{"id":147742,"date":"2020-04-23T08:21:54","date_gmt":"2020-04-23T07:21:54","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147742"},"modified":"2020-04-27T10:27:46","modified_gmt":"2020-04-27T09:27:46","slug":"el-hexagrammum-mysticum","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/23\/147742","title":{"rendered":"El Hexagrammum Mysticum"},"content":{"rendered":"

<\/strong>El estudio de las c\u00f3nicas, que se extiende a m\u00e1s de dos milenios, ofrece episodios matem\u00e1ticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. Uno de los teoremas m\u00e1s excitantes en ese sentido es el llamado Teorema de Pascal, denominado a veces el Teorema del Hexagrama M\u00edstico.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Blaise Pascal<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

El Teorema de Pascal dice lo siguiente:<\/p>\n

Si un hex\u00e1gono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en una c\u00f3nica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrar\u00e1n ubicados sobre una l\u00ednea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuraci\u00f3n (ve\u00e1se Figura 1).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 1<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Esta figura ilustra el resultado en el caso de la elipse, pero el teorema vale para cualquier tipo de c\u00f3nicas, incluyendo las degeneradas as\u00ed como hex\u00e1gonos que se puedan intersecar.<\/p>\n

El teorema fue enunciado por Blaise Pascal cuanto contaba diecis\u00e9is a\u00f1os, un prodigio de precocidad, pero no se ha conservado ninguna prueba por su parte. Pascal trabajaba en un tratado sobre las c\u00f3nicas, Conicorum Opus Completum<\/em> que se perdi\u00f3. Si se conserva lo que titula Essay pour les coniques<\/em>, una especie de \u201cposter\u201d que envi\u00f3 en 1654 a la Academia de Ciencias de Par\u00eds.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

El Teorema de Pascal es de clara naturaleza proyectiva, y de hecho, para entenderlo en toda su generalidad, debemos considerar el caso de las rectas paralelas que se juntan en el punto del infinito.<\/p>\n

Este teorema es adem\u00e1s una generalizaci\u00f3n del teorema de Pappus, de hecho, este \u00faltimo corresponder\u00eda al caso de una c\u00f3nica degenerada formada por dos rectas. El Teorema de Papus establece lo siguiente:<\/p>\n

Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estar\u00e1n en una l\u00ednea recta.<\/p>\n

El siguiente gr\u00e1fico ilustra este resultado:<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Una de las curiosidades del Teorema de Pascal es que dados 6 puntos, existen 60 maneras diferentes de construir ex\u00e1gono, de donde deducimos que dada una c\u00f3nica existir\u00e1n 60 rectas diferentes de Pascal. La cuenta de 60 se obtiene con un sencillo c\u00e1lculo sobre el n\u00famero de ciclos de Hamilton de un grafo completo de 6 v\u00e9rtices.<\/p>\n

Aunque no se cuenta con la prueba que Descartes pudo haber dise\u00f1ado, hoy en d\u00eda existen numerosas pruebas de su teorema, con muy diversas t\u00e9cnicas. Como dec\u00edamos antes, es un resultado que encaja perfectamente en la geometr\u00eda proyectiva, y de hecho su dual proyectivo es el teorema de Brianchon, que afirma:<\/p>\n

Sea ABCDEF un hex\u00e1gono formado por seis rectas tangentes de una c\u00f3nica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto P.<\/p>\n

El teorema se ilustra con la siguiente figura:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Uno de los resultados m\u00e1s interesantes sobre las c\u00f3nicas es que cualquiera de ellas est\u00e1 determinada conociendo cinco de sus puntos. Existe una relaci\u00f3n entre este teorema y el de Pascal. En efecto, dados cinco puntos, el teorema de Pascal permite construir de manera efectiva la c\u00f3nica correspondiente.<\/p>\n

En este enlace <\/a>el lector puede encontrar una construcci\u00f3n del Teorema de Pascal usando Geogebra.<\/p>\n

—<\/p>\n

Agust\u00edn Carrillo de Albornoz <\/strong>(Catedr\u00e1tico de Matem\u00e1ticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y\u00a0<\/strong> Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El estudio de las c\u00f3nicas, que se extiende a m\u00e1s de dos milenios, ofrece episodios matem\u00e1ticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. Uno de los teoremas m\u00e1s excitantes en ese sentido es el llamado Teorema de Pascal, denominado a veces el Teorema del Hexagrama M\u00edstico.   El Teorema de Pascal dice lo siguiente: Si un hex\u00e1gono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en una c\u00f3nica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrar\u00e1n ubicados sobre una l\u00ednea recta, denominada la recta\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[38775,42906,42905,42904],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nEl Hexagrammum Mysticum - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/23\/147742\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"El Hexagrammum Mysticum - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"El estudio de las c\u00f3nicas, que se extiende a m\u00e1s de dos milenios, ofrece episodios matem\u00e1ticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. 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