![\"\"](\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/files\/2020\/05\/H4130081-Portrait_of_Andrei_Andreyevich_Markov.jpg\" "\\"Portrait")
<\/a>Andrey Markov<\/em><\/p>\nComo hab\u00edamos comentado en entradas anteriores<\/a>, una cadena de Markov es un proceso estoc\u00e1stico o conjunto de variables aleatorias (en cantidad discreta o continua, seg\u00fan el contexto) caracterizadas por la propiedad Markoviana<\/em>, es decir, se refleja que el valor o estado de la variable asociada a un instante concreto de tiempo determina el siguiente estado del sistema en estudio, pero \u00e9ste no depende de los estados asociados a las variables aleatorias anteriores. En otras palabras, \u201cel futuro depende del pasado, pero s\u00f3lo a trav\u00e9s del presente\u201d<\/em>.<\/p>\n Las aplicaciones de las cadenas de Markov en el estudio de epidemias se desarrollan en paralelo a aqu\u00e9llas realizadas desde el uso de ecuaciones diferenciales. El lector habitual de este blog puede observar ese paralelismo en dos de nuestras recientes entradas. En concreto, el modelo SIR en la entrada Las matem\u00e1ticas del coronavirus Covid-19 <\/a>es construido en el contexto determin\u00edstico, mientras que nuestros comentarios en la entrada Las matem\u00e1ticas contra la malaria y el modelo SIR<\/a> destacaban el papel crucial de Anderson Grey McKendrick en la formulaci\u00f3n estoc\u00e1stica del modelo SIR.<\/p>\n Es importante incidir sobre las diferencias fundamentales entre el mundo determinista y el mundo estoc\u00e1stico, tanto para identificar la herramienta matem\u00e1tica usada como para entender el objeto en estudio. A pesar de que hablamos en ambos casos de ecuaciones diferenciales, \u00e9stas son concebidas de manera diferente:<\/p>\n Como consecuencia de lo anterior, la soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones diferenciales en un contexto determinista<\/strong> permite dibujar los n\u00fameros de susceptibles, de infectados y de recuperados en funci\u00f3n del tiempo y la curva representando a uno de estos n\u00fameros, por ejemplo, el n\u00famero de infectados I(t)<\/em> en el instante t<\/em>, sobre unos ejes cartesianos es \u00fanica como funci\u00f3n real de t<\/em>. Por el contrario, cuando se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales en el contexto estoc\u00e1stico<\/strong> se obtiene la distribuci\u00f3n de probabilidad conjunta de los n\u00fameros de susceptibles, de infectados y de recuperados en cada instante de tiempo t<\/em>. Si, por ejemplo, nos centramos en el n\u00famero de infectados I(t)<\/em> en el instante t<\/em>, entonces es posible dibujar la probabilidad de que I(t) = i<\/em> como una curva como funci\u00f3n de t,<\/em> para cada valor i<\/em> entre 0, 1, \u2026, N<\/em>, siendo N<\/em> el tama\u00f1o total de la poblaci\u00f3n. Esas curvas, y tenemos una para cada valor i<\/em>, expresan c\u00f3mo de veros\u00edmiles son cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria I(t). <\/em>Informalmente hablando, esto equivale a lo siguiente:<\/p>\n Si fu\u00e9ramos capaces de reproducir un n\u00famero n grande de situaciones pr\u00e1cticas de la propagaci\u00f3n de una epidemia de tipo SIR entre los individuos de una poblaci\u00f3n y contabiliz\u00e1semos, en un instante de tiempo t concreto, la frecuencia relativa de aparici\u00f3n de cada valor i entre esas n situaciones, esas frecuencias relativas ser\u00edan una estimaci\u00f3n de la probabilidad de que I(t) = i, tanto m\u00e1s precisa cuanto mayor sea el n\u00famero grande n de situaciones observadas. <\/em><\/p>\n Andrey Kolmogorov<\/em><\/p>\n En este punto, la llave que formaliza el comportamiento asint\u00f3tico que, cuando n<\/em> tiende hacia infinito, subyace en nuestro comentario es uno de los resultados fundamentales de la Teor\u00eda de la Probabilidad moderna, las leyes de los grandes n\u00fameros, que permiten acceder a la definici\u00f3n axiom\u00e1tica de probabilidad \u2013 formulada por el matem\u00e1tico ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Tambov, 1903 \u2013 Mosc\u00fa, 1987) \u2013 desde la noci\u00f3n de probabilidad frecuentista vigente hasta principios de 1930. Para ello es necesario aludir a la convergencia en probabilidad (ley d\u00e9bil) o a la convergencia casi segura (ley fuerte).<\/p>\n Una vez hecha, quiz\u00e1s no muy brevemente, esta puntualizaci\u00f3n sobre modelos deterministas versus modelos estoc\u00e1sticos<\/em>, nos centramos en el contexto estoc\u00e1stico y comentamos sobre dos modelos de epidemias basados en cadenas de Markov. Hemos usado dos art\u00edculos cient\u00edficos en los que el lector interesado en profundizar m\u00e1s all\u00e1 de este blog podr\u00e1 encontrar m\u00e1s detalles y bibliograf\u00eda.<\/p>\n <\/p>\n La epidemia del VIH\/SIDA<\/strong><\/p>\n En el art\u00edculo titulado \u201cModelo estoc\u00e1stico para la epidemia del VIH\/SIDA<\/a>\u201d, de Erick Manuel Delgado-Moya y Aym\u00e9e Marrero-Severo, se construye una sencilla cadena de Markov de la siguiente forma:<\/p>\n Se definen, como en las variantes del modelo SIR<\/a>, cuatro posibles estados para un individuo de la poblaci\u00f3n en cuesti\u00f3n: S (susceptible), I (infectado), N (individuo muerto por muerte natural) y E (individuo muerto a causa de la enfermedad). Como unidad de tiempo se emplea el a\u00f1o<\/em>, generando entonces una cadena de Markov en tiempo discreto cuando el estado de un individuo es registrado, por ejemplo, el d\u00eda 1 de marzo de cada a\u00f1o, si \u00e9ste se sometiera a pruebas diagn\u00f3sticas con una periodicidad anual. Las probabilidades asociadas a la evoluci\u00f3n del estado de un individuo entre dos etapas consecutivas, es decir, desde una revisi\u00f3n diagn\u00f3stica y la siguiente, se denotan por<\/p>\n \u03b1: probabilidad de mantenerse en el estado de susceptible.<\/p>\n \u03b2: probabilidad de mantenerse en el estado de infectado.<\/p>\n \u03bc: probabilidad de muerte natural.<\/p>\n \u03b3: probabilidad de, estando en el estado susceptible, pasar al estado de infectado.<\/p>\n \u03b5: probabilidad de muerte por la enfermedad, dado que est\u00e1 en el estado infectado.<\/p>\n <\/p>\n Debemos recordar que, para obtener una matriz de transici\u00f3n, se deben cumplir las relaciones<\/p>\n \u03b1+\u03b3+\u03bc= 1\u00a0\u00a0 y\u00a0 \u03b2+\u03bc+ \u03b5 = 1.<\/p>\n Las probabilidades anteriores est\u00e1n ligadas a las transiciones<\/p>\n de modo que la matriz de transici\u00f3n viene dada por<\/p>\n <\/p>\n Sin entrar en los detalles del estudio de Erick Manuel Delgado-Moya y Aym\u00e9e Marrero-Severo, una cuesti\u00f3n interesante est\u00e1 asociada a c\u00f3mo influir para mejorar los resultados en el tratamiento terap\u00e9utico de un paciente. Tendr\u00edamos, por tanto, que influir sobre el par\u00e1metro \u03b5, que se suele parametrizar como una funci\u00f3n o \u00edndice de eficacia. Claro que, si reducimos la mortalidad con el tratamiento, tambi\u00e9n podr\u00edamos estar contribuyendo a aumentar el n\u00famero de infectados.<\/p>\n Ciclo de replicaci\u00f3n del virus del SIDA<\/em><\/p>\n Surge entonces un interesante problema vinculado al control del n\u00famero de infectados que, en el caso del SIDA, se puede abordar desde la abstinencia, la reducci\u00f3n de las pr\u00e1cticas sexuales o el uso de barreras profil\u00e1cticas (preservativos), as\u00ed como desde los beneficios de un adecuado tratamiento terap\u00e9utico. Como un procedimiento alternativo al realizado por los autores, mencionamos que es posible abordar el problema de control \u2013 resultante desde la introducci\u00f3n de costes \u2013 usando la teor\u00eda de la decisi\u00f3n Markoviana que combina cadenas de Markov con t\u00e9cnicas de Optimizaci\u00f3n Matem\u00e1tica.<\/p>\n La lucha contra el coronavirus SARS-CoV-2 de la Covid-19<\/strong><\/p>\n Describimos ahora, de manera concisa, el modelo dise\u00f1ado en el reciente art\u00edculo \u201cCOVID-19: Estimating spread in Spain solving an inverse problem with a probabilistic model\u201d<\/a>, de Marcos Matabuena, Carlos Meijide-Garc\u00eda, Pablo Rodr\u00edguez-Mier y V\u00edctor Lebor\u00e1n. Con nuestros comentarios no pretendemos reproducir su contenido, sino poner de manifiesto c\u00f3mo es posible partir de un modelo sencillo, basado en una cadena de Markov, y generar una variante m\u00e1s avanzada prescindiendo de los principios Markovianos.<\/p>\n Previamente, es obligado hacer dos observaciones necesarias para entender c\u00f3mo describir una cadena de Markov en tiempo continuo desde elementos m\u00e1s sencillos. En concreto, una cadena de Markov en tiempo continuo, denotada por {X(t): t<\/em>\u2265<\/em>0},<\/em> podemos describirla a trav\u00e9s de combinar dos elementos:<\/p>\n El lector avanzado dentro de la teor\u00eda de procesos estoc\u00e1sticos observar\u00e1 que la anterior descripci\u00f3n se refiere a una cadena de Markov en tiempo continuo regular y no de cualquiera, pero esta descripci\u00f3n es suficiente para nuestro objetivo en este ejemplo.<\/p>\n En este caso, el modelo de Marcos Matabuena, Carlos Meijide-Garc\u00eda, Pablo Rodr\u00edguez-Mier y V\u00edctor Lebor\u00e1n contiene las siguientes variables:<\/p>\n S(t):<\/em>\u00a0 n\u00famero de individuos susceptibles en el instante t<\/em><\/p>\n I<\/em>1<\/em>(t):<\/em> n\u00famero de individuos infectados que est\u00e1n incubando el virus en el instante t<\/em><\/p>\n I<\/em>2<\/em>(t):<\/em>\u00a0 n\u00famero de individuos infectados que han pasado el periodo de incubaci\u00f3n, pero no muestran s\u00edntomas de la enfermedad en el instante t<\/em><\/p>\n I<\/em>3<\/em>(t):<\/em>\u00a0 n\u00famero de individuos infectados que han pasado el periodo de incubaci\u00f3n y presentan s\u00edntomas en el instante t<\/em><\/p>\n R<\/em>1<\/em>(t):<\/em> n\u00famero de individuos recuperados que son todav\u00eda capaces de infectar a otros en el instante t<\/em><\/p>\n R<\/em>2<\/em>(t):<\/em> n\u00famero de individuos recuperados que no son capaces de infectar a otros en el instante t<\/em><\/p>\n M(t):<\/em> n\u00famero de fallecidos acumulados hasta el instante t<\/em><\/p>\n Entonces, I(t) = I<\/em>1<\/em>(t) + I<\/em>2<\/em>(t) +I<\/em>3<\/em>(t)<\/em> representa el n\u00famero total de infectados en el instante de tiempo t<\/em>, y R(t) = R<\/em>1<\/em>(t) + R<\/em>2<\/em>(t)<\/em> es el n\u00famero de recuperados.<\/p>\n El siguiente gr\u00e1fico es una representaci\u00f3n esquem\u00e1tica de las transiciones entre los siete compartimentos<\/em> o subpoblaciones que las variables anteriores generan:<\/p>\n Representaci\u00f3n esquem\u00e1tica tomada desde el art\u00edculo de Marcos Matabuena, Carlos Meijide-Garc\u00eda, Pablo Rodr\u00edguez-Mier y V\u00edctor Lebor\u00e1n, arxiv.org\/abs\/2004.13695<\/em><\/p>\n <\/p>\n Si queremos alimentar la sopa de letras<\/a> surgida desde el modelo SIR, entonces la anterior figura es un ejemplo de otra variante del modelo SIR.<\/p>\n El modelo construido para las anteriores variables aleatorias sirve a los autores para extraer interesantes conclusiones para Espa\u00f1a, con comentarios espec\u00edficos sobre sus Comunidades Aut\u00f3nomas, aunque no lo hagan directamente desde una cadena de Markov en tiempo continuo, sino un proceso inspirado en ella. En concreto, usan una matriz de transici\u00f3n de la cadena encajada de la forma<\/p>\n\n
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