{"id":148001,"date":"2020-05-25T12:02:38","date_gmt":"2020-05-25T11:02:38","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148001"},"modified":"2020-05-25T12:02:38","modified_gmt":"2020-05-25T11:02:38","slug":"la-ley-de-los-grandes-numeros-y-el-libre-albedrio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/05\/25\/148001","title":{"rendered":"La ley de los grandes n\u00fameros y el libre albedr\u00edo"},"content":{"rendered":"

Bajo el nombre de ley de los grandes n\u00fameros<\/em> son conocidos aquellos resultados del C\u00e1lculo de Probabilidades sobre la estabilidad a largo plazo de las realizaciones de una familia de variables aleatorias. Tradicionalmente, la primera ley de los grandes n\u00fameros es atribuida al matem\u00e1tico suizo Jacob Bernoulli (Basel, 1654 \u2013 Basel, 1705), aunque su demostraci\u00f3n fuera publicada en 1713 por su sobrino Nicholas como parte de su libro p\u00f3stumo Ars Conjectandi<\/em> (El Arte de Hacer Conjeturas<\/em>). Formalmente, se refiere a una sucesi\u00f3n de variables aleatorias independientes e id\u00e9nticamente distribuidas con varianza finita y asegura que el promedio de las n<\/em> primeras observaciones (variables aleatorias) se acerca a la media te\u00f3rica cuando el n\u00famero n<\/em> de repeticiones tiende hacia infinito.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Para llevar la contraria a algunos de nuestros colegas, tenemos la satisfacci\u00f3n de puntualizar aqu\u00ed que, previamente a la contribuci\u00f3n de Jacob Bernoulli, el matem\u00e1tico italiano Gerolamo Cardano (Pavia, 1501 \u2013 Roma, 1576) ya hab\u00eda enunciado esta ley, de manera m\u00e1s intuitiva, en el sentido de que repetir un ensayo muchas veces mejora la probabilidad de un suceso.<\/p>\n

La relaci\u00f3n con la definici\u00f3n frecuentista de probabilidad<\/strong><\/p>\n

Pongamos un ejemplo sencillo. Supongamos que pretendemos conocer la probabilidad del suceso \u201cobtener 3\u201d en el lanzamiento de un dado equilibrado y que, para ello, repetimos una y otra vez, de manera independiente y bajo id\u00e9nticas condiciones, el lanzamiento de un dado registrando un 1 si se observa como resultado \u201c3\u201d, y un 0 en el caso de obtener otros resultados; es decir, la variable aleatoria asociada a cada repetici\u00f3n toma los valores 1 y 0 con probabilidades 1\/6 y 5\/6, respectivamente. La frecuencia de aparici\u00f3n del resultado \u201c3\u201d durante los primeros n<\/em> lanzamientos equivale al cociente entre la suma de los 1\u2019s asociados a los n<\/em> lanzamientos y el n\u00famero n<\/em> de lanzamientos. Cuando el n\u00famero de lanzamientos es suficientemente grande, la aparici\u00f3n porcentual del suceso \u201cobtener 3\u201d ser\u00e1 muy cercana a la probabilidad te\u00f3rica 1\/6 del suceso, gracias a que la media de la variable aleatoria asociada a un \u00fanico lanzamiento (es decir, 1 x 1\/6 + 0 x 5\/6) coincide con la probabilidad 1\/6 del suceso.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Jakob Bernouilli<\/figcaption><\/figure>\n

Dos tipos de convergencias estoc\u00e1sticas de sucesiones de variables aleatorias \u2013 la convergencia en probabilidad (ley d\u00e9bil) y la convergencia casi segura (ley fuerte) \u2013 permiten dar el aspecto formal moderno a un resultado tan famoso que, hasta la d\u00e9cada de 1930, fue empleado como definici\u00f3n frecuentista<\/em> de la noci\u00f3n de probabilidad de un suceso.<\/p>\n

A partir de 1930, la definici\u00f3n axiom\u00e1tica de espacio de probabilidad, formulada por el matem\u00e1tico ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Tambov, 1903 \u2013 Mosc\u00fa, 1987) encajar\u00eda los problemas probabil\u00edsticos en el contexto de la Teor\u00eda de la Medida. Ese hecho result\u00f3 crucial y ha significado el desarrollo de un importante n\u00famero de resultados que, inspirados en las primeras leyes de los grandes n\u00fameros, est\u00e1n orientados hacia la generalizaci\u00f3n de la hip\u00f3tesis de independencia entre variables aleatorias, entre otros aspectos.<\/p>\n

Una lucha que transcendi\u00f3 m\u00e1s all\u00e1 de las matem\u00e1ticas<\/strong><\/p>\n

El teorema de Jacob Bernouilli fue conocido como el \u201cTeorema de Oro\u201d o \u201cTeorema de Bernouilli\u201d hasta que, en 1837, Simeon Denis Poisson (Loiret, 1781-Sceaux, 1840) lo cit\u00f3 con su nombre actual, que es el que ha prevalecido hasta nuestros d\u00edas. Posteriormente, Chebyshev, es decir, Pafnuti Lv\u00f3vich Chebyshov (Ok\u00e1tovo, 1821 \u2013 San Petersburgo, 1894) public\u00f3 una nueva prueba que su disc\u00edpulo Andrei Markov mejor\u00f3 notablemente.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Pavel Nekrasov<\/figcaption><\/figure>\n

Lo que no es tan conocido en la historia de las leyes de los grandes n\u00fameros es la pol\u00e9mica que Andrei Markov mantuvo con su colega matem\u00e1tico Pavel Nekrasov (1853 \u2013 1924), de la Universidad de Mosc\u00fa, desde 1905 en San Petersburgo.<\/p>\n

Pavel Nekrasov hab\u00eda estudiado primero Teolog\u00eda en un seminario ortodoxo y fue uno de los matem\u00e1ticos rusos influenciados por la religi\u00f3n, lo que le provoc\u00f3 muchos problemas a pesar de que, tras la Revoluci\u00f3n de Octubre, intentara sin mucho \u00e9xito una aproximaci\u00f3n al marxismo.<\/p>\n

La disputa entre Andrei Markov y Pavel Nekrasov se desarroll\u00f3 en torno a la ley de los grandes n\u00fameros. La demostraci\u00f3n dada por Pavel Nekrasov se basaba en la hip\u00f3tesis de independencia entre los sucesos aleatorios (en el anterior ejemplo, cada vez que lanzo el dado se asume la independencia entre los sucesos observados), mientras que Andrei Markov prob\u00f3 que esa hip\u00f3tesis no era necesaria. En otras palabras, el teorema era cierto incluso cuando hubiese dependencia entre las variables aleatorias (bajo ciertas condiciones).<\/p>\n

Andrei Markov despreciaba el trabajo de Pavel Nekrasov diciendo que sus obras \u201ceran un abuso de las matem\u00e1ticas\u201d. Es evidente que no hab\u00eda mucha amistad entre ellos, aunque para entender mejor la agresividad de estos comentarios tendr\u00edamos que destacar que Andrei Markov no era precisamente conocido por ser un \u201chombre de paz\u201d y que, por el contrario, era de un car\u00e1cter molesto, incluso con sus amigos, y despiadado con sus rivales.<\/p>\n

Pero el fondo de la cuesti\u00f3n ten\u00eda trasfondo teol\u00f3gico porque la pelea versaba sobre la existencia o no del libre albedr\u00edo. Pavel Nekrasov y Andrei Markov, como la mayor\u00eda de los matem\u00e1ticos rusos, cre\u00edan que las matem\u00e1ticas afectaban a la religi\u00f3n, pero sus aproximaciones y conclusiones eran opuestas. Si por un lado Pavel Nekrasov era zarista y ortodoxo, por el otro lado Andrei Markov era antizarista y ateo.<\/p>\n

La cuesti\u00f3n era:<\/p>\n

\u00bfPod\u00eda la teor\u00eda de probabilidades dar una respuesta a esta cuesti\u00f3n de si tenemos libertad en nuestros actos o est\u00e1n estos predeterminados por Dios? <\/em><\/strong><\/p>\n

Seg\u00fan Pavel Nekrasov, la ley de los grandes n\u00fameros no era capaz de explicar \u00a0las regularidades estad\u00edsticas observadas en la vida social. En concreto, argumentaba que los actos voluntarios ten\u00edan que ser considerados como eventos independientes desde el punto de vista de la probabilidad. As\u00ed que la gente actuaba con libre albedr\u00edo, de acuerdo con la doctrina ortodoxa.<\/p>\n

Mostrando su disconformidad con esta visi\u00f3n, Andrei Markov se lanz\u00f3 a buscar un ejemplo en el que se observara dependencia y, a pesar de ello, se cumpliera la ley de los grandes n\u00fameros. El ataque a los argumentos de su rival fue el estudio del poema en verso Eugene Onegin<\/em> de Alexander Pushkin, que dio lugar al descubrimiento de las cadenas de Markov, tal y como hemos descrito en una de nuestras recientes entradas<\/a>.<\/p>\n

Como hemos visto, las relaciones de Andrei Markov con la iglesia ortodoxa no eran muy buenas. De hecho, cuando Leon Tolstoi fue excomulgado, Andrei Markov pidi\u00f3 el mismo trato. Le fue concedido de manera inmediata.<\/p>\n

_____<\/strong><\/p>\n

<\/em>Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (Instituto de Ciencias Matem\u00e1ticas CSIC<\/em>, Real Academia de Ciencias) y Antonio G\u00f3mez Corral<\/strong> (Universidad Complutense de Madrid)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Bajo el nombre de ley de los grandes n\u00fameros son conocidos aquellos resultados del C\u00e1lculo de Probabilidades sobre la estabilidad a largo plazo de las realizaciones de una familia de variables aleatorias. Tradicionalmente, la primera ley de los grandes n\u00fameros es atribuida al matem\u00e1tico suizo Jacob Bernoulli (Basel, 1654 \u2013 Basel, 1705), aunque su demostraci\u00f3n fuera publicada en 1713 por su sobrino Nicholas como parte de su libro p\u00f3stumo Ars Conjectandi (El Arte de Hacer Conjeturas). 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