{"id":147854,"date":"2020-05-07T16:43:31","date_gmt":"2020-05-07T15:43:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=147854"},"modified":"2020-05-07T16:43:31","modified_gmt":"2020-05-07T15:43:31","slug":"andrei-markov-cadenas-para-luchar-contra-las-epidemias-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/05\/07\/147854","title":{"rendered":"Andrei Markov, cadenas para luchar contra las epidemias (I)"},"content":{"rendered":"

<\/strong>La secci\u00f3n de \u201cEl Tiempo\u201d ocupa una parte destacada en los telediarios de todas las cadenas. Esta secci\u00f3n, aparte de contarnos el tiempo que ha hecho hoy nos ha ayudado tambi\u00e9n a comprender conceptos como \u201cprobabilidad de lluvia\u201d o la imposibilidad de saber un lunes si el domingo podremos ir a la playa. En el caso de las epidemias, otro fen\u00f3meno muy dif\u00edcil de explicar, la incertidumbre de cu\u00e1ndo llegar\u00e1 (o lleg\u00f3) el pico y cu\u00e1nta gente va a ingresar en el hospital la semana que viene invita a una variedad de modelos matem\u00e1ticos llamados cadenas de Markov<\/em>. En nuestro objetivo de acercar a la sociedad los instrumentos matem\u00e1ticos que nos ayudan a enfrentar la actual pandemia, nos hacemos hoy eco de la figura de un matem\u00e1tico excepcional, Andr\u00e9i Andr\u00e9yevich M\u00e1rkov, el inventor de las cadenas que llevan su nombre. En esta primera entrada hablaremos de sus logros generales, mientras que en otras centraremos la atenci\u00f3n sobre las aplicaciones a la biolog\u00eda y, en particular, a la epidemiolog\u00eda.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Andrei Markov naci\u00f3 en Riaz\u00e1n, Rusia, el 14 de junio de 1856. Su padre, hijo de un di\u00e1cono rural, estudi\u00f3 en un seminario, consiguiendo posteriormente un empleo en el Departamento Forestal en San Petersburgo.\u00a0 Andrei Markov era el mayor de los dos hijos varones en una familia numerosa; su hermano menor, Vladimir, muerto prematuramente de tuberculosis, hab\u00eda conseguido en un corto espacio de vida una gran reputaci\u00f3n como buen matem\u00e1tico.<\/p>\n

Andrei Markov fue un ni\u00f1o con una salud delicada, llevando muletas hasta los diez a\u00f1os. En la secundaria destac\u00f3 en matem\u00e1ticas, llamando ya entonces la atenci\u00f3n de sus profesores. Era obvio que iba a estudiar esta materia y as\u00ed lo hizo en la prestigiosa facultad de F\u00edsica y Matem\u00e1ticas de la Universidad de San Petersburgo, participando en los seminarios de un matem\u00e1tico tan brillante y con capacidad de liderazgo como era Chebyshev, es decir, Pafnuti Lv\u00f3vich Chebyshov (Ok\u00e1tovo 1821 \u2013 San Petersburgo 1894).<\/p>\n

Andrei Markov se gradu\u00f3 en 1878 y comenz\u00f3 su trabajo de m\u00e1ster sobre teor\u00eda de n\u00fameros (aproximaci\u00f3n racional), una tesis que fue muy alabada y considerada uno de los mejores resultados en el tema en esa \u00e9poca. Esto le permiti\u00f3 seguir su carrera como profesor de la universidad y conseguir el doctorado en 1884. En 1886 se convirti\u00f3 en adjunto de la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta de Chebyshev, aunque sigui\u00f3 manteniendo su vinculaci\u00f3n con la universidad.<\/p>\n

Fue en 1900 cuando Andrei Markov comenz\u00f3 a investigar en la teor\u00eda de probabilidad, tema en el que obtuvo resultados muy brillantes, destacando el descubrimiento de las cadenas que llevan su nombre. Chebyshev, Kolmogorov y Markov son los grandes nombres que usaron elementos de la teor\u00eda de la medida para convertir la teor\u00eda de probabilidad en una de las \u00e1reas m\u00e1s rigurosas y respetadas de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Andrei Markov no trabaj\u00f3 pensando en las posibles aplicaciones pr\u00e1cticas de las cadenas de Markov y, de hecho, la \u00fanica que hizo fue a la literatura, contando vocales y consonantes, quiz\u00e1s por su gran amor a la poes\u00eda (de esto hablaremos en una pr\u00f3xima entrada). Sin embargo, como mostraremos a continuaci\u00f3n, las aplicaciones de las cadenas de Markov son de gran utilidad pr\u00e1ctica.<\/p>\n

 <\/p>\n

Cadenas de Markov<\/strong><\/p>\n

De manera intuitiva, una cadena de Markov en tiempo discreto (por sencillez) es un proceso estoc\u00e1stico que evoluciona en tiempo discreto o etapas y tiene la propiedad Markoviana<\/em> que dice que \u201cel<\/em> futuro depende de lo que pasa en el presente, pero no del pasado estricto\u201d<\/em>.\u00a0 Tendremos unos estados E1<\/sub>, E2<\/sub>, E3<\/sub>, \u2026, de manera que se pasa de uno a otro por una matriz de transici\u00f3n en una etapa. La cardinalidad del conjunto de estados es numerable, es decir, es un conjunto finito o con la misma cardinalidad que los n\u00fameros naturales. La matriz de transici\u00f3n en una etapa tiene como elementos a las probabilidades de paso de un estado a otro cuando el proceso evoluciona desde una etapa n <\/em>a la etapa siguiente n+1<\/em>. Por lo tanto, est\u00e1 compuesta de n\u00fameros reales positivos entre 0 y 1, de manera que la suma de cada fila o columna, seg\u00fan la disposici\u00f3n de los estados inicial (en la etapa n<\/em>) y final (en la etapa n+1<\/em>), es 1.<\/p>\n

Este es un ejemplo muy sencillo. En una unidad de cuidados intensivos, los pacientes se clasifican atendiendo a su estado: cr\u00edtico, serio y estable. Cada d\u00eda se actualizan las clasificaciones de acuerdo con la evoluci\u00f3n hist\u00f3rica de los pacientes admitidos en la unidad hasta ese momento, de modo que las frecuencias relativas de cambios de estado de un paciente son:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

En la disposici\u00f3n anterior, las entradas por filas est\u00e1n asociadas al estado del paciente en el d\u00eda n<\/em> y las columnas se refieren a su estado en el d\u00eda n+1<\/em>. Entonces, podr\u00edamos tomar como matriz de transici\u00f3n en una etapa<\/p>\n

0.6\u00a0\u00a0 0.3\u00a0\u00a0 0.1<\/p>\n

0.4\u00a0\u00a0 0.4\u00a0\u00a0 0.2<\/p>\n

0.1\u00a0\u00a0 0.4\u00a0\u00a0 0.5<\/p>\n

donde las filas suman 1. Una representaci\u00f3n gr\u00e1fica como la siguiente nos puede ayudar a entender mejor la din\u00e1mica de cambio entre estados de un paciente en dos d\u00edas consecutivos:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Con un gr\u00e1fico como este podemos calcular probabilidades en m\u00e1s de una etapa. Por ejemplo, la probabilidad de pasar del estado cr\u00edtico C a estable E en dos d\u00edas. Hay tres posibles caminos, dependiendo del estado C, S y E del paciente despu\u00e9s del primer d\u00eda:<\/p>\n

C –> C –> E<\/p>\n

C –> S –> E<\/p>\n

C –> E –> E,<\/p>\n

as\u00ed que s\u00f3lo tenemos que multiplicar las probabilidades y sumar de la forma<\/p>\n

0.6 x 0.1 + 0.3 x 0.2 + 0.1 x 0.5 = 0.17<\/em><\/p>\n

Es decir, un paciente ingresado en estado cr\u00edtico C evolucionar\u00e1 al estado estable E en dos d\u00edas en un 17% de las ocasiones.<\/p>\n

Andrei Markov era una persona comprometida pol\u00edticamente en una \u00e9poca, principios del siglo XX, de transici\u00f3n agitada de Rusia. Por ejemplo, cuando a Maksim Gorky se le retir\u00f3 su nombramiento como acad\u00e9mico de la Academia de Ciencias por razones pol\u00edticas, protest\u00f3 en\u00e9rgicamente, y en 1913 se neg\u00f3 a secundar la celebraci\u00f3n del tercer centenario del zarismo para celebrar, por su cuenta, el segundo aniversario de la Ley de los Grandes N\u00fameros. Cuando triunf\u00f3 la Revoluci\u00f3n Rusa de 1917, Andrei Markov solicit\u00f3 que le enviaran a un peque\u00f1o pueblo del interior, Zaraisk, a ense\u00f1ar en la escuela local de manera gratuita y as\u00ed contribuir a la mejora de la pobre sociedad rural. Aquejado de graves problemas de salud, falleci\u00f3 en San Petersburgo el 20 de julio de 1922, a los 66 a\u00f1os de edad, debido a la infecci\u00f3n generalizada producida por una de las varias operaciones quir\u00fargicas de rodilla a las que fue sometido.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Tumba de A. Markov en San Petersburgo<\/figcaption><\/figure>\n

_____<\/strong><\/p>\n

Mario Castro Ponce<\/strong> (Universidad Pontificia Comillas), <\/em>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas CSIC<\/em>, Real Academia de Ciencias) y Antonio G\u00f3mez Corral<\/strong> (Universidad Complutense de Madrid)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La secci\u00f3n de \u201cEl Tiempo\u201d ocupa una parte destacada en los telediarios de todas las cadenas. Esta secci\u00f3n, aparte de contarnos el tiempo que ha hecho hoy nos ha ayudado tambi\u00e9n a comprender conceptos como \u201cprobabilidad de lluvia\u201d o la imposibilidad de saber un lunes si el domingo podremos ir a la playa. En el caso de las epidemias, otro fen\u00f3meno muy dif\u00edcil de explicar, la incertidumbre de cu\u00e1ndo llegar\u00e1 (o lleg\u00f3) el pico y cu\u00e1nta gente va a ingresar en el hospital la semana que viene invita a una variedad de modelos matem\u00e1ticos llamados cadenas de Markov. 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