{"id":147832,"date":"2020-05-04T09:27:02","date_gmt":"2020-05-04T08:27:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147832"},"modified":"2020-05-06T21:11:50","modified_gmt":"2020-05-06T20:11:50","slug":"el-paraiso-de-cantor","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/05\/04\/147832","title":{"rendered":"El para\u00edso de Cantor"},"content":{"rendered":"

<\/strong><\/strong>Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k\u00f6nnen. <\/em><\/p>\n

Nadie ser\u00e1 capaz de expulsarnos del para\u00edso que Cantor cre\u00f3 para nosotros.<\/em><\/p>\n

<\/em>David Hilbert<\/strong>, en una conferencia en M\u00fcnster a la Sociedad Matem\u00e1tica Alemana el 4 de junio de 1925.<\/p><\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor fue un matem\u00e1tico de ascendencia danesa-alemana, aunque naci\u00f3 en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845: Cantor fue uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s geniales del siglo XIX y comienzos del XX, al que le debemos la creaci\u00f3n de los fundamentos modernos de las matem\u00e1ticas. \u00a0Cantor estudi\u00f3 matem\u00e1ticas en Z\u00fcrich, traslad\u00e1ndose despu\u00e9s a la Universidad de Berl\u00edn, donde tuvo profesores de la talla de Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Con 27 a\u00f1os se convirti\u00f3 en catedr\u00e1trico de la Universidad de Halle (tambi\u00e9n llamada Mart\u00edn Lutero).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Georg Cantor en 1970<\/figcaption><\/figure>\n

Entre 1874 y 1884, Cantor trabaj\u00f3 sobre la teor\u00eda de conjuntos.\u00a0 Hasta entonces, no hab\u00eda una teor\u00eda formal, y el concepto de infinito era una noci\u00f3n m\u00e1s filos\u00f3fica que matem\u00e1tica. Cantor prob\u00f3 que hab\u00eda diferentes tipos de conjuntos infinitos: por ejemplo, el de los n\u00fameros naturales (el aleph 0) era diferente al de los n\u00fameros reales (el continuo). La manera de distinguirlos fue con el concepto de cardinal. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, y estos \u00faltimos numerables (su cardinal o n\u00famero de elementos es el de los naturales) o no numerables (en caso contrario). Por ejemplo, el conjunto de los\u00a0 n\u00fameros pares es numerable (se puede establecer una correspondencia uno a uno con los naturales, simplemente considerando el doble de cada n\u00famero natural). Y lo mismo ocurre, aunque nos sorprenda, con los n\u00fameros racionales (las fracciones). Pero ya no pasa as\u00ed con los irracionales (los no racionales) y con todos los n\u00fameros reales (racionales e irracionales).<\/p>\n

Como recordatorio, digamos que un n\u00famero racional es el que se puede escribir como una fracci\u00f3n de n\u00fameros enteros. Entre los irracionales, podemos distinguir entre los algebraicos (aquellos que se obtienen como una soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n algebraica, como ocurre con el n\u00famero a\u00fareo), y trascendentes, cuando no, como el n\u00famero\u00a0\u03c0 o el n\u00famero e<\/em>.<\/p>\n

Cantor fue mucho m\u00e1s all\u00e1. Construy\u00f3 (o descubri\u00f3, a gusto del lector), toda una aritm\u00e9tica de n\u00fameros infinitos, que llam\u00f3 transfinitos. Estos n\u00fameros segu\u00edan unas reglas similares a las de los n\u00fameros naturales. Uno de sus logros fue probar que hab\u00eda el mismo n\u00famero de puntos en un segmento que en un cuadrado o en cubo construidos con ese segmento. Cantor le escribi\u00f3 a Dedekind: \u201cLo veo, pero no me lo creo\u201d.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Otro de los logros de Cantor fue probar que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto era estrictamente mayor que el del conjunto dado, algo evidente en conjuntos finitos, pero no tanto en los infinitos. Esto le llev\u00f3 a formular lo que se llama la \u201chip\u00f3tesis del continuo\u201d: no hay ning\u00fan n\u00famero entre aleph 0 (representado por el s\u00edmbolo \u21350<\/sub>) y el continuo (que es la cantidad de n\u00fameros reales), o dicho con m\u00e1s rigor, el aleph siguiente al aleph 0, el aleph 1 ( \u21351<\/sub> ) es igual al continuo. David Hilbert propuso esto como uno de los 23 problemas que expuso en su c\u00e9lebre conferencia en el Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos de Par\u00eds en 1900. La hip\u00f3tesis del continuo llev\u00f3 a Kurt G\u00f6del en 1940 a probar que hab\u00eda proposiciones que no se pod\u00edan probar o negar en t\u00e9rminos de la aritm\u00e9tica (el famoso teorema de incompletitud). En 1963, Paul Cohen volvi\u00f3 sobre el tema y encontr\u00f3 que la aritm\u00e9tica era consistente tanto si admitimos la hip\u00f3tesis del continuo como si no (y recibi\u00f3 una medalla Fields por ello).<\/p>\n

Hasta entonces, predominaban todav\u00eda las nociones de infinito \u201cen potencia\u201d y \u201cen acto\u201d de Arist\u00f3teles, que llegaba a afirmar: \u201cel n\u00famero no puede ser infinito, ya que \u00e9ste, as\u00ed como todo lo que tiene n\u00famero, puede contarse, y, si puede contarse, no es infinito\u201d. Lo que Cantor propon\u00eda era una aut\u00e9ntica revoluci\u00f3n del pensamiento.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Leopold Kronecker<\/figcaption><\/figure>\n

Las reacciones\u00a0 a los resultados de Cantor fueron violentas. El propio Leopold Kronecker (su director de tesis) lleg\u00f3 a decir de Cantor que era \u201cun charlat\u00e1n, un renegado y un corruptor de la juventud\u201d, como si se se tratara de un nuevo S\u00f3crates. El mismo Wittgenstein lament\u00f3 que las matem\u00e1ticas se vieran dirigidas por \u201cel pernicioso idioma de la teor\u00eda de conjuntos.\u201d Pero a la vez, muchos de sus colegas le demostraron una admiraci\u00f3n sin l\u00edmites, especialmente tras su conferencia en el primer Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos, celebrado en Z\u00fcrich en 1897.<\/p>\n

Las ideas de Cantor fueron vistas por algunos intelectuales de la \u00e9poca como un desaf\u00edo a la infinitud de Dios, y fue acusado de pante\u00edsmo, \u00e9l, que era un devoto luterano. Su visi\u00f3n teol\u00f3gica se confund\u00eda con la matem\u00e1tica, y cre\u00eda que esos resultados eran inspirados en su mente por el propio Dios.<\/p>\n

No es de extra\u00f1ar que Cantor sufriera depresiones muy fuertes a lo largo de su vida, con varios internamientos en hospitales psiqui\u00e1tricos. Finalmente, falleci\u00f3 el 6 de enero de 1918, en el sanatorio donde hab\u00eda pasado el \u00faltimo a\u00f1o, de un ataque al coraz\u00f3n. Durante la Primera Gran Guerra sus condiciones de vida hab\u00edan sido muy precarias.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Placa conmemorativa: \u00abEn este edificio naci\u00f3 y vivi\u00f3 desde 1845 a 1854 el gran matem\u00e1tico y creador de la teor\u00eda de conjuntos Georg Cantor\u00bb, San Petersburgo<\/figcaption><\/figure>\n

Como dec\u00eda Hilbert, nadie nos podr\u00e1 quitar ese para\u00edso incre\u00edble que Cantor cre\u00f3 para la humanidad, y a pesar de todos sus cr\u00edticos, su trabajo pervive, porque como \u00e9l dec\u00eda: \u201cLa esencia de las matem\u00e1ticas reside en su libertad\u201d.<\/p>\n

____________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k\u00f6nnen. Nadie ser\u00e1 capaz de expulsarnos del para\u00edso que Cantor cre\u00f3 para nosotros. David Hilbert, en una conferencia en M\u00fcnster a la Sociedad Matem\u00e1tica Alemana el 4 de junio de 1925.   Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor fue un matem\u00e1tico de ascendencia danesa-alemana, aunque naci\u00f3 en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845: Cantor fue uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s geniales del siglo XIX y comienzos del XX, al que le debemos la creaci\u00f3n de los fundamentos modernos de las matem\u00e1ticas. \u00a0Cantor estudi\u00f3 matem\u00e1ticas en Z\u00fcrich, traslad\u00e1ndose despu\u00e9s\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[42914,42915,42912,42916,42913],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nEl para\u00edso de Cantor - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/05\/04\/147832\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"El para\u00edso de Cantor - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k\u00f6nnen. 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