{"id":147396,"date":"2020-02-29T21:08:50","date_gmt":"2020-02-29T20:08:50","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147396"},"modified":"2020-02-29T21:08:50","modified_gmt":"2020-02-29T20:08:50","slug":"los-multiples-usos-practicos-de-los-polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/02\/29\/147396","title":{"rendered":"Los m\u00faltiples usos pr\u00e1cticos de los polinomios"},"content":{"rendered":"

Hace unas semanas publicamos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras una entrada titulada: \u00bfPara qu\u00e9 sirven las ra\u00edces cuadradas?<\/strong><\/a> En la que se argumentaba sobre sus razones e importancia. Son muchos los temas que se estudian en matem\u00e1ticas en Secundaria, y no siempre sabemos el porqu\u00e9 de su relevancia y su utilidad. Vamos a dedicarnos hoy a hablar de polinomios, entes matem\u00e1ticos muy apreciados en el colegio.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Gr\u00e1fica de un polinomio de grado 7<\/figcaption><\/figure>\n

Recordemos que un polinomio en una variable x es una expresi\u00f3n algebraica que consta de una suma de productos de constantes y potencias de la variable x; cada uno de estos sumandos es un monomio. Puesto que tenemos varios monomios, de ah\u00ed la terminolog\u00eda de polinomio. Y podemos considerar polinomios con varias variables, no solo con una. En cualquier caso, los polinomios se pueden sumar, multiplicar y hasta dividir, y una de las m\u00e1s famosas construcciones es la regla de Ruffini.<\/p>\n

Esta, por ejemplo, es una expresi\u00f3n gen\u00e9rica de un polinomio de grado n y de una sola variable<\/p>\n

f(x) = an<\/sub> xn <\/sup>+ an-1 <\/sub>xn-1<\/sup> + \u2026 + a1<\/sub> x + a0<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0 <\/em>(*)<\/p>\n

donde a0 <\/sub><\/em>, a1, <\/sub><\/em>\u2026, an-1<\/sub> , an<\/sub> <\/em>son coeficientes reales.<\/p>\n

Por supuesto, cuando tenemos un polinomio como este podemos pensar en calcular sus ra\u00edces, es decir las soluciones de la ecuaci\u00f3n<\/p>\n

f(x) = 0,<\/em><\/p>\n

y el Teorema Fundamental del \u00c1lgebra (probado originalmente por Gauss) nos dice que este polinomio tendr\u00e1 n soluciones.<\/p>\n

A una expresi\u00f3n como la de arriba (*) la vamos a denominar una funci\u00f3n polin\u00f3mica. Se pueden representar gr\u00e1ficamente, y se usan en muchos problemas de econom\u00eda y de ingenier\u00eda. En econom\u00eda aparecen por ejemplo para modelizar los mercados, mostrando como los precios var\u00edan con el tiempo; o como subir o bajar el precio de un producto repercute en sus ventas; o tambi\u00e9n en el c\u00e1lculo de impuestos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Dise\u00f1ando una monta\u00f1a rusa con polinomios<\/figcaption><\/figure>\n

En Ingenier\u00eda forestal, por ejemplo, necesitamos la geometr\u00eda para calcular \u00e1reas, pero tambi\u00e9n los polinomios en problemas como calcular cu\u00e1ntos \u00e1rboles necesitamos replantar despu\u00e9s de haber talado una zona de un bosque.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Otros usos de los polinomios es el c\u00e1lculo de la trayectoria de proyectiles (son trayectorias parab\u00f3licas), o en el c\u00e1lculo de \u00f3rbitas de sat\u00e9lites o cohetes. Recordemos que las c\u00f3nicas se pueden expresar de manera algebraica como polinomios de segundo grado en dos variables.<\/p>\n

Tambi\u00e9n aparecen cuando expresamos matem\u00e1ticamente las leyes elementales de la f\u00edsica o de la qu\u00edmica, de manera que su conocimiento facilitar\u00e1 sin duda el estudio de estas materias. Pero tambi\u00e9n aparecen en el c\u00e1lculo de la demanda de electricidad o de los niveles de agua de un embalse.<\/p>\n

En Estad\u00edstica, las rectas de regresi\u00f3n se expresan (como todas las rectas) con una ecuaci\u00f3n de primer grado; estas rectas nos permiten ver como se ajustan los datos conseguidos. Y tambi\u00e9n pueden ser polinomios con m\u00e1s de una variable, como ocurre en la regresi\u00f3n lineal m\u00faltiple. El uso de polinomios en el \u00e1rea de la salud es amplio, desde el c\u00e1lculo de las dosis m\u00e1s adecuadas de un medicamento, o el peso de un paciente enfermo en funci\u00f3n del tiempo. Por poner solo un ejemplo, si queremos modelizar el ritmo circadiano en pacientes con hipertensi\u00f3n, buscamos la curva que mejor se adaapte a nuestros datos, en este caso un polinomio de grado cuatro, lo que nos permite optimizar las dosis del medicamento contra la hipertensi\u00f3n.<\/p>\n

Uno de los usos de las funciones polin\u00f3micas es para aproximar curvas m\u00e1s complejas, ya que el Teorema de Weierstrass asegura que los polinomios son densos en el espacio de funciones con ciertas condiciones de compacidad. Y obviamente, es mucho m\u00e1s sencillo trabajar con polinomios. Sabemos adem\u00e1s que las funciones trigom\u00e9tricas (y en realidad cualquier funci\u00f3n) se puede expresar como una serie de potencias, con desarrollos de Taylor, cuya expresi\u00f3n es la de un polinomio \u201cinfinito\u201d.<\/p>\n

Si nos vamos a las aplicaciones en otros problemas matem\u00e1ticos, otro uso de los polinomios sobre el que hemos hablado en varias entradas previas es en la clasificaci\u00f3n de nudos, como el polinomio de Alexander, el de Conway o el de Jones, que son invariantes topol\u00f3gicos. Su relaci\u00f3n con la biolog\u00eda y la f\u00edsica te\u00f3rica ya se describi\u00f3 en esas entradas.<\/p>\n

Y recientemente se han encontrado aplicaciones insospechadas a problemas de combinatoria, como por ejemplo el problema de las distancias distintas dados n<\/em> puntos en el palno, planteado por Paul Erd\u00f6s en 1946.<\/p>\n

Finalmente, las curvas el\u00edpticas son usadas en criptograf\u00eda, y no son m\u00e1s que expresiones polin\u00f3micas en dos variables tal y como muestran estos dos ejemplos:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Curvas el\u00edpticas<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Sirva este breve texto para que se vea la importancia del estudio de los polinomios, que no son\u00a0 una imposici\u00f3n gratuita en la ense\u00f1anza secundaria.<\/p>\n

___<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hace unas semanas publicamos en Matem\u00e1ticas y sus fronteras una entrada titulada: \u00bfPara qu\u00e9 sirven las ra\u00edces cuadradas? En la que se argumentaba sobre sus razones e importancia. Son muchos los temas que se estudian en matem\u00e1ticas en Secundaria, y no siempre sabemos el porqu\u00e9 de su relevancia y su utilidad. 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