![\"\"](\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2020\/04\/galton.png\" "\\"galton\\"")
<\/a><\/p>\nUna representaci\u00f3n esquem\u00e1tica de la transmisi\u00f3n de apellidos siguiendo la l\u00ednea masculina. S\u00f3lo los hijos varones transmiten el apellido.<\/em><\/p>\n Esta preocupaci\u00f3n tuvo eco entre los estad\u00edsticos de la \u00e9poca, como muestra el hecho de que sir<\/em> Francis Galton (Birmingham, 1822 \u2013 Haslemere, 1911) propusiera en la revista The Educational Times and Journal of the College of Preceptors<\/em>, el 1 de marzo de 1873, la siguiente cuesti\u00f3n:<\/p>\n \u201cQuestion 4001 (Proposed by FRANCIS GALTON) \u2014 <\/em><\/strong>A large nation, of whom we will only concern ourselves with the adult males, N in number, and who each bear separate surnames, colonise a district. Their law of population is such that, in each generation, a0<\/sub> per cent. of the adult males have no male children who reach adult life; a1<\/sub> have one such male child; a2<\/sub> have two; and so on, up to a5<\/sub> who have five. Find (1) what proportion of the surnames will have become extinct after r generations; and (2) how many instances there will be of the same surname being held by m persons. <\/em><\/p>\n [The Proposer remarks that a general solution of this problem would be of much aid in certain rather important statistical enquiries, and that he finds it a laborious matter to work it out numerically, in even the simplest special cases, and to only a few generations. In reality, the generations would overlap and mix, but it is not necessary to suppose them otherwise than as occurring in successive steps.]\u201d<\/em><\/p>\n El reverendo, y matem\u00e1tico, Henry William Watson (Marylebone, 1827 \u2013 Berkswell, 1903) acept\u00f3 el desaf\u00edo y propuso una soluci\u00f3n en la misma revista el 1 de agosto de 1873. A ra\u00edz del intercambio de ideas entre ellos, publicaron un art\u00edculo conjunto titulado \u00abOn the probability of the extinction of families\u00bb<\/em> en 1875, en la revista Journal of the Royal Anthropological Institute of Great Britain and Ireland<\/em>, con la soluci\u00f3n a la cuesti\u00f3n de Francis Galton. Aunque los autores no eran conscientes de ello, con ese art\u00edculo Francis Galton y Henry William Watson hab\u00edan redescubierto el trabajo previo del estad\u00edstico franc\u00e9s Ir\u00e9n\u00e9e-Jules Bienaym\u00e9 (Par\u00eds, 1796 \u2013 Par\u00eds, 1878) sobre la extinci\u00f3n de familias cerradas<\/em> (aristocr\u00e1ticas, por ejemplo), motivo por el cual hoy el proceso es conocido como proceso<\/em> de Galton-Watson,<\/em> pero tambi\u00e9n como de Bienaym\u00e9-Galton-Watson<\/em>.<\/p>\n Puede ser interesante construir el proceso en un contexto general para que el lector luego pueda identificar otras aplicaciones que no sean la original de Francis Galton a su problema.<\/p>\n Consideremos una poblaci\u00f3n de individuos<\/em> que cambia su configuraci\u00f3n en instantes discretos de tiempo n = 0, 1, 2, \u2026<\/em> \u2013 denominados generaciones <\/em>\u2013 y que, con independencia de la naturaleza de los individuos \u2013 personas, organismos, neutrones, genes \u2013 lo hace de la siguiente manera:<\/p>\n Es decir, la ley de probabilidad que determina el tama\u00f1o X<\/em>a<\/sub><\/em> de la descendencia de un individuo \u2013 el individuo a<\/em> \u2013 de la generaci\u00f3n n<\/em> es la misma que la correspondiente ley para cualquier otro individuo de esa u otra generaci\u00f3n, y su realizaci\u00f3n \u2013 por ejemplo, el individuo a <\/em>de la generaci\u00f3n n <\/em>genera k<\/em> descendientes \u2013 no depende del n\u00famero de descendientes generados por el resto de los individuos de la generaci\u00f3n n <\/em>a la que pertenece o de las generaciones previas. Siguiendo esta descripci\u00f3n, el estado<\/em> Z<\/em>n<\/sub><\/em> <\/em>del proceso de Galton-Watson en el instante n<\/em> es el n\u00famero de individuos en la generaci\u00f3n n<\/em>.<\/p>\n En el problema original de Francis Galton,\u00a0 Zn<\/sub><\/em> <\/em> <\/em>representa el n\u00famero de apellidos iguales al del antecesor<\/em> inicial presentes en la poblaci\u00f3n en la generaci\u00f3n n<\/em> por herencia a lo largo de la l\u00ednea masculina. En esta contabilidad s\u00f3lo se contabilizan los apellidos de los varones, no de las hembras, dado que \u00e9stas no transmitir\u00e1n su apellido en generaciones futuras. El hecho de asumir un \u00fanico antecesor inicial est\u00e1 vinculado a suponer Z<\/em>0<\/sub><\/em>\u00a0 <\/em>= 1.<\/p>\n Comenzando desde Z<\/em>0<\/sub><\/em> <\/em>= 1, el estado del proceso en la generaci\u00f3n n+1 se obtiene desde la recursi\u00f3n<\/p>\n Z<\/em>n+1 <\/sub><\/em>= X<\/em>1<\/sub><\/em>(n+1) + \u2026 + X<\/em>Zn<\/sub><\/em>(n+1),<\/em><\/p>\n \u00a0<\/em>que expresa el n\u00famero de descendientes en la generaci\u00f3n n+1<\/em> desde la contribuci\u00f3n (a esa generaci\u00f3n n+<\/em>1) del i<\/em>-\u00e9simo individuo \u2013 es decir, X<\/em>i<\/sub><\/em>(n+1) <\/em>\u2013 de la generaci\u00f3n n.<\/em> El n\u00famero de descendientes en la generaci\u00f3n n <\/em>es una variable aleatoria Z<\/em>n<\/sub><\/em> que podr\u00eda tomar el valor 0<\/em>, en cuyo caso Z<\/em>n+1<\/sub><\/em> = 0 <\/em>y, como consecuencia, Z<\/em>m<\/sub><\/em> = 0 <\/em>en cualquier generaci\u00f3n posterior m = n, n+1, \u2026 <\/em>Es importante destacar que la independencia de las variables aleatorias X<\/em>i<\/sub><\/em>(n) <\/em>garantiza que la sucesi\u00f3n {Z<\/em>n<\/sub><\/em>: n=0,1,\u2026}<\/em> verifica la propiedad Markoviana.<\/p>\n No todas las elecciones de la distribuci\u00f3n de descendencia F<\/em> conducen a un proceso de Galton-Watson interesante. Por ejemplo, si F <\/em>est\u00e1 concentrada sobre un \u00fanico punto (es decir, P<\/em>k<\/sub><\/em> = 1 <\/em>para un cierto n\u00famero k<\/em>),<\/em> entonces el proceso es determinista y Z<\/em>n<\/sub><\/em> <\/em>es el producto de k <\/em>consigo mismo n<\/em> veces.<\/p>\n<\/a><\/a>\n