{"id":147600,"date":"2020-04-07T08:28:16","date_gmt":"2020-04-07T07:28:16","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147600"},"modified":"2020-04-07T10:04:01","modified_gmt":"2020-04-07T09:04:01","slug":"las-matematicas-contra-la-malaria-y-el-modelo-sir","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/07\/147600","title":{"rendered":"Las matem\u00e1ticas contra la malaria y el modelo SIR"},"content":{"rendered":"

<\/strong>This day relenting God
\nHath placed within my hand
\nA wondrous thing; and God
\nBe praised. At His command,
\nSeeking His secret deeds
\nWith tears and toiling breath,
\nI find thy cunning seeds,
\nO million-murdering Death.
\nI know this little thing
\nA myriad men will save.
\nO Death, where is thy sting?
\nThy victory, O Grave?<\/p>\n

Poema de Ronald Ross para celebrar su descubrimiento<\/strong><\/p><\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En nuestra entrada Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19<\/em><\/a> presentamos el modelo SIR de epidemias como un modelo sencillo para dar sentido a los t\u00e9rminos \u201cpico de infecci\u00f3n\u201d, \u201ccrecimiento exponencial\u201d y \u201caplanar la curva\u201d que venimos oyendo en los medios desde el inicio de la pandemia. Desde su introducci\u00f3n, el modelo SIR ha generado un enorme inter\u00e9s por sus numerosas aplicaciones y por ser el origen de otros modelos m\u00e1s sofisticados; en concreto, una de sus evoluciones, el modelo SEIR, est\u00e1 siendo parte importante en la lucha contra Covid-19. En esta entrada queremos recordar a dos cient\u00edficos, sir<\/em> Ronald Ross y Anderson Gray McKendrick, por ser los precursores del uso de los modelos matem\u00e1ticos, tanto deterministas<\/em> como estoc\u00e1sticos<\/em>, en la lucha contra otro implacable enemigo de la humanidad, la malaria.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Ronald Ross<\/figcaption><\/figure>\n

Ronald Ross (Almora, 1857 \u2013 Londres, 1932) estudi\u00f3 Medicina en Londres y entr\u00f3 a formar parte del Servicio M\u00e9dico Indio en 1881, ampliando su formaci\u00f3n m\u00e9dica en Salud P\u00fablica y Bacteriolog\u00eda, una nueva ciencia creada por el qu\u00edmico y bacteri\u00f3logo franc\u00e9s Louis Pasteur y el m\u00e9dico y microbi\u00f3logo alem\u00e1n Heinrich Hermenn Robert Kock. En 1894 conoci\u00f3 al f\u00edsico y especialista en medicina tropical escoc\u00e9s Patrik Manson, quien mostr\u00f3 a Ronald Ross bajo el microscopio c\u00f3mo la sangre de los infectados por malaria conten\u00eda par\u00e1sitos y le sugiri\u00f3 que los par\u00e1sitos pod\u00edan provenir de los mosquitos, al igual que las infecciones por filariasis<\/em> observadas por Patrik Manson en China. Entre 1895 y 1898, Ronald Ross investig\u00f3 la propagaci\u00f3n de la malaria, identific\u00f3 el ciclo de vida del par\u00e1sito en p\u00e1jaros (\u00a1no en humanos!) y mostr\u00f3 el rol de los mosquitos del g\u00e9nero anopheles<\/em> como vector de transmisi\u00f3n<\/em> de la enfermedad. Estas investigaciones fueron el motivo para que ser galardonado con el Premio Nobel de Fisiolog\u00eda (o Medicina) en 1902.<\/p>\n

A pesar de estar convencido de que no era necesario aniquilar a todos los mosquitos anopheles<\/em> para erradicar la malaria, no fue hasta el a\u00f1o 1911 cuando Ronald Ross demostr\u00f3, mediante el uso de un modelo determinista, que una reducci\u00f3n parcial de la poblaci\u00f3n de mosquitos resultar\u00eda suficiente para hacer desaparecer la malaria entre los humanos. La idea fundamental fue la construcci\u00f3n de un sistema de dos ecuaciones diferenciales para el n\u00famero H(t)<\/em> y M(t) <\/em>de humanos y de mosquitos infectados de malaria en un instante de tiempo t<\/em>, y el estudio de condiciones para asegurar la existencia de, al menos, un punto de equilibrio;<\/em> es decir, un par (a,b)<\/em> que permite cuantificar como nula la variabilidad de H(t)<\/em> y M(t) <\/em>mediante sus derivadas, dH(t)\/dt =0<\/em> y dM(t)\/dt=0, <\/em>cuando (H(t),M(t))=(a,b)<\/em>. Ronald Ross demostr\u00f3 que, cuando el n\u00famero de mosquitos infectados por la malaria es inferior a un cierto umbral cr\u00edtico<\/em> M\u2019<\/em>, la malaria en las poblaciones de humanos y de mosquitos desaparecer\u00eda con el paso del tiempo debido a que (H(t),M(t))=(0,0) <\/em>ser\u00eda el \u00fanico punto de equilibrio, quedando mostrado que el combate contra la malaria no necesariamente implicaba el exterminio del mosquito anopheles<\/em>.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Anderson McKendrick<\/figcaption><\/figure>\n

El militar escoc\u00e9s Anderson Gray McKendrick (Edimburgo, 1876 \u2013 Cambridge, 1943) es considerado el pionero del uso de herramientas estoc\u00e1sticas en la propagaci\u00f3n de enfermedades infecciosas gracias a la publicaci\u00f3n, en el a\u00f1o 1926, del art\u00edculo \u201cApplications of Mathematics to medical problems\u201d,<\/em> que contiene resultados de gran relevancia matem\u00e1tica, como la ecuaci\u00f3n en derivadas parciales de McKendrick-Von Foerster. En ese mismo art\u00edculo, un modelo de epidemias y crecimiento de poblaciones pas\u00f3 desapercibido hasta que, en el a\u00f1o 1939, fuera redescubierto por William Feller. El modelo es hoy conocido con las siglas SIR aludiendo a los tres compartimentos<\/em> o subpoblaciones en que los individuos de una poblaci\u00f3n de tama\u00f1o N <\/em>constante son clasificados seg\u00fan su estado \u2013 S, susceptible; I, infectado; R, resistente \u2013 ante una enfermedad, y la evoluci\u00f3n del estado del individuo (S–>I–>R) a lo largo de la epidemia.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Mosquito anopheles, transmisor de la malaria<\/figcaption><\/figure>\n

Inspirado por el trabajo de Ronald Ross, con quien viaj\u00f3 a combatir la malaria en Sierra Leona, Anderson Gray McKendrick dedujo un sistema de ecuaciones diferenciales para las probabilidades Pi,r (t)<\/em> de que, en el instante t<\/em>, la poblaci\u00f3n est\u00e9 compuesta de i,<\/em> r <\/em>y s=N-i-r <\/em>individuos infectados, resistentes y susceptibles, respectivamente, para cualesquiera valores (i,r) <\/em>verificando i+r=1,\u2026,N<\/em>. En 1927, Anderson Gray McKendrick inici\u00f3 una fruct\u00edfera colaboraci\u00f3n cient\u00edfica con el bioqu\u00edmico escoc\u00e9s William Ogilvy Kermack, que dar\u00eda lugar a una teor\u00eda general hoy conocida como teor\u00eda de Kermack-McKendrick<\/em> sobre la propagaci\u00f3n de enfermedades infecciosas.<\/p>\n

El lector de este blog debe observar una diferencia esencial entre los modelos de Ronald Ross y Anderson Gray McKendrick: el sistema de ecuaciones diferenciales de Anderson Gray McKendrick se refiere a la ley de probabilidad de las variables aleatorias I(t)<\/em> y R(t)<\/em> que describen el n\u00famero de infectados y resistentes, para cada instante t <\/em>de tiempo; mientras que el sistema de ecuaciones de Ronald Ross analiza la variabilidad de los n\u00fameros H(t)<\/em> y M(t) <\/em>de humanos y de mosquitos infectados de malaria como funciones de t<\/em>. No podemos distraernos por el significado de las cantidades analizadas (o bien I(t)<\/em> y R(t), o H(t)<\/em> e M(t)<\/em>). Lo importante es distinguir entre la naturaleza estoc\u00e1stica del modelo SIR de Anderson Gray McKendrick y el car\u00e1cter determinista del modelo de Ronald Ross.<\/p>\n

A pesar de que el modelo SIR original es un modelo estoc\u00e1stico, su versi\u00f3n determinista es m\u00e1s sencilla de tratar \u2013 anal\u00edtica y num\u00e9ricamente \u2013, y resulta muy precisa cuando el tama\u00f1o N<\/em> de la poblaci\u00f3n es suficientemente grande, como es el caso tratado en nuestra entrada Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19<\/a>. <\/em> Debido a su sencillez, es la herramienta m\u00e1s utilizada por los epidemi\u00f3logos y sirve de base para generalizaciones m\u00e1s realistas como el modelo SEIR (el m\u00e1s utilizado estos dias por los cient\u00edficos) o, si finalmente no desarrollamos anticuerpos que nos protejan para una segunda \u00abola\u00bb de la epidemia, el modelo SIS.<\/span><\/p>\n

\n

\u00a0\u2014<\/strong><\/p>\n

Mario Castro Ponce<\/strong> (Universidad Pontificia Comillas), <\/em>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas CSIC<\/em>, Real Academia de Ciencias) y Antonio G\u00f3mez Corral<\/strong> (Universidad Complutense de Madrid)<\/em><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

This day relenting God Hath placed within my hand A wondrous thing; and God Be praised. At His command, Seeking His secret deeds With tears and toiling breath, I find thy cunning seeds, O million-murdering Death. I know this little thing A myriad men will save. O Death, where is thy sting? Thy victory, O Grave? Poema de Ronald Ross para celebrar su descubrimiento   En nuestra entrada Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19 presentamos el modelo SIR de epidemias como un modelo sencillo para dar sentido a los t\u00e9rminos \u201cpico de infecci\u00f3n\u201d, \u201ccrecimiento exponencial\u201d y \u201caplanar la curva\u201d que venimos\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nLas matem\u00e1ticas contra la malaria y el modelo SIR - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/07\/147600\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Las matem\u00e1ticas contra la malaria y el modelo SIR - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"This day relenting God Hath placed within my hand A wondrous thing; and God Be praised. 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