{"id":147797,"date":"2020-04-29T09:50:02","date_gmt":"2020-04-29T08:50:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147797"},"modified":"2020-04-29T09:50:02","modified_gmt":"2020-04-29T08:50:02","slug":"cinco-puntos-definen-una-conica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/04\/29\/147797","title":{"rendered":"Cinco puntos definen una c\u00f3nica"},"content":{"rendered":"

Seguimos con nuestro repaso por el mundo de las c\u00f3nicas y hoy hablaremos de otro de los hitos en su estudio, el Teorema de los cinco puntos, que afirma que cinco puntos de un plano son suficientes para construir una c\u00f3nica. Afinando m\u00e1s, 3 de esos puntos no pueden ser colineales, porque entonces el resultado ser\u00eda una c\u00f3nica degenerada y podr\u00eda no ser \u00fanica.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La raz\u00f3n para este resultado es muy simple si consideramos la ecuaci\u00f3n general de una c\u00f3nica:<\/p>\n

Ax2<\/sup> + B xy + Cy2 <\/sup>+ D x + Ey + F = 0<\/em><\/p>\n

entonces, las coordenadas (xi<\/sub>,yi<\/sub>)<\/em> de los cinco puntos, i <\/em>= 1, \u2026, 5, deben cumplir la ecuaci\u00f3n anterior. Por lo tanto, obtenemos un sistema de cinco ecuaciones con seis inc\u00f3gintas, pero como el sistema es homog\u00e9neo, podemos considerar F <\/em>= 1, y el resultado saldr\u00e1 de manera inmediata.<\/p>\n

La demostraci\u00f3n es todav\u00eda m\u00e1s evidente cuando se considera la geometr\u00eda proyectiva, porque en el plano proyectivo RP2<\/sup>\u00a0 (que se obtiene de R3 identificando todos los puntos de cada recta que pasa por el origen) cada c\u00f3nica est\u00e1 definida por exactamente cinco n\u00fameros.<\/p>\n

Otra cuesti\u00f3n interesante, y que pone de manifiesto esa dualidad entre puntos y rectas, es que se pueden considerar construcciones de c\u00f3nicas partiendo de m<\/em> puntos y n<\/em> rectas, con m+n<\/em> = 5, donde m<\/em> y n<\/em> var\u00edan de 0 a 5. En el caso de las rectas, la noci\u00f3n de ser un punto de la c\u00f3nica se traduce en ser recta tangente a la c\u00f3nica.<\/p>\n

Una de las t\u00e9cnicas modernas m\u00e1s interesantes para estudiar las propiedades de las c\u00f3nicas consiste en calcular lo que se llama su espacio de moduli. Ya que la ecuaci\u00f3n de una c\u00f3nica incluye 6 coeficientes, A, B, C, D, E,<\/em> F<\/em>, y poder eliminar uno, por ejemplo, F<\/em>, y obtener coordenadas homog\u00e9neas (A\/F, B\/F,<\/em> C\/F, D\/F, E\/F) (supononiendo, claro est\u00e1 que F no es 0), vemos que existe una correspondencia biyectiva entre c\u00f3nicas en un plano y puntos del espacio proyectivo RP5<\/sup><\/em> (obtenido de R6<\/sup><\/em> identificando los puntos de las rectas pasando por el origen). As\u00ed que RP5 <\/sup><\/em>es el espacio de moduli de las c\u00f3nicas planas. Esto implica que cualquier problema de contar incidencias o tangencias para las c\u00f3nicas se puede traducir en un problema de intersecciones en el espacio proyectivo RP5 <\/sup><\/em>. De hecho, este es el principio en la llamada geometr\u00eda enumerativa, que tiene en cuenta problemas enumerativos a los que tan aficionados eran los griegos, y es hoy en d\u00eda una rama muy activa de la geometr\u00eda algebraica.<\/p>\n

\"\"<\/a>
C\u00f3nica tangente a cinco dadas<\/figcaption><\/figure>\n

As\u00ed, pod\u00edamos pensar no solo en cuantas c\u00f3nicas pasan por unos puntos y son tangentes a unas rectas dadas, sino tambi\u00e9n si son tangentes a unas c\u00f3nicas prefijadas. Esto enlaza con el famoso problema planteado en 1848 por Jakob Steiner, de la Universidad de Berl\u00edn: Dadas cinco c\u00f3nicas en el plano, \u00bfcu\u00e1ntas c\u00f3nicas son tangentes a todas ellas? El propio Steiner dio una respuesta, 7776 = 65<\/sup>, pero estaba equivocado. La respuesta correcta es 3264, como probaron Ernest de Jonqui\u00e8res en 1859, y Chasles en 1864 (aunque el primero no public\u00f3 el resultado por respeto a la enorme reputaci\u00f3n de Steiner). La geometr\u00eda enumerativa y la teor\u00eda de intersecci\u00f3n, dan la respuesta. En el art\u00edculo \u201cEnumerative Algebraic Geometry of Conics\u201d<\/a>, de Andrew Bashelor, Amy Ksir y Will Traves en Amer. Math. Monthly, 115 (8): 701\u2013728, ) se da la respuesta completa a este problema.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Jacob Steiner<\/figcaption><\/figure>\n

Debemos recordar que el llamado Teorema de los cinco puntos tiene una historia antigua. El resultado parece haber sido conocido desde hace mucho, pero no hemos sido capaces de encontrar un autor primero tanto del enunciado como de la prueba. En el art\u00edculo \u201cConic\u00a0 sections\u00a0 through\u00a0 five\u00a0 points\u00a0 classical,\u00a0 projective,\u00a0 conformal\u201d, de Eckhard Matthias Sigurd Hitzer<\/a>\u00a0se comenta como en 1844, \u00a0200 a\u00f1os despu\u00e9s del Teorema de Pascal,<\/a> el matem\u00e1tico alem\u00e1n Hermann\u00a0\u00a0\u00a0 Grassmann invent\u00f3si \u201cTeor\u00eda de la extensi\u00f3n\u201d,\u00a0 us\u00f3 el teorema del franc\u00e9s para encontrar una f\u00f3rmula expl\u00edcita de la c\u00f3nica pasando por cinco puntos.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Hermann Grassmann<\/figcaption><\/figure>\n

A medida que se han ido desarrollando las matem\u00e1ticas, la geometr\u00eda anal\u00edtica, la geometr\u00eda proyectiva, o la moderna geometr\u00eda algebraica, ha ido proporcionando no solo nuevas demostraciones, sino generalizaciones y nuevos desarrollos matem\u00e1ticos. Debemos recordar que hay pocos matem\u00e1ticos relevantes desde los antiguos griegos hasta el sigo XX cuyo nombre no est\u00e9 asociado de una manera u otra a las c\u00f3nicas.<\/p>\n

M\u00e1s recientemente, el uso de programas como Geogebra, ha permitido que este y muchos otros resultados puedan ser abordados en el aula de una manera visual, sin que esto suponga ninguna p\u00e9rdida de rigor matem\u00e1tico. Esto nos lleva a reivindicar la mayor inclusi\u00f3n de contenidos geom\u00e9tricos en los curricula acad\u00e9micos, acompa\u00f1ados de los programas tecnol\u00f3gicos que ayudan a explicarlos y trabajarlos conjuntamente con los alumnos.<\/p>\n

\u2014<\/p>\n

Agust\u00edn Carrillo de Albornoz <\/strong>(Catedr\u00e1tico de Matem\u00e1ticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y\u00a0<\/strong> Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seguimos con nuestro repaso por el mundo de las c\u00f3nicas y hoy hablaremos de otro de los hitos en su estudio, el Teorema de los cinco puntos, que afirma que cinco puntos de un plano son suficientes para construir una c\u00f3nica. Afinando m\u00e1s, 3 de esos puntos no pueden ser colineales, porque entonces el resultado ser\u00eda una c\u00f3nica degenerada y podr\u00eda no ser \u00fanica. 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