{"id":145901,"date":"2018-11-07T18:57:20","date_gmt":"2018-11-07T17:57:20","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=145901"},"modified":"2018-11-07T18:57:20","modified_gmt":"2018-11-07T17:57:20","slug":"invariantes-de-nudos-el-grupo-de-un-nudo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2018\/11\/07\/145901","title":{"rendered":"Invariantes de nudos: el grupo de un nudo"},"content":{"rendered":"

Seguimos hablando de nudos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras, y hoy nos toca hacerlo de los invariantes que se pueden asociar a un nodo y de c\u00f3mo \u00e9stos ayudan a su clasificaci\u00f3n.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Nudos (Matemateca (IME\/USP)\/Rodrigo Tetsuo Argenton)<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

La noci\u00f3n de un invariante de nudos es sencilla: se trata de una cantidad (u objeto matem\u00e1tico) que es la misma para nudos equivalentes, de manera que dos nudos que posean los mismos invariantes ser\u00edan indistinguibles desde el punto de vista de la topolog\u00eda.<\/p>\n

Uno de estos invariantes es el llamado grupo del nudo, que no es m\u00e1s que el grupo fundamental del complementario del nudo en el espacio euclidiano.<\/p>\n

Para fijar ideas, recordemos lo que es el grupo fundamental de un espacio. Dado un espacio (pensemos en la superficie de una esfera para fijar ideas), podemos considerar un punto y todos los lazos que comienzan y terminan en se punto. Ahora establecer\u00edamos una relaci\u00f3n de equivalencia entre esos lazos: dados dos cualesquiera, L y L’, se dicen equivalentes si se puede deformar uno en el otro de una manera continua (esto se manifiesta matem\u00e1ticamente como\u00a0 la existencia de una homotop\u00eda que deja fijos inicio y final y va recorriendo parametrizada de 0 a 1 una familia de lazos Lt<\/sub> tales que para t=0, L0 <\/sub>es L, y para L1<\/sub> estar\u00edamos con L\u00b4. La figura a continuaci\u00f3n nos ayudar\u00e1 a hacernos una idea intuitiva.<\/p>\n

\"\"<\/a>
En el espacio de la derecha todos los lazos son equivalentes, pero no en el de la izquierda, ya que le hemos quitado un trozo al espacio<\/figcaption><\/figure>\n

Como complemento hist\u00f3rico, digamos que la palabra homotop\u00eda fue utilizada por primera vez por el matem\u00e1tico germano-americano Max Wilhelm Dehn (famoso por haber resuelto el tercer problema de Hilbert, el primero de los 23 en ser resuelto), y el matem\u00e1tico dan\u00e9s Poul Heegaard. Dehn\u00a0 y Heegard escribieron en 1907 el primer libro sobre topolog\u00eda combinatoria.<\/p>\n

Adem\u00e1s, dos lazos se pueden multiplicar, porque basta componerlos y reparametrizarlos, y esta operaci\u00f3n es respetada por la homotop\u00eda, de manera que las clases de equivalencia de los lazos (es decir, dado un lazo consideramos todos los que son equivalentes a \u00e9l) se pueden multiplicar. Y esta operaci\u00f3n dota a la colecci\u00f3n de clases equivalentes de lazos de una estructura algebraica, de grupo precisamente. La notaci\u00f3n es esta: si X es el espacio y x el punto que consideramos, entonces<\/p>\n

<\/strong>\u03a0(X, x)<\/strong><\/p>\n

denotar\u00e1 lo que llamamos grupo fundamental de X con base el punto x<\/strong>. El elemento neutro para este grupo es la clase del lazo constante x. Un resultado importante es que este grupo es el mismo si dos espacios son homeomorfos (recordemos la definici\u00f3n en la entrada anterior). Otro es que si dos puntos cualesquiera de nuestro espacio se pueden unir por una curva, entonces los grupos fundamentales en esos puntos ser\u00e1n isomorfos (algebraicamente id\u00e9nticos).<\/p>\n

En este video se puede encontrar un curso introductorio a la topolog\u00eda algebraica en el que se explica de una manera muy gr\u00e1fica la construcci\u00f3n del grupo fundamental de un espacio<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=J7–sI4A6D0[\/youtube]<\/p>\n

Por ejemplo, si seguimos pensando en la superficie de una esfera, veremos que cualquier lazo de puede deformar al propio punto de una manera continua, as\u00ed que su grupo fundamental constar\u00e1 solo del elemento neutro. Si calculamos el grupos fundamental de un c\u00edrculo, veremos que es el grupo de los n\u00fameros enteros, ya que podemos dar vueltas en uno u otro sentido desde un punto dado, o quedarmos todo el tiempo en ese punto.<\/p>\n

La construcci\u00f3n del grupo fundamental es uno de los grandes logros matem\u00e1ticos, porque sirve para asociar un objeto algebraico (f\u00e1cil de manipular) a un objeto topol\u00f3gico (muy dif\u00edcil de controlar), y es parte de lo que se ha dado en llamar Topolog\u00eda Algebraica.<\/p>\n

El concepto se debe al gran matem\u00e1tico franc\u00e9s Henri Poincar\u00e9, qui\u00e9n lo defini\u00f3 en 1895 en su art\u00edculo \u00abAnalysis situs\u00bb (por cierto, Analysis situs era el antiguo nombre por el que se conoc\u00eda a la topolog\u00eda).<\/p>\n

\"\"<\/a>
Wilhelm Witinger<\/figcaption><\/figure>\n

Si queremos usar los grupos fundamentales para diferenciar nudos, debemos desarrollar un m\u00e9todo para calcularlos. La clave la dio el matem\u00e1tico austr\u00edaco Wilhelm Wirtinger (1865-1945). Supongamos que nuestro nudo N tiene n arcos y m cruces, y consideramos en cada cruce la llamada relaci\u00f3n de Wirtinger (que viene dada por un productos de arcos teniendo en cuenta si los cruces son positivos o negativos). Entonces Wirtinger prob\u00f3 que el grupo del nudo est\u00e1 determinado por los arcos a1<\/sub>, \u2026, an<\/sub> y las relaciones r1<\/sub>, \u2026, rm<\/sub> (t\u00e9cnicamente, es el grupo libre generado por los arcos cocientado por el menor subgrupo normal que contiene las relaciones).<\/p>\n

Otro instrumento importante para calcular grupos de nudos lo ofrece el teorema de van Kampen, que permite calcular el grupo fundamental de un espacio si se descompone adecuadamente en espacios m\u00e1s sencillos de los que conocemos su grupo fundamental. En pr\u00f3ximas entradas seguiremos escribiendo sobre este apasionante tema.<\/p>\n

___<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).<\/p>\n

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Seguimos hablando de nudos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras, y hoy nos toca hacerlo de los invariantes que se pueden asociar a un nodo y de c\u00f3mo \u00e9stos ayudan a su clasificaci\u00f3n.   La noci\u00f3n de un invariante de nudos es sencilla: se trata de una cantidad (u objeto matem\u00e1tico) que es la misma para nudos equivalentes, de manera que dos nudos que posean los mismos invariantes ser\u00edan indistinguibles desde el punto de vista de la topolog\u00eda. 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