{"id":145916,"date":"2018-11-10T12:30:22","date_gmt":"2018-11-10T11:30:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=145916"},"modified":"2018-11-10T12:30:22","modified_gmt":"2018-11-10T11:30:22","slug":"polinomios-de-nudos-o-la-historia-del-matematico-que-entraba-en-su-despacho-por-la-ventana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2018\/11\/10\/145916","title":{"rendered":"Polinomios de nudos, o la historia del matem\u00e1tico que entraba en su despacho por la ventana"},"content":{"rendered":"

El grupo de un nodo no es el \u00fanico invariante que se puede definir en teor\u00eda de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen informaci\u00f3n preciosa del nudo en cuesti\u00f3n.<\/p>\n

\"\"<\/a>
James Alexander<\/figcaption><\/figure>\n

Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander<\/strong>, ya que fue propuesto por el matem\u00e1tico norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. James Alexander form\u00f3 parte de la \u00e9lite topol\u00f3gica de Princeton (con Oswald Veblen y Solomon Lefschetz, por ejemplo) de hecho fue uno de los primeros matem\u00e1ticos contratados en el Instituto de Estudios Avanzados. Proven\u00eda de una importante familia en Princeton, y como curiosidad, diremos que su gran afici\u00f3n era el monta\u00f1ismo, escalando cimas en los Alpes franceses y suizos y en las Monta\u00f1as Rocosas. Pero esa afici\u00f3n le llev\u00f3 tambi\u00e9n a escalar a menudo los edificios del campus, y, todos en el campus conoc\u00edan que para entrar en su despacho en el \u00faltimo piso del edificio de matem\u00e1ticas (el famoso Fine Hall) prefer\u00eda la ventana y no la puerta.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
El edificio Fine Hall de Princeton, sede de su Departamento de Matem\u00e1ticas<\/figcaption><\/figure>\n

Alexander fue perseguido por sus ideas socialistas durante la caza de brujas organizada por el senador Joseph McCarthy, y desapareci\u00f3 durante los \u00faltimos a\u00f1os de su vida, sometido a reclusi\u00f3n, aunque firm\u00f3 en 1954 la carta de apoyo\u00a0 a Robert Oppenheimer.<\/p>\n

Ya hab\u00edamos comentado que Alexander, en colaboraci\u00f3n con Garland Briggs, hab\u00eda encontrado los mismos resultados que Kurt Reidemeister. De hecho, es uno de los grandes pioneros en el desarrollo de las teor\u00edas de homolog\u00eda y cohomolog\u00eda.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Nudo tr\u00e9bol<\/figcaption><\/figure>\n

Recordemos como calcul\u00f3 Alexander el polinomio de un nudo. Se considera su diagrama (orientado), tal y como explicamos en una entrada anterior; y suponemos que hay n cruces. El diagrama divide el plano en n+2 regiones, y entonces se construye lo que se llama una matriz de incidencia, que ser\u00e1 una matriz de n filas y n+2 columnas. La componente que corresponde a una regi\u00f3n y a un cruce dados ser\u00e1: 0 si la regi\u00f3n no es adyacente al cruce; en otro caso, usaremos estas reglas, teniendo en cuenta la posici\u00f3n de la regi\u00f3n vista desde el arco entrante pasando por debajo del otro arco del cruce:<\/p>\n

A la izquierda antes del cruce: -t<\/p>\n

A la derecha antes del cruce 1<\/p>\n

A la izquierda despu\u00e9s del cruce: t<\/p>\n

A la derecha despu\u00e9s del cruce: -1<\/p>\n

Se eliminan ahora las columnas (2) correspondientes a regiones adyacentes, nos queda una matriz n x n, y calculamos su determinante: ese es el polinomio de Alexander (salvo alguna renormalizaci\u00f3n).<\/p>\n

Por ejemplo, el ppolinomio de Alexander del tr\u00e9bol es<\/p>\n

t + t -1<\/sup> – 1<\/em><\/p>\n

Por cierto, en este enlace<\/a> se puede ver como construir un nudo de tr\u00e9bol. Y este video nos ense\u00f1a como calcular el Polinomio de Alexander de un nudo<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b-qKIIBrWGg[\/youtube]<\/p>\n

El polinomio de Alexander del nudo trivial (no est\u00e1 anudado) es 1, pero hay nudos no triviales que tambi\u00e9n tienen polinomio de Alexander 1, as\u00ed que no es un invariante completo.<\/p>\n

\"\"<\/a>
John Conway<\/figcaption><\/figure>\n

Unos 60 a\u00f1os del descubrimiento de Alexander, el matem\u00e1tico John Conway introdujo una nueva versi\u00f3n, creando un polinomio que se obtiene de una manera algor\u00edtmica muy sencilla. En realidad, este polinomio no era m\u00e1s que el de Alexander tras un cambio de variable, y hoy se conoce como polinomio de Alexander-Conway. Este es el polinomio de Conway del tr\u00e9bol<\/p>\n

z 2<\/sup> + 1<\/em><\/p>\n

El siguiente paso en esta historia es el llamado polinomio de Jones, en 1984, que da inicio a la llamada teor\u00eda combinatoria de nudos. Pero esa es otra historia.<\/p>\n

___<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong>\u00a0<\/strong>(CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El grupo de un nodo no es el \u00fanico invariante que se puede definir en teor\u00eda de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen informaci\u00f3n preciosa del nudo en cuesti\u00f3n. Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander, ya que fue propuesto por el matem\u00e1tico norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. 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