{"id":147028,"date":"2019-10-22T19:54:53","date_gmt":"2019-10-22T18:54:53","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147028"},"modified":"2019-11-08T18:09:22","modified_gmt":"2019-11-08T17:09:22","slug":"la-conjetura-del-girasol","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2019\/10\/22\/147028","title":{"rendered":"La conjetura del girasol"},"content":{"rendered":"

<\/strong>Los matem\u00e1ticos han mostrado siempre una gran prelidecci\u00f3n por los girasoles, no olvidemos la relaci\u00f3n entre las espirales a izquierda y derecha de sus semillas, siguiendo siempre el patr\u00f3n marcado por la sucesi\u00f3n de Fibonacci. No es pues de extra\u00f1ar que Paul Erd\u0151s y Richard Rado conjeturaran en 1960 un excitante problema sobre estas plantas, que acaba de tener un avance muy importante.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Girasol (Helianthus annuus)<\/figcaption><\/figure>\n

El problema que plantearon Erd\u00f6s y Rado preguntaba con que frecuencia uno esperar\u00eda entontrar patrones que se asemejaran a los girasoles el analizar una colecci\u00f3n muy grande de objetos. Intentaremos en los p\u00e1rrafos que siguen dar una explicaci\u00f3n m\u00e1s detallada del problema.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Paul Erd\u00f6s<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Richard Rado<\/figcaption><\/figure>\n

Primero tendremos que definir lo que los matem\u00e1ticos entendemos por un giraols: \u201cun girasol de r p\u00e9talos es una colecci\u00f3n de r conjuntos tales que la intersecci\u00f3n de cada par es igual a la intersecci\u00f3n de todos\u201d. Lo que Erd\u00f6s y Rado probaron en su d\u00eda es lo que se llama el Lema del girasol: para un r fijado, r mayor o igual que 3, cualquier familia de conjuntos de w elementos con al menos ww<\/sup> conjuntos, debe contener un girasol. Si los conjuntos son S1<\/sub>, \u2026, Sr<\/sub>, entonces la intersecci\u00f3n de todos ellos<\/p>\n

K = S1<\/sub> \u2229 \u2026 \u2229 Sr<\/sub><\/p>\n

se llama el n\u00facleo y los complementarios S1<\/sub>\\K, \u2026, Sr<\/sub>\\K son los p\u00e9talos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Un ejemplo de girasol<\/figcaption><\/figure>\n

El resultado se ve en toda su dimensi\u00f3n si pensamos que para 100 puntos necesitar\u00edamos 100100<\/sup> conjuntos, una cantidad enorme. As\u00ed que Erd\u00f6s y Rado, tras probar su lema, conjeturaron que deb\u00eda haber una cota mucho m\u00e1s baja, que deber\u00eda existir una constante c(r) tal que si el n\u00famero de conjuntos de la familia dada era mayor o igual que c(r)w<\/sup>, entonces esa familia deber\u00eda contener un girasol. Ellos pensaban que el problema era muy sencillo, pero no consiguieron probarlo, y no ha habido resultados significativos hasta este \u00faltimo de este a\u00f1o, 60 a\u00f1os despu\u00e9s de formularse la conjetura.<\/p>\n

La prueba de este resultado es interesante porque combina matem\u00e1ticas fundamentales con la teor\u00eda de la computaci\u00f3n. Los autores (Ryan Alweiss, Shachar Lovett, Kewen Wu y Jiapeng Zhang) del art\u00edculo en cuesti\u00f3n, titulado \u201cImproved bounds for the sunflower lemma<\/strong><\/a>\u201d,\u00a0 combinaron sus experiencias en ambos campos, y mediante el uso de las llamadas funciones booleanas, consiguieron encontrar una cota satisfactoria; basta con (log w)w <\/sup>para garantizar un girasol.<\/p>\n

Recordemos que una funci\u00f3n booleana lleva palabras (codificadas con ceros y unos) en un 0 o en un 1; es decir, funciones f: Bn<\/sup>\u00a0\u2192 B, donde B = {0, 1}.<\/p>\n

Si alguien se pregunta qu\u00e9 inter\u00e9s puede tener un problema como este para el resto de la humanidad que no se dedica a las matem\u00e1ticas, decirle que este es doble. Por una parte, es una muestra de c\u00f3mo cuando aumentamos los datos, aparecen como venidos de la nada patrones; y por otra, es un mestizaje entre matem\u00e1ticas y computaci\u00f3n, que muestra como esta \u00faltima descansa precisamente en los fundamentos de las matem\u00e1ticas m\u00e1s abstractas.<\/p>\n

En este video, podemos asistir a una conferencia sobre el tema impartida por uno de los autores del citado art\u00edculo Jiapeng Zhang, de la Universidad de Harvard:<\/p>\n

[youtube]https:\/\/youtu.be\/DvIO_Po6kfs[\/youtube]<\/p>\n

Diremos finalmente que este problema es el objeto del proyecto Polymath n\u00famero 10: Improving the bounds for the Erdos-Rado sunflower lemma<\/strong><\/a>, puesto en marcha el 2 de noviembre de 2015.<\/p>\n

___<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Los matem\u00e1ticos han mostrado siempre una gran prelidecci\u00f3n por los girasoles, no olvidemos la relaci\u00f3n entre las espirales a izquierda y derecha de sus semillas, siguiendo siempre el patr\u00f3n marcado por la sucesi\u00f3n de Fibonacci. No es pues de extra\u00f1ar que Paul Erd\u0151s y Richard Rado conjeturaran en 1960 un excitante problema sobre estas plantas, que acaba de tener un avance muy importante. El problema que plantearon Erd\u00f6s y Rado preguntaba con que frecuencia uno esperar\u00eda entontrar patrones que se asemejaran a los girasoles el analizar una colecci\u00f3n muy grande de objetos. 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