{"id":148025,"date":"2020-06-01T14:27:41","date_gmt":"2020-06-01T13:27:41","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148025"},"modified":"2020-06-01T14:33:19","modified_gmt":"2020-06-01T13:33:19","slug":"series-temporales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/06\/01\/148025","title":{"rendered":"Series temporales"},"content":{"rendered":"

Las t\u00e9cnicas matem\u00e1ticas para evaluar la extensi\u00f3n y el impacto de una epidemia y ayudar a su control son muy variadas. Hemos comentado en este blog sobre modelos como el modelo SIR<\/a> y sus variante<\/a>s, o aquellos donde se usan cadenas de Markov<\/a>. En ellos se mezclan herramientas determin\u00edsticas, construidas desde ecuaciones diferenciales, con estoc\u00e1sticas, basadas en la teor\u00eda de probabilidad y los procesos estoc\u00e1sticos. Pero existen otras t\u00e9cnicas matem\u00e1ticas que demuestran ser muy \u00fatiles, son las series temporales.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Serie temporal sobre la incidencia de la Covid-19 en Espa\u00f1a. Fuente: Santiago Garc\u00eda Cremades<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Una serie temporal no es m\u00e1s que una colecci\u00f3n de datos que tradicionalmente son recogidos en instantes de tiempo equidistantes (por ejemplo, los litros de lluvia recogidos cada d\u00eda en un determinado lugar), aunque \u00e9sta sea s\u00f3lo una de las diferentes situaciones con las que tratar en la pr\u00e1ctica. Hay por lo tanto un aspecto clave y es precisamente la evoluci\u00f3n de estos datos con el tiempo, no tratamos con sucesos aleatorios. Con una serie temporal se trata de analizar lo que ha ocurrido en el pasado, pero tambi\u00e9n poder predecir el futuro.<\/p>\n

Los desarrollos te\u00f3ricos del an\u00e1lisis de series temporales comenzaron con el estudio de los procesos estoc\u00e1sticos. La primera aplicaci\u00f3n a datos puede atribuirse al trabajo de G. U Yule y J. Walker en las d\u00e9cadas de 1920 y1930. Es en esa \u00e9poca cuando se introduce la media m\u00f3vil, de la que hablaremos a continuaci\u00f3n, y posteriormente Herman Wold introduce su modelo ARMA (AutoRegressive Moving Average<\/em>) para series estacionarias, aunque la explotaci\u00f3n completa del modelo tuvo que esperar a los a\u00f1os 1970, cuando aparece un libro cl\u00e1sico en el tema, \u00abTime Series Analysis\u00bb<\/em>, escrito por G. E. P. Box y G. M. Jenkins.<\/p>\n

\"\"<\/a>
George Udny Yule<\/figcaption><\/figure>\n

Un aspecto clave en una serie temporal es conseguir los datos (y garantizar que estos sean fiables), organizarlos temporalmente de la manera adecuada, examinar las tendencias (crecimiento o decrecimiento) e identificar datos que parezcan discordantes. Otro aspecto importante es la existencia de estacionalidad en los datos, porque esa propiedad es una informaci\u00f3n relevante.<\/p>\n

Esta imagen es una representaci\u00f3n gr\u00e1fica t\u00edpica de una serie temporal, con los valores o datos en el eje de ordenadas y el tiempo en el eje de abscisas:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Esta otra se refiere a periodos plurianuales y podemos encontrarla actualizada en la web embalses.net.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Los datos se representan mediante una variable X,<\/em> que depende del tiempo t<\/em>, y se suele descomponer en tres contribuciones que se combinan y conducen, por ejemplo, a la relaci\u00f3n<\/p>\n

Xt<\/sub> = Tt<\/sub> + Et<\/sub> + It<\/sub>,<\/em><\/p>\n

donde la contribuci\u00f3n Tt<\/sub><\/em> representa la tendencia<\/em>, Et<\/sub><\/em> es la parte estacional<\/em> e It<\/sub><\/em> es la parte aleatoria<\/em>. En concreto, Et <\/sub><\/em>se denomina a veces se\u00f1al<\/em>, e It <\/sub><\/em>es el ruido<\/em>. Esta descomposici\u00f3n est\u00e1 vinculada a un modelo aditivo. En general, tendr\u00edamos que referirnos a una funci\u00f3n gen\u00e9rica de esas tres componentes, es decir,<\/p>\n

Xt<\/sub> = f(Tt<\/sub>,Et<\/sub>,It<\/sub>).<\/em><\/p>\n

Por ejemplo, esa funci\u00f3n podr\u00eda ser el producto de las variables y tendr\u00edamos una serie multiplicativa<\/p>\n

Xt<\/sub> = Tt<\/sub> \u00b7 Et<\/sub> \u00b7 It <\/sub>.<\/em><\/p>\n

En cualquier caso, lo que tratamos de conseguir al analizar una serie temporal es identificar si existen patrones de regularidad o no. Si no existieran, estar\u00edamos ante un proceso aleatorio y no podr\u00edamos extraer mucha informaci\u00f3n.<\/p>\n

Observar los datos para aprender sobre el modelo<\/strong><\/p>\n

A veces, la propia representaci\u00f3n gr\u00e1fica nos da mucha informaci\u00f3n y la visualizaci\u00f3n de los datos es un gran aliado a la hora de identificar el patr\u00f3n de comportamiento. Pensemos, por ejemplo, en que representamos temperaturas mensuales en un proceso de cambio clim\u00e1tico. Habr\u00e1 fluctuaciones que mostrar\u00e1n una tendencia creciente. Aunque esto es muy intuitivo, se pueden desarrollar m\u00e9todos matem\u00e1ticos que son bastante precisos a la hora de predecir temperaturas en instantes futuros.<\/p>\n

Al representar los datos pretendemos, en un primer momento, descartar o no discontinuidades aparentes en la serie. En el caso de observar, por ejemplo, un cambio repentino de nivel de los datos puede ser aconsejable analizar la serie dividi\u00e9ndola primero en segmentos homog\u00e9neos. Si hubiera observaciones extra\u00f1as, \u00e9stas deber\u00edan estudiarse cuidadosamente para verificar si hay alguna justificaci\u00f3n para descartarlas; por ejemplo, si una observaci\u00f3n ha sido grabada incorrectamente o responde efectivamente a las din\u00e1micas de la serie temporal. La inspecci\u00f3n del gr\u00e1fico tambi\u00e9n deber\u00eda sugerir la posibilidad de representar los datos como una realizaci\u00f3n del proceso (volvamos al ejemplo anterior con una descomposici\u00f3n lineal)<\/p>\n

Xt<\/sub> = Tt<\/sub> + Et<\/sub> + It<\/sub>,<\/em><\/p>\n

donde el ruido aleatorio podr\u00eda ser (d\u00e9bilmente) estacionario, en el sentido de que E[It<\/sub>] <\/em>no depende de t <\/em>y Cov(It<\/sub>, It+s<\/sub>)<\/em> <\/em>no depende de t, <\/em>para cada s. <\/em>Con esta propiedad se pretende que el valor promedio del ruido aleatorio registrado en un cierto instante no dependa del instante de observaci\u00f3n y que el grado de correlaci\u00f3n entre los ruidos observados en dos instantes de tiempo no dependa de esos instantes de tiempo, sino del tiempo transcurrido entre ellos. Cuando las fluctuaciones de la estacionalidad y el ruido aumentan con el nivel del proceso, es aconsejable realizar una transformaci\u00f3n, por ejemplo, logar\u00edtmica de los datos para que los datos resultantes sean m\u00e1s compatibles con el modelo.<\/p>\n

Supongamos que la relaci\u00f3n Xt<\/sub> = Tt<\/sub> + Et<\/sub> + It<\/sub> <\/em>es el modelo apropiado, posiblemente despu\u00e9s de una transformaci\u00f3n preliminar de los datos. En tal caso, el objetivo ser\u00eda estimar y extraer las componentes deterministas Tt<\/sub> <\/em>y Et<\/sub><\/em>, con la esperanza de que el residuo estoc\u00e1stico It <\/sub><\/em>sea una serie estacionaria en el tiempo. Entonces, podr\u00edamos usar la teor\u00eda de los procesos estacionarios para encontrar un modelo probabil\u00edstico satisfactorio para It<\/sub>, <\/em>no s\u00f3lo para estudiar sus propiedades, sino tambi\u00e9n para usarlo junto a Tt<\/sub> <\/em>y Et<\/sub><\/em> con el fin de predecir y simular Xt<\/sub>.<\/em><\/p>\n

Otro enfoque, desarrollado ampliamente por G. E. P. Box y G. M. Jenkins (1976), consiste en aplicar operadores de diferenciaci\u00f3n repetidamente a la serie Xt<\/sub><\/em> hasta que las observaciones diferenciadas se asemejen a la realizaci\u00f3n de alguna serie temporal estacionaria Wt<\/sub><\/em>. Entonces se usar\u00eda la teor\u00eda de los procesos estacionarios para el modelado, el an\u00e1lisis y la predicci\u00f3n de Wt<\/sub><\/em> y, por lo tanto, del proceso original.<\/p>\n

Algunos elementos sencillos<\/strong><\/p>\n

La tendencia de una serie temporal puede estudiarse, a nivel preliminar, con lo que llamamos filtros<\/em> o funciones que transforman la serie original en otra que nos da m\u00e1s informaci\u00f3n sobre la dada. Uno de esos filtros, probablemente el m\u00e1s simple, es la llamada media m\u00f3vil<\/em>. Por ejemplo, si damos tres valores consecutivos, Xt-1<\/sub>, Xt<\/sub>, Xt+1<\/sub>,<\/em> la media m\u00f3vil es<\/p>\n

m(Xt<\/sub>) = (Xt-1<\/sub> + Xt<\/sub> + Xt+1<\/sub>) \/ 3.<\/em><\/p>\n

Pero \u00e9sta es solo una de las m\u00faltiples posibilidades. Tambi\u00e9n podemos suavizar<\/em> la serie tomando diferencias consecutivas, y esto lo podemos hacer recursivamente. Estos procesos de filtrado nos dar\u00e1n la informaci\u00f3n sobre la tendencia de la serie temporal.<\/p>\n

El promedio m\u00f3vil y el suavizado espectral son esencialmente m\u00e9todos no param\u00e9tricos para la estimaci\u00f3n de tendencias (o se\u00f1ales) y no para la construcci\u00f3n de modelos. La elecci\u00f3n del filtro de suavizado requiere una buena dosis de juicio subjetivo y se recomienda que se pruebe una variedad de filtros para tener una buena idea de la tendencia subyacente. El suavizado exponencial, dado que se basa s\u00f3lo en un promedio m\u00f3vil de valores pasados, a menudo se usa para pronosticar, mientras que el valor suavizado en el momento actual es utilizado como el pron\u00f3stico del siguiente valor.<\/p>\n

Otro m\u00e9todo m\u00e1s expeditivo es determinar una recta (con generalidad, un polinomio) de regresi\u00f3n por el m\u00e9todo de m\u00ednimos cuadrados, que nos dar\u00eda una informaci\u00f3n gr\u00e1fica como \u00e9sta:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Otra t\u00e9cnica de an\u00e1lisis en series temporales consiste en analizar sus cambios a lo largo del tiempo mediante las denominadas tasas de variaci\u00f3n<\/em>, que surgen de la comparaci\u00f3n de los valores de la serie en dos periodos de tiempo distintos, por ejemplo,<\/p>\n

\u2206Xt<\/sub> = Xt <\/sub>– Xt-1<\/sub><\/em><\/p>\n

y la tasa relativa<\/p>\n

mt<\/sub> = \u2206Xt <\/sub>\/ Xt-1<\/sub><\/em><\/p>\n

que nos ir\u00e1 dando raz\u00f3n de su crecimiento o decrecimiento.<\/p>\n

Para observar la estacionalidad, se puede emplear el coeficiente de autocorrelaci\u00f3n<\/em>, que no es m\u00e1s que el coeficiente de correlaci\u00f3n de dos variables, pero ahora aplicado a los pares consecutivos de los valores de la serie<\/p>\n

(X1<\/sub>, X2<\/sub>), (X2<\/sub>, X3<\/sub>), \u2026, (Xt-1<\/sub>, Xt<\/sub>), (Xt<\/sub>, Xt+1<\/sub>), \u2026<\/em><\/p>\n

Esto nos da el coeficiente de correlaci\u00f3n de orden 1; si tomamos pares separados por dos unidades, obtenemos el de orden 2 y, as\u00ed sucesivamente, hasta que el n\u00famero de datos lo permita.<\/p>\n

M\u00e9todos de estudio<\/strong><\/p>\n

Por supuesto, estos elementos son s\u00f3lo los m\u00e1s simples, como pretenden mostrar nuestros comentarios, de todos los usados en una amplia variedad de modelos de series temporales ARMA, ARIMA, SARIMA, modelos multivariantes y espacio-tiempo, entre otros, que podemos encontrar exhaustivamente estudiados en un buen n\u00famero de monograf\u00edas. Nosotros nos inclinamos por todo un cl\u00e1sico: el texto de J.P. Brockwell y R.A. Davis titulado \u201cIntroduction to Time Series and Forecasting\u201d,<\/em> publicado por Springer en sus sucesivas ediciones en los a\u00f1os 1996, 2002 y 2016.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

En numerosas ocasiones, se pueden encontrar implementaciones en R de modelos de series temporales aplicadas a una variedad de \u00e1mbitos, como es el modelo SIR de epidemia<\/a>. Bajo el t\u00e9rmino R (\u201cThe R Project for Statistical Computing<\/a>\u201d) se conoce un entorno de software libre para la computaci\u00f3n estad\u00edstica y gr\u00e1fica, que compila y se ejecuta en una amplia variedad de plataformas UNIX, Windows y MacOS. La comunidad cient\u00edfica hace uso extensivo de este software y es com\u00fan que los cient\u00edficos pongan a disposici\u00f3n de sus colegas, de manera altruista, los c\u00f3digos desarrollados en sus trabajos.<\/p>\n

Son tantos los modelos de series temporales y tan variadas las t\u00e9cnicas de an\u00e1lisis que no podemos concluir esta entrada sin poner de manifiesto que la literatura sobre series temporales y su tratamiento anal\u00edtico alude a una clasificaci\u00f3n en:<\/p>\n