{"id":147534,"date":"2020-03-28T19:27:22","date_gmt":"2020-03-28T18:27:22","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147534"},"modified":"2020-04-05T07:56:06","modified_gmt":"2020-04-05T06:56:06","slug":"las-matematicas-del-coronavirus-covid-19","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/03\/28\/147534","title":{"rendered":"Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19"},"content":{"rendered":"

La historia se repite<\/strong><\/p>\n

A lo largo de la historia, la humanidad ha afrontado epidemias de diversas magnitudes, algunas devastadoras, como la llamada plaga de Atenas<\/em>, en el a\u00f1o 430 a.C., en plena Segunda Guerra del Peloponeso. No se conoce la naturaleza de la plaga, pero seg\u00fan el historiador Tuc\u00eddides, que la contrajo y sobrevivi\u00f3, la ciudad de Pericles tard\u00f3 50 a\u00f1os en recuperarse y, durante esa \u00e9poca, la desesperanza fue tal que sus habitantes perdieron la fe en los dioses y en las leyes ante una inminente muerte. Seg\u00fan Tuc\u00eddides, la plaga vino de Etiop\u00eda y pas\u00f3 luego a Egipto, Libia y Grecia. Incluso los espartanos que asediaban Atenas se retiraron por el temor a la epidemia.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La peste negra<\/em> asol\u00f3 Europa y Asia en el siglo XIV, siendo probablemente la pandemia m\u00e1s terrible que ha sufrido la humanidad; su pico se produjo entre los a\u00f1os 1347 y 1353, y s\u00f3lo en Europa se registraron 25 millones de v\u00edctimas, \u00a1la tercera parte de su poblaci\u00f3n!, y entre 40 y 60 millones en \u00c1frica y Asia. Se cree que su origen fue de nuevo \u00c1frica y los c\u00e1lculos indican que se extendi\u00f3 ferozmente por Asia y Europa. Las consecuencias sociales fueron enormes y, posiblemente, fue una de las principales causas del fin de la Edad Media.<\/p>\n

Otro episodio terrible est\u00e1 asociado a la mal llamada gripe espa\u00f1ola<\/em> de 1918, que acab\u00f3 con 25 millones de vidas en todo el mundo en sus primeros seis meses (aunque algunas fuentes llegan hasta los 100 millones en total). Comenz\u00f3 en Estados Unidos, en los campamentos militares donde los soldados eran preparados antes de ser enviados a Europa durante la Primera Guerra Mundial. La gripe se extendi\u00f3 pronto a Francia, Italia y Alemania, y despu\u00e9s a Espa\u00f1a, pa\u00eds neutral que inform\u00f3 a trav\u00e9s de sus peri\u00f3dicos del tema sin censuras, al contrario de los pa\u00edses en guerra. Estudios recientes han identificado el virus causante como un virus aviar.<\/p>\n

En tiempos recientes hemos asistido a la emergencia del sida, de la gripe aviar de 2009 o del \u00e9bola, mientras que regiones enteras del planeta sufren de manera habitual desde hace d\u00e9cadas, incluso siglos, enfermedades como la malaria, el dengue o, m\u00e1s recientemente, el zika. Hemos temblado con las noticias de pandemias causadas por virus de animales, como el SARS (murci\u00e9lagos en China) y el MERS (murci\u00e9lagos en Arabia Saud\u00ed). Estos dos \u00faltimos casos son producidos por coronavirus; es decir, virus que padecen algunos animales y que, en alg\u00fan momento, sufren una mutaci\u00f3n que les permite atacar tambi\u00e9n a los humanos (a veces por una especie intermedia).<\/p>\n

En nuestros d\u00edas, conocemos al enemigo bastante mejor que los atenienses o los europeos de la Edad Media gracias, en particular, a tres grandes contribuciones de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX: la teor\u00eda germinal de las enfermedades del franc\u00e9s Louis Pasteur; la identificaci\u00f3n del virus del tabaco del ruso Dimitry Ivanovski, usando el filtro Chamberland-Pasteur; y la invenci\u00f3n del microscopio electr\u00f3nico, que desde 1931 permite fotografiar<\/em> al enemigo.<\/p>\n

Aunque el SARS-nCoV-2 (inicial y com\u00fanmente conocido como Covid-19) es un nuevo virus y nos pone ante un nuevo desaf\u00edo, no resulta totalmente desconocido por pertenecer a la familia de los coronavirus (Figura 1). No obstante, la pandemia que ha generado no s\u00f3lo tiene que ver con los aspectos biol\u00f3gicos del virus sino, quiz\u00e1 con mayor importancia, con aspectos sociales y demogr\u00e1ficos.<\/p>\n

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Figura 1: Coronavirus y sus caracter\u00edsticas esp\u00ednulas en forma de corona.<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Es verdad que las matem\u00e1ticas no curan enfermedades directamente, pero s\u00ed ayudan a explicar c\u00f3mo se extiende un c\u00e1ncer o propaga una epidemia, o a medir la efectividad de una vacuna o testar la de un medicamento. En ocasiones, las matem\u00e1ticas ayudan modestamente a comunicar mejor o incluso a simular escenarios que ayuden a la toma de decisiones. Las herramientas que est\u00e1n m\u00e1s cercanas a estos problemas son las ecuaciones diferenciales y los modelos estoc\u00e1sticos, pero tambi\u00e9n la teor\u00eda de juegos, big data,<\/em> machine learning <\/em>y, en general, el an\u00e1lisis de datos<\/em> juegan ya un papel relevante, especialmente cuando queremos incluir los aspectos de las conductas sociales.<\/p>\n

 <\/p>\n

SARS-CoV-2 y las matem\u00e1ticas<\/strong><\/p>\n

<\/strong>En estos momentos de angustia en torno al infame coronavirus, llegan voces desde distintos campos de la ciencia tratando de echar una mano para entender o mitigar la pandemia. En un mundo de biotecnolog\u00eda parece extra\u00f1o acudir a las matem\u00e1ticas para resolver los enigmas que el SARS-CoV-2 nos plantea. Esto se debe a que, normalmente, no se concibe la conexi\u00f3n entre las matem\u00e1ticas y la realidad m\u00e1s all\u00e1 de \u201ccontar con los dedos\u201d como aprendimos a hacer de ni\u00f1os.<\/p>\n

Para probar al lector que esto no es as\u00ed, seamos osados y \u00a1contemos con los dedos! Imaginemos que cuando acabe todo fu\u00e9semos capaces de determinar qui\u00e9n contagi\u00f3 a qui\u00e9n. El lector podr\u00eda ser el primer portador del virus y haber estrechado la mano o tosido delante de otras 3 personas que se contagiaron a su vez. Luego, cada una de estas tres personas habr\u00edan contagiado a otras 3 (y ya van 1+3+9) que, por avatares de la vida, habr\u00edan propagado la infecci\u00f3n a otras 3 (es f\u00e1cil contar: 1+3+9+27). Matem\u00e1ticamente, esto se conoce como progresi\u00f3n geom\u00e9trica<\/em> o, como se repite en los medios estos d\u00edas, crecimiento exponencial.<\/em> En epidemiolog\u00eda, ese n\u00famero 3 se conoce como ritmo (o factor) reproductivo b\u00e1sico<\/em>, R0<\/sub><\/em>, y representa el n\u00famero medio de contagios propagados por cada persona contagiada. Este n\u00famero tiene que ser mayor que 1 para que haya epidemia y, como parece natural, cuanto mayor es, m\u00e1s explosiva ser\u00e1 la epidemia. Por poner unos ejemplos, el sarampi\u00f3n tiene un valor R0<\/sub><\/em> entre 12 y 18, y el \u00e9bola y la gripe com\u00fan entre 2 y 3. Con R0<\/sub><\/em> no somos capaces de medir c\u00f3mo de letal es un virus, s\u00f3lo c\u00f3mo de infeccioso ha sido en una cierta poblaci\u00f3n. A partir de los datos de China, se observa que SARS-CoV-2 tiene un factor R0 <\/sub><\/em>estimado en 2,68 (aunque sospechamos que, en el caso de Italia o Espa\u00f1a, R0<\/sub><\/em> podr\u00eda ser mayor).<\/p>\n

Las medidas de higiene y distanciamiento social que sufrimos en estos d\u00edas permiten hacer decrecer R0<\/sub><\/em> y, por tanto, mitigan el impacto de la propagaci\u00f3n de SARS-CoV-2. Para cuantificar este impacto, proponemos utilizar un modelo matem\u00e1tico (y sus variantes) ya existente propuesto por el escoc\u00e9s Anderson Gray McKendrick en el a\u00f1o 1926, conocido como modelo SIR de epidemias.<\/em> Con los t\u00e9rminos SIR se hace \u00e9nfasis sobre los tres estados de un individuo ante la enfermedad \u2013 susceptible <\/em>(sano), infectado <\/em>(infeccioso con capacidad para contagiar a otros) y removido<\/em> (recuperado e inmune a nuevas infecciones, o fallecido) \u2013, as\u00ed como su evoluci\u00f3n\u00a0 S -> I -> R<\/em> en el tiempo. Los estados dan lugar a tres compartimentos<\/em> \u2013 o subpoblaciones de individuos susceptibles, infectados y removidos \u2013 que permiten clasificar a los individuos de la poblaci\u00f3n en cada instante de tiempo.<\/p>\n

En t\u00e9rminos del modelo SIR, la propagaci\u00f3n de SARS-CoV-2 est\u00e1 vinculada al sistema de ecuaciones diferenciales para las proporciones s(t)<\/em> de susceptibles, i(t)\u00a0<\/em> de infectados y r(t) <\/em> de removidos respecto al tama\u00f1o N<\/em> de la poblaci\u00f3n (que se asume constante) dado por<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

donde \u03b2<\/em> es la tasa de infecci\u00f3n y \u03b1<\/em> <\/em>es la tasa de recuperaci\u00f3n, en el supuesto de las proporciones iniciales s(0)= s0<\/sub><\/em> >0<\/em>, i(0)=1- s0<\/sub><\/em> >0<\/em> y\u00a0 r(0)=0<\/em>. En lenguaje cotidiano, la primera ecuaci\u00f3n nos dice que la velocidad<\/em> con la que decrece el n\u00famero de susceptibles es proporcional al producto s(t) i(t)<\/em>, donde este producto se puede interpretar como la probabilidad de que una persona susceptible se encuentre con una infectada y el par\u00e1metro \u03b2<\/em> mide la probabilidad de que el contagio sea exitoso. Es interesante entender que \u03b2<\/em> tiene tanto que ver con el n\u00famero promedio de \u201cencuentros\u201d entre personas susceptibles e infectadas, como con el resultado de esa infecci\u00f3n. Como discutiremos m\u00e1s adelante, esto tiene implicaciones en las pol\u00edticas de aislamiento y de higiene.<\/p>\n

Una sencilla interpretaci\u00f3n de los signos de las derivadas de\u00a0 s(t), i(t) y r(t)<\/em>, garantiza que la proporci\u00f3n de individuos susceptibles disminuir\u00e1 (s(t)\u2264 s0<\/sub><\/em>) <\/em>\u00a0hacia su valor final s<\/em>\u221e<\/sub>=\u00a0\u00a0 lim t<\/sub><\/em>\u2192\u221e<\/sub><\/em>\u2061<\/sub> s(t)<\/em>\u00a0 y la proporci\u00f3n de removidos se incrementar\u00e1 hacia un valor final r<\/em>\u221e<\/sub>=\u00a0\u00a0 lim t<\/sub><\/em>\u2192\u221e <\/sub><\/em>\u2061<\/sub>r(t)<\/em> mientras que, en ambos casos, existan individuos infectados. Por el contrario, la proporci\u00f3n de infectados aumentar\u00e1 si \u03b2s(t)>\u03b1 <\/em> \u00a0y disminuir\u00e1 si \u03b2s(t)<\u03b1<\/em>.<\/p>\n

La principal propiedad del modelo SIR, aplicado a SARS-CoV-2 o a cualquier otro pat\u00f3geno, es que la propagaci\u00f3n de la enfermedad termina con el paso del tiempo (es decir, la enfermedad es no end\u00e9mica<\/em>) ya que<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Sin embargo, hay que distinguir dos posibles comportamientos hasta que se produzca la extinci\u00f3n de la enfermedad dependiendo del factor reproductivo b\u00e1sico,<\/em> que en el modelo SIR se expresa como R0<\/sub>=<\/em>\u03b2<\/em>\u2044<\/em>\u03b1<\/em>:<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Cuando R0<\/sub><\/em> < 1 (en promedio, un individuo infectado se recupera antes de transmitir la enfermedad), la relaci\u00f3n s(t)\u22641<1\u2044R0<\/sub><\/em> garantiza que la proporci\u00f3n de infectados disminuye desde el primer momento (i(t)\u22641-s0<\/sub>)<\/em> y la enfermedad desaparece con rapidez. En tal caso, la m\u00e1xima proporci\u00f3n de infectados durante un episodio de la enfermedad se observa en el instante inicial, imax<\/sub>=1-s0<\/sub><\/em>.<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Cuando R0<\/sub><\/em> > 1 (en promedio, un individuo infectado transmite la enfermedad antes de recuperarse), la proporci\u00f3n de infectados podr\u00eda decrecer desde el primer momento (i(t)\u22641-s0<\/sub>)<\/em>\u00a0si s0<\/sub> < 1\/R0<\/sub><\/em><\/em>, mientras que podr\u00eda aumentar inicialmente hasta la m\u00e1xima proporci\u00f3n<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

y luego decrecer hasta la extinci\u00f3n cuando s0<\/sub> > 1\/R0<\/sub><\/em><\/em>. En este segundo caso, tiene sentido hablar de epidemia y el pico de la infecci\u00f3n<\/em> se alcanza cuando la proporci\u00f3n de susceptibles coincide con el umbral cr\u00edtico \u03b1\/\u03b2, <\/em>es decir, en el instante de tiempo tmax <\/sub><\/em>> 0 que verifica s(tmax<\/sub>)<\/em> = 1\/R0<\/sub><\/em><\/em>. Como mencionamos con anterioridad, el coronavirus SARS-CoV-2 tiene un valor de R0<\/sub><\/em><\/em>\u00a0pr\u00f3ximo a 2,68, por lo que si toda la poblaci\u00f3n fuese susceptible al virus (\u00e9sto no sabemos si es as\u00ed a d\u00eda de hoy), el virus podr\u00eda infectar simult\u00e1neamente a casi un cuarto de la poblaci\u00f3n si no aplicamos ninguna medida de precauci\u00f3n o control.<\/p>\n

La magnitud de\u00a0 imax\u00a0 <\/sub><\/em>\u2013 peque\u00f1a o grande \u2013 es fundamental para determinar si los recursos sanitarios son suficientes o no ante la propagaci\u00f3n de SARS-CoV-2. Para ello, basta traducir la capacidad del sistema sanitario en t\u00e9rminos de un n\u00famero i* <\/em>que refleje sus limitaciones (por ejemplo, en t\u00e9rminos de la proporci\u00f3n de camas hospitalarias en UCI disponibles para atender a una poblaci\u00f3n de \u00a0individuos), y concluir que los recursos son suficientes si se tiene\u00a0 imax <\/sub>\u00a0\u2264 i*<\/em> o, por el contrario, son insuficientes cuando imax\u00a0 <\/sub>> i*<\/em>.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 hacer si se prev\u00e9 que los recursos sanitarios no ser\u00e1n suficientes?<\/strong><\/p>\n

Para entender c\u00f3mo podemos revertir<\/em> una situaci\u00f3n de alarma, imax\u00a0 <\/sub>> i*<\/em>, en otra aceptable, imax <\/sub>\u00a0\u2264 i*<\/em>, es importante hablar de dos conceptos y la relaci\u00f3n entre ellos:<\/p>\n

    \n
  1. La velocidad exponencial de crecimiento<\/li>\n
  2. Las medidas de contingencia<\/li>\n<\/ol>\n

    Para complementar nuestros comentarios sobre R0<\/sub><\/em> y la noci\u00f3n de velocidad exponencial de crecimiento de una epidemia, nos fijamos en la proporci\u00f3n j(t) = i(t) + r(t)<\/em> de individuos afectados por la enfermedad hasta el instante t<\/em> (si se estuviesen realizando tests masivamente en la poblaci\u00f3n, esta proporci\u00f3n deber\u00eda coincidir con los datos que aparecen en los medios asociada a los \u201ccasos confirmados\u201d); a partir de esta proporci\u00f3n, podemos estimar el n\u00famero acumulado de fallecidos, dado por \u03c1Nj(t)<\/em>, donde \u03c1<\/em>\u00a0es el \u00edndice de letalidad de la enfermedad. En concreto, el valor \u03c1<\/em>=0,023 estimado en China refleja que el porcentaje de fallecidos entre los afectados por SARS-CoV-2 es el 2,3%. Matem\u00e1ticamente, se puede encontrar una expresi\u00f3n expl\u00edcita para la fracci\u00f3n de afectados:<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    que muestra que la proporci\u00f3n j(t)<\/em> es inversamente proporcional a e–<\/sup><\/em>\u03b2<\/sup><\/em>t<\/sup><\/em><\/em>, de manera que el n\u00famero acumulado de afectados Nj(t)<\/em> se incrementar\u00e1 a la misma velocidad que el valor de e–<\/sup><\/em>\u03b2<\/sup><\/em>t<\/sup><\/em><\/em>\u00a0decrezca cuando el tiempo t<\/em> se incremente.<\/p>\n

    Como j(t)<\/em> es una funci\u00f3n creciente del tiempo y sus valores m\u00ednimo y m\u00e1ximo son 1-s0 <\/sub><\/em>(en el instante de aparici\u00f3n del pat\u00f3geno) y 1-s<\/em>\u221e<\/sub><\/em> (en el instante de extinci\u00f3n), con 0 < 1-s0<\/sub> < 1-s<\/em>\u221e<\/sub><\/em> \u2264 1<\/em> , su crecimiento no es siempre del mismo tipo. En concreto, existir\u00e1 un intervalo de tiempo donde la velocidad del crecimiento<\/em> de j(t)<\/em> aumenta hasta alcanzar su valor m\u00e1ximo. Para determinar ese intervalo, traducimos la velocidad de crecimiento de j(t)<\/em>\u00a0en t\u00e9rminos de su derivada<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    y determinamos su valor m\u00e1ximo como funci\u00f3n de j(t)<\/em>, dentro del rango 1-s0<\/sub> <\/em><\/em> \u2264 j(t)\u00a0<\/em>\u2264 <\/em>1 . Desde la Figura 2 es sencillo llegar a la conclusi\u00f3n de que la m\u00e1xima velocidad de crecimiento se alcanzar\u00e1 cuando j(t) = 1\/2<\/em> y lo habr\u00e1 hecho en un instante de tiempo antes del cual la velocidad de crecimiento crece hasta su valor m\u00e1ximo \u03b2\/4<\/em>\u00a0 y, despu\u00e9s del cual, la velocidad comienza a decrecer progresivamente.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Figura 2: La velocidad de crecimiento de j(t)<\/em><\/em> (es decir, dj(t)<\/em>\/dt<\/em>) como funci\u00f3n de j(t)<\/em>.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Desde lo anterior, es claro que la curva del n\u00famero acumulado de afectados \u00a0por SARS-CoV-2 no se suavizar\u00e1 hasta que el 50% de la poblaci\u00f3n no se haya visto afectada por la epidemia, siempre que la epidemia no se haya extinguido antes.<\/p>\n

    En el supuesto de que SARS-CoV-2 siga propag\u00e1ndose, \u00bfc\u00f3mo podemos suavizar la curva del n\u00famero acumulado de afectados? La respuesta se encuentra entre nuestras observaciones anteriores:<\/p>\n

    Minimizando el valor m\u00e1ximo <\/em><\/strong>\u03b2\/4<\/em> de la velocidad de crecimiento<\/em><\/strong>.<\/p>\n

    Eso significa \u201cdisminuir la tasa de contacto entre individuos\u201d<\/em><\/strong> para hacer posible disminuir la tasa de transmisi\u00f3n \u03b2,<\/em> en el mismo sentido que el factor reproductivo b\u00e1sico R0<\/sub><\/em>. En este punto, toman sentido las medidas de distanciamiento social, as\u00ed como medidas profil\u00e1cticas (uso de guantes, mascarillas, lavado de manos) dictadas por los Gobiernos de los pa\u00edses afectados por SARS-CoV-2.<\/p>\n

    Pongamos un ejemplo para poner de manifiesto las repercusiones de una medida de contingencia, como el distanciamiento forzoso de los ciudadanos, ante la enfermedad Covid-19 asumiendo que el valor R0<\/sub><\/em> = 2,68 del factor reproductivo \u2013 publicado en la revista cient\u00edfica Lancet<\/em>\u2013 es correcto; en ese caso, la tasa de contagio estimada es\u00a0 \u03b2 <\/em>= 0,19 d\u00edas -1<\/sup><\/em> y el tiempo medio de transmisi\u00f3n es, aproximadamente, 1\/\u03b2<\/em>= 5,26 d\u00edas<\/em>. Tomemos cuatro escenarios:<\/p>\n

    l\u00a0 Escenario 1:<\/em> Sin medidas de contingencia<\/em>. Representa la propagaci\u00f3n de SARS-CoV-2 sin medidas de control, es decir, \u00a0\u03b2 <\/em>= 0,19 d\u00edas -1<\/sup><\/em> y R0<\/sub><\/em> = 2,68.<\/p>\n

    l\u00a0 Escenario 2: Medidas de contingencia leves. <\/em>Se ponen en pr\u00e1ctica medidas de control de baja intensidad (\u03b2’ = 90%\u00a0 \u03b2<\/em><\/em>) que conducen a R0<\/sub><\/em> = 2,39.<\/p>\n

    l\u00a0 Escenario 3: Medidas de contingencia moderadas. <\/em>Se ponen en pr\u00e1ctica medidas de control de intensidad media (\u03b2\u00bb= 80%\u00a0 \u03b2<\/em><\/em>)\u00a0 que conducen a R0<\/sub><\/em> = 2,13.<\/p>\n

    l\u00a0 Escenario 4: Medidas de contingencia severas. <\/em>Se ponen en pr\u00e1ctica medidas de control de alta intensidad (\u03b2\u00bb’= 50%\u00a0 \u03b2<\/em><\/em>))\u00a0 que conducen a R0<\/sub><\/em> = 1,33.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Figura 3: Variaci\u00f3n de la proporci\u00f3n de infectados i(t)<\/em> en funci\u00f3n de la intensidad de las medidas de contingencia.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Figura 4: Variaci\u00f3n de la proporci\u00f3n de individuos afectados j(t)<\/em> en funci\u00f3n de la intensidad de las medidas de contingencia.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Figura 5: Tiempo transcurrido hasta alcanzar el pico de infecci\u00f3n\u00a0 tmax<\/sub><\/em> \u00a0 y proporci\u00f3n m\u00e1xima de individuos simult\u00e1neamente infectados\u00a0 imax<\/sub><\/em> en funci\u00f3n de la intensidad de las medidas de contingencia.<\/p>\n

    Observando detenidamente las Figuras 3 y 5, es claro que el pico de infecci\u00f3n, en t\u00e9rminos de la m\u00e1xima proporci\u00f3n imax<\/sub><\/em> de infectados, disminuye a la vez que el instante tmax<\/sub><\/em>\u00a0de ocurrencia del pico de infecci\u00f3n se incrementa cuando se ejecutan medidas de control m\u00e1s severas; en tal caso, una adecuada especificaci\u00f3n del umbral i*<\/em>\u00a0 de capacidad l\u00edmite de los recursos sanitarios permitir\u00e1 definir medidas de contingencia concretas, sin que resulten ser excesivas para los ciudadanos. El incremento del n\u00famero de d\u00edas desde el inicio de los contagios hasta alcanzar el pico de infecci\u00f3n tambi\u00e9n permite dar cabida al desarrollo de tratamientos paliativos (antivirales) y acercarnos a la fecha en la que una vacuna pueda estar disponible y ayude a poner fin definitivamente a la epidemia.<\/p>\n

    Adem\u00e1s, la imposici\u00f3n de medidas de contingencia m\u00e1s restrictivas hace que la franja [1-s0<\/sub>,1-s\u221e<\/sub>]\u00a0 <\/em>de variaci\u00f3n de la proporci\u00f3n de individuos afectados j(t)<\/em> en la Figura 4 se contraiga<\/em>, al decrecer su valor l\u00edmite 1-s\u221e<\/sub><\/em>, lo cual permitir\u00e1 disminuir el impacto de la enfermedad, medido en t\u00e9rminos del n\u00famero de individuos que se ver\u00e1n afectados.<\/p>\n

    Es importante observar que la tasa de recuperaci\u00f3n \u03b1<\/em>\u00a0se ha mantenido constante en el ejemplo, reflejando que no existe tratamiento espec\u00edfico o vacuna que permite mejorar el tiempo medio de recuperaci\u00f3n. Por ello, todos los esfuerzos de lucha frente a SARS-CoV-2 est\u00e1n orientados hacia la disminuci\u00f3n de la tasa de contagio \u03b2<\/em>.<\/p>\n

     <\/p>\n

    El modelo y sus limitaciones<\/strong><\/p>\n

    No queremos enga\u00f1ar al lector: el modelo SIR es un modelo inicial \u2013 la comunidad\u00a0 cient\u00edfica anglosajona usa el t\u00e9rmino toy model<\/em> para referirse a un modelo de partida que progresivamente es mejorado \u2013 y nuestro anterior ejemplo es ideal. Con seguridad, ambos estar\u00e1n muy alejados de una realidad que, por ahora y hasta que la pandemia de SARS-CoV-2 se estabilice, no conoceremos con detalle. En ese momento, las estimaciones de las tasas de contagio y de recuperaci\u00f3n ser\u00e1n m\u00e1s precisas y el modelo se ver\u00e1 seriamente modificado por la necesidad o no de distinguir entre susceptibles, infectados-asintom\u00e1ticos, infectados-sintom\u00e1ticos, recuperados-infecciosos y recuperados (incluyendo a los fallecidos) si se confirman los diferentes indicios epidemiol\u00f3gicos en ese sentido. Incluso el modelo podr\u00eda ser estructurado por edades y patolog\u00edas previas para reflejar diferentes niveles de letalidad de la enfermedad, e incluso modificado cuando una vacuna efectiva sea conocida. Otros caminos no tan evidentes y que merecen ser explorados consistir\u00edan\u00a0en asumir que los par\u00e1metros del modelo son cambiantes (debido a medidas pol\u00edticas, al temor de los ciudadanos frente a las noticias, …). O, por poner otro ejemplo, la suposici\u00f3n de que el contagio es proporcional a s(t) i(t)<\/em> deber\u00eda modificarse para reflejar la compleja red social de contactos; en particular, se sabe que la mayor\u00eda de los ciudadanos se mueven en c\u00edrculos de contactos peque\u00f1os, pero algunos individuos, llamados superpropagadores<\/em>, son capaces de llevar la enfermedad de una ciudad a otra o, como en el caso de SARS-CoV-2, de un continente a otro.<\/p>\n

    No nos cabe ninguna duda de que, para conseguir un modelo predictivo suficientemente preciso para el estudio de SARS-CoV-2, ser\u00e1 necesario realizar un esfuerzo multidisplicinar entre epidemi\u00f3logos, inmun\u00f3logos, neum\u00f3logos, bioestad\u00edsticos y matem\u00e1ticos, entre otros. Desde el lado de las matem\u00e1ticas <\/a>y, en general, de todas las ramas de la ciencia<\/a>, ya existen algunas iniciativas para desarrollar modelos m\u00e1s precisos que permitan evaluar cuantitativamente el impacto de estas medidas.<\/p>\n

    Hasta ese momento, los autores esperan haber convencido al lector \u2013 inclinado o no hacia las matem\u00e1ticas- de la importancia de esforzarnos en hacer disminuir la tasa de contagio \u03b2<\/em>, es decir, de respetar el consejo<\/p>\n

    \u00a1Qu\u00e9date en casa!<\/em><\/strong><\/p>\n

    \u00a0—<\/strong><\/p>\n

    Mario Castro Ponce<\/strong> (Universidad Pontificia Comillas), <\/em>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas CSIC<\/em>, Real Academia de Ciencias) y Antonio G\u00f3mez Corral<\/strong> (Universidad Complutense de Madrid)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    La historia se repite A lo largo de la historia, la humanidad ha afrontado epidemias de diversas magnitudes, algunas devastadoras, como la llamada plaga de Atenas, en el a\u00f1o 430 a.C., en plena Segunda Guerra del Peloponeso. No se conoce la naturaleza de la plaga, pero seg\u00fan el historiador Tuc\u00eddides, que la contrajo y sobrevivi\u00f3, la ciudad de Pericles tard\u00f3 50 a\u00f1os en recuperarse y, durante esa \u00e9poca, la desesperanza fue tal que sus habitantes perdieron la fe en los dioses y en las leyes ante una inminente muerte. Seg\u00fan Tuc\u00eddides, la plaga vino de Etiop\u00eda y pas\u00f3 luego a\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[31274],"tags":[19124,45562,42891],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nLas matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19 - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/03\/28\/147534\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19 - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"La historia se repite A lo largo de la historia, la humanidad ha afrontado epidemias de diversas magnitudes, algunas devastadoras, como la llamada plaga de Atenas, en el a\u00f1o 430 a.C., en plena Segunda Guerra del Peloponeso. 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