title":{"rendered":"Clasificando nudos"},"content":{"rendered":"

Seguimos hablando de nudos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras. Dec\u00edamos en la entrada anterior <\/a>que el inter\u00e9s por los nudos decay\u00f3 al probarse que las teor\u00edas que trataban de explicar con ellos el mundo at\u00f3mico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del \u00e9ter y la aparici\u00f3n de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica. Pero los matem\u00e1ticos s\u00ed segu\u00edan interesados en el tema.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Los top\u00f3logos se sintieron fascinados por estos objetos matem\u00e1ticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificaci\u00f3n, es decir, \u00bfcu\u00e1ndo podemos decir que dos nudos son equivalentes? Por ejemplo, los dos nudos que exhibimos arriba. Es un tema sutil, porque dos nudos pueden aparecer como muy diferentes pero ser id\u00e9nticos desde el punto de vista topol\u00f3gico.<\/p>\n

Para precisar estas ideas, vayamos a una primera definic\u00ed\u00f3n de equivalencia. Dos nudos N<\/em>1<\/sub> y N2<\/sub> <\/em>se dir\u00e1n equivalentes si existe un homeomorfismo<\/p>\n

h : R3<\/sup> <\/em>—><\/em> R3<\/sup>,<\/em><\/p>\n

que preserva la orientaci\u00f3n del espacio y que transforma un nudo en el otro, es decir h(N1<\/sub>) = N2<\/sub><\/em>. Digamos que un homeomorfismo es una transformaci\u00f3n que que es continua y que tiene inversa y \u00e9sta tambi\u00e9n es continua. La continuidad refleja que preserva en un cierto sentido que se puede precisar matem\u00e1ticamente la cercan\u00eda de los puntos del espacio. Sobre la orientaci\u00f3n, decir que hay dos posibles en R<\/em>3 <\/sup>y h<\/em> las debe preservar, es decir, no puede convertir una en la opuesta.<\/p>\n

Existe otra definici\u00f3n de equivalencia en la que los dos nudos son equivalentes si existe una familia parametrizada de homeomorfismos por un par\u00e1metro t entre 0 y 1 que transforma el primer nudo en el segundo (esta familia es lo que se llama una homotop\u00eda). Sin embargo, esta definici\u00f3n y la primera son equivalentes. En cualquier caso, resulta complejo y arduo usar directamente estas definiciones.<\/p>\n

Diagramas de nudos<\/strong><\/p>\n

Dec\u00edamos en una entrada previa que una manera de tratar con los nudos era proyectarlos en un plano y trabajar con esas proyecciones. Una manera de verlo es pensar que ponemos un foco de luz sobre el nodo tridimensional y vemos su sombra en una pared. Habr\u00e1 intersecciones que se corresponden con los cruces del nodo. Trabajando con algo de cuidado se puede conseguir que estas proyecciones contengan toda la informaci\u00f3n del nudo. As\u00ed, el problema de ver si dos nudos son equivalentes o no se reduce a estudiar si lo son sus proyecciones.<\/p>\n

El matem\u00e1tico alem\u00e1n Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 \u20131971) ide\u00f3 en 1927 un procedimiento (llamado los movimientos de Reidemeister) que nos permite pasar de una proyecci\u00f3n regular de un nudo a otra usando solo los siguientes tres tipos de movimientos sobre partes del diagrama en cuesti\u00f3n:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Reidemeister tipo I<\/figcaption><\/figure>\n
\"\"<\/a>
Reidemeister tipo II<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Reidemeister tipo III<\/figcaption><\/figure>\n

El primer movimiento (tipo I) consiste en girar o crear un lazo; el segundo (tipo II) desplaza un trozo de nudo sin que se cruce con otro trozo; y el tercer movimiento (tipo III) consiste en pasar un trozo de nudo sin cruzamientos sobre o bajo un cruce. El resto del diagrama no se modifica.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Kurt Reidemeister<\/figcaption><\/figure>\n

Algunos datos sobre Kurt Reidemeister<\/strong><\/p>\n

Reidemester comenz\u00f3 su carrera matem\u00e1tica en Teor\u00eda algebraica de n\u00fameros, bajo la direcci\u00f3n de Erich Hecke, pero tan pronto defendi\u00f3 su tesis su intere\u00e9s se fue a la geometr\u00eda diferencial y a la teor\u00eda de nudos. En 1923 fue contratado como profesor en la Universidad de Viena (lo que le permiti\u00f3 escapar de la situaci\u00f3n empobrecida de la Alemania de postguerra tras el tratado de Versalles y la hiperinflaci\u00f3n) , y en 1925 se traslad\u00f3 a la Universidad de K\u00f6nigsberg. En 1933, su posici\u00f3n p\u00fablica al r\u00e9gimen nazi le supuso su cese (del que por cierto se enter\u00f3 leyendo el peri\u00f3dico). Restituido por la presi\u00f3n de sus colegas al gobierno (encabezada por Wilhelm Blaschke) tuvo sin embargo que mantener ocultas sus discrepancias pol\u00edticas. Tras la guerra y con una estancia en Princeton, fue nombrado profesor en la Universidad de Gotinga hasta su jubilaci\u00f3n. Su libro Knoten und Gruppen<\/em> (1926) es hoy en d\u00eda un cl\u00e1sico sobre teor\u00eda de nudos.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

___<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seguimos hablando de nudos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras. Dec\u00edamos en la entrada anterior que el inter\u00e9s por los nudos decay\u00f3 al probarse que las teor\u00edas que trataban de explicar con ellos el mundo at\u00f3mico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del \u00e9ter y la aparici\u00f3n de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica. Pero los matem\u00e1ticos s\u00ed segu\u00edan interesados en el tema. Los top\u00f3logos se sintieron fascinados por estos objetos matem\u00e1ticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificaci\u00f3n, es decir, \u00bfcu\u00e1ndo podemos decir que dos nudos son equivalentes? 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