{"id":147691,"date":"2020-04-15T11:33:05","date_gmt":"2020-04-15T10:33:05","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147691"},"modified":"2020-04-15T11:35:39","modified_gmt":"2020-04-15T10:35:39","slug":"sopa-de-letras-mas-alla-del-modelo-sir-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/15\/147691","title":{"rendered":"Sopa de letras: M\u00e1s all\u00e1 del modelo SIR"},"content":{"rendered":"

<\/strong>En entradas anteriores hemos hablado del modelo SIR<\/a> y de su exitosa trayectoria desde sus or\u00edgenes<\/a>. Por eso, no es de extra\u00f1ar que un siglo despu\u00e9s siga siendo el modelo de referencia en Epidemiolog\u00eda Matem\u00e1tica. No obstante, siguiendo la m\u00e1xima pragm\u00e1tica, un modelo es tan bueno como su capacidad para ser \u00fatil. En este sentido, algunas objeciones al modelo SIR han impulsado el desarrollo de variantes que describiremos en este art\u00edculo y aproximaciones alternativas, como las variantes estoc\u00e1sticas o los modelos en \u201cred\u201d (epidemic networks<\/em>) que reservamos para futuras entradas en este blog.<\/p>\n

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Imagen por microscopio electr\u00f3nico del SARS-CoV-2 (en naranja). Fuente: National Institute of Allergy and Infectious Diseases<\/figcaption><\/figure>\n

La Biolog\u00eda no act\u00faa de manera instant\u00e1nea: el modelo SEIR<\/strong><\/p>\n

La primera objeci\u00f3n m\u00e1s frecuente es que el t\u00e9rmino de la derecha de la ecuaci\u00f3n para la evoluci\u00f3n de los susceptibles<\/p>\n

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implica indirectamente que un infectado se vuelve infeccioso instant\u00e1neamente<\/span>. Evidentemente, el virus infecta progresivamente al sujeto, aunque los s\u00edntomas s\u00f3lo se aprecian unos d\u00edas despu\u00e9s de la infecci\u00f3n. Como discutimos en\u00a0El aspecto del enemigo,<\/a> uno de los desaf\u00edos del SARS-CoV-2 es el tiempo en el que un infectado es asintom\u00e1tico, pero puede infectar a otros susceptibles. El modelo SEIR incluye un estado intermedio, E<\/em> (abreviatura de \u201cExpuestos\u201d<\/em>), que trata de simular ese periodo de latencia. No siempre los individuos etiquetados en el estado E<\/em> transmiten la enfermedad; por ejemplo, en el caso de la tuberculosis, se refiere a un estado anterior a la infecci\u00f3n activa y durante el cual los bacilos \u2013 de la especie Mycobacterium tuberculosis<\/em> \u2013 est\u00e1n en fase latente, de manera que el individuo est\u00e1 infectado pero no puede transmitir la tuberculosis a otros, pero porta bacilos latentes en su organismo que, tarde o temprano, progresar\u00e1n hacia una infecci\u00f3n activa.<\/p>\n

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Figura 1: Esquema del modelo SEIR. El estado E representa a los sujetos \u201cexpuestos\u201d a la infecci\u00f3n pero que a\u00fan no presentan s\u00edntomas.<\/figcaption><\/figure>\n
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Este modelo introduce mucha flexibilidad al incorporar dos nuevos par\u00e1metros, el tiempo de latencia, tL<\/sub><\/em>, y la probabilidad de que un sujeto asintom\u00e1tico sea infeccioso, e<\/em>. Es el m\u00e1s utilizado estos d\u00edas para hacer predicciones cuantitativas de la epidemia de coronavirus, algunas destacadas en prensa, como aquellas de los grupos de Imperial College, Oxford, o las iniciativas colectivas CEMAT<\/a> o Healthdata<\/a>.<\/p>\n

Si recuerdan de nuestras entradas anteriores, definimos el ritmo (o factor) reproductivo b\u00e1sico, R0<\/sub><\/em>, como el n\u00famero medio de contagios propagados por cada persona contagiada. Para el modelo SIR este par\u00e1metro tomaba el valor<\/p>\n

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Bajo la luz del modelo SEIR, este par\u00e1metro toma la forma<\/p>\n

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Es decir, el modelo SIR subestima R0<\/sub><\/em>. Eso son malas noticias, aunque tiene bastante sentido: los sujetos asintom\u00e1ticos siguen propagando la infecci\u00f3n, aunque no sean conscientes de ello, con probabilidad e<\/em>, y su impacto aumenta con el tiempo medio de latencia, tL<\/sub><\/em>.<\/p>\n

\u00bfEs el confinamiento o la vacunaci\u00f3n la soluci\u00f3n a nuestros problemas?<\/strong><\/p>\n

La siguiente pregunta que podemos hacernos concierne la eficacia (a nivel epidemiol\u00f3gico, no a nivel biol\u00f3gico) de vacunar a la poblaci\u00f3n. Esto se puede hacer antes del brote de la epidemia, en cuyo caso, nuestro modelo ser\u00eda id\u00e9ntico a un modelo SIR o SEIR, salvo por el hecho de que la poblaci\u00f3n susceptible ser\u00eda s\u00f3lo una fracci\u00f3n de la poblaci\u00f3n total; es decir, es necesario incorporar un nuevo estado V para aquellos individuos sobre los que la vacuna induce alg\u00fan grado de protecci\u00f3n. Otra interpretaci\u00f3n de este tipo de intervenci\u00f3n es el confinamiento que estamos sufriendo estos d\u00edas. En este escenario, los pacientes diagnosticados son hospitalizados y aislados para evitar que contagien a otros susceptibles. En tal caso, el modelo suele denominarse SITR (Figura 2).<\/p>\n

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Figura 2: Esquema del modelo SITR. Una fracci\u00f3n de los pacientes infectados es \u201ctratada\u201d (es decir, tratados cl\u00ednicamente, aislados, vacunados) o confinada de tal manera que se evita que una proporci\u00f3n de infectados infecte a otros pacientes.<\/figcaption><\/figure>\n

El estado T tambi\u00e9n puede entenderse como un modelo con cuarentena (Q, del ingl\u00e9s quarantine<\/em>) en el que los pacientes infectados diagnosticados son aislados. Este modelo tambi\u00e9n es muy vers\u00e1til porque se pueden contemplar situaciones en las que despu\u00e9s del aislamiento y durante un tiempo tA<\/sub><\/em>,\u00a0 una fracci\u00f3n \u03b4\u00a0sigue siendo infecciosa. En este caso, R0<\/sub><\/em> tomar\u00eda el valor<\/p>\n

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donde \u03b3\u00a0es inversamente proporcional al tiempo medio que se tarda en detectar a un nuevo infectado y ponerle en aislamiento. De nuevo, el modelo arroja mucha informaci\u00f3n sobre la importancia de realizar tests<\/em> a la poblaci\u00f3n (a trav\u00e9s del par\u00e1metro \u03b3) y de ser cautelosos con las altas hospitalarias hasta garantizar que los pacientes no son infecciosos (a trav\u00e9s de tA<\/sub><\/em>).<\/p>\n

Durante la epidemia del SARS-CoV-1 (el predecesor del Covid-19), algunos grupos utilizaron un modelo generalizado de \u00e9ste (\u00a1que casi contiene todas las letras del alfabeto!) llamado SEQIJR (Figura 3), que permite distinguir entre estar en cuarentena (Q) y estar aislado (J).<\/p>\n

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Figura 3: El modelo SEQIJR, un modelo con expuestos (E), pacientes en cuarentena (Q) y aislados (J).<\/figcaption><\/figure>\n

No obstante, como dice el saber popular, a veces menos es m\u00e1s y los modelos complejos (con muchas letras en su nombre) traen consigo una significativa incertidumbre en sus par\u00e1metros que puede limitar su utilidad predictiva, por lo que no siempre son \u201cmejores\u201d desde un punto de vista pr\u00e1ctico.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 pasa si no se desarrolla inmunidad perfecta?<\/strong><\/p>\n

Nuestra \u00faltima sopa de letras trata de responder a una pregunta que est\u00e1 en el aire estos d\u00edas: \u00bfqu\u00e9 pasar\u00e1 si despu\u00e9s de haber estado infectado, se puede recaer de nuevo?<\/p>\n

Para responder a esta pregunta, se ha estudiado una familia de modelos conocidos gen\u00e9ricamente como modelos \u201cend\u00e9micos\u201d, todos ellos variantes del modelo SIRS.<\/p>\n

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Figura 4: Modelo SIRS. Los recuperados pueden perder la inmunidad y volver a ser susceptible perpetuando los ciclos de epidemia\/control. La gripe estacional es un ejemplo de infecci\u00f3n \u201cend\u00e9mica\u201d.<\/figcaption><\/figure>\n

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En este caso, existe un equilibrio \u201cend\u00e9mico\u201d en el que siempre habr\u00e1 una fracci\u00f3n de la poblaci\u00f3n infectada que puede dar lugar a ciclos de epidemia que se perpet\u00faan peri\u00f3dicamente. La gripe estacional es un ejemplo de enfermedad end\u00e9mica que, gracias a la vacunaci\u00f3n masiva de sujetos susceptibles de alto riesgo, se mantiene bajo cierto control. Desgraciadamente, la gripe se cobra una factura de miles de fallecidos en Espa\u00f1a todos los a\u00f1os \u2013 y cerca del medio mill\u00f3n en todo el mundo<\/a> \u2013, por lo que no debemos minimizar el impacto de esta enfermedad tan com\u00fan y generalizada.<\/p>\n

Todos estos modelos comparten un aspecto com\u00fan: todos predicen un crecimiento exponencial y un aplanamiento de la curva. No obstante, no dejan de ser modelos simplificados y peque\u00f1os cambios en la estimaci\u00f3n de los par\u00e1metros, o una mala calidad de los datos hace muy complicado predecir el resultado final de la epidemia. No obstante, esperamos haber convencido al lector de la utilidad y versatilidad de las matem\u00e1ticas para entender las epidemias y los mecanismos de intervenci\u00f3n m\u00e1s eficaces.\u00a0 Tambi\u00e9n confiamos en que, cuando las circunstancias lo permitan, el lector pueda impresionar a amigos y parientes con esta fascinante sopa de letras que les hemos tra\u00eddo hoy.<\/p>\n

\u2014<\/strong><\/p>\n

Mario Castro Ponce<\/strong> (Universidad Pontificia Comillas), <\/em>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas CSIC<\/em>, Real Academia de Ciencias) y Antonio G\u00f3mez Corral<\/strong> (Universidad Complutense de Madrid)<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En entradas anteriores hemos hablado del modelo SIR y de su exitosa trayectoria desde sus or\u00edgenes. Por eso, no es de extra\u00f1ar que un siglo despu\u00e9s siga siendo el modelo de referencia en Epidemiolog\u00eda Matem\u00e1tica. No obstante, siguiendo la m\u00e1xima pragm\u00e1tica, un modelo es tan bueno como su capacidad para ser \u00fatil. En este sentido, algunas objeciones al modelo SIR han impulsado el desarrollo de variantes que describiremos en este art\u00edculo y aproximaciones alternativas, como las variantes estoc\u00e1sticas o los modelos en \u201cred\u201d (epidemic networks) que reservamos para futuras entradas en este blog.   La Biolog\u00eda no act\u00faa de manera\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[31274],"tags":[19124,45562,2952,42901],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nSopa de letras: M\u00e1s all\u00e1 del modelo SIR - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/15\/147691\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Sopa de letras: M\u00e1s all\u00e1 del modelo SIR - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"En entradas anteriores hemos hablado del modelo SIR y de su exitosa trayectoria desde sus or\u00edgenes. 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