{"id":148359,"date":"2020-09-05T17:34:49","date_gmt":"2020-09-05T16:34:49","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148359"},"modified":"2020-09-05T17:34:49","modified_gmt":"2020-09-05T16:34:49","slug":"el-ultimo-secreto-del-dodecaedro","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/09\/05\/148359","title":{"rendered":"El \u00faltimo secreto del dodecaedro"},"content":{"rendered":"

He le\u00eddo en Quanta Magazine, esa espectacular revista digital de matem\u00e1ticas (pero tambi\u00e9n con contenidos de F\u00edsica, Biolog\u00eda y Ciencias de la Computaci\u00f3n) un art\u00edculo que me ha llamado la atenci\u00f3n y cuyo contenido me gustar\u00eda compartir con los lectores de Matem\u00e1ticas y sus fronteras. La lectura del mismo me ha llevado, como ocurre siempre en estos casos, a investigar los resultados que all\u00ed se reflejan.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Dodecaedro<\/figcaption><\/figure>\n

El art\u00edculo de Quanta Magazine se titula Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron<\/a><\/strong>,<\/strong> y lo firma Erica Klarreich. Recoge, de una manera sensacional, los resultados de estos dos art\u00edculos A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron<\/a>,\u00a0<\/strong> de los matem\u00e1ticos, <\/strong>Jayadev S. Athreya y David Aulicino, y este otro, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces<\/strong><\/a>, de Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper. Athreya es profesor en la Universidad de Washington, Aulicino trabaja en el Brooklyn College, y Hooper en el City College de Nueva York.<\/p>\n

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Jayadev S. Athreya<\/figcaption><\/figure>\n
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David Aulicino<\/figcaption><\/figure>\n
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Pat Hooper<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

El resultado que han obtenido ha sorprendido al colectivo matem\u00e1tico, ya que pocas novedades desconocidas se pod\u00edan esperar de los dodecaedros.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Los cinco s\u00f3lidos plat\u00f3nicos<\/figcaption><\/figure>\n

Como sabemos, se pueden construir pol\u00edgonos planos regulares de cualquier n\u00famero d elados, no hay ninguna limitaci\u00f3n. Pero no es as\u00ed cuando nos pasamos al mundo tridimensional. Solo se pueden construir cinco poliedros con caras iguales y que sean pol\u00edgonos regulares: tetraedro ( 4 tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros), cubo o hexaedro (6 cuadrados), octaedreo (8 tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros), dodecaedro (12 pent\u00e1gonos regulares) y el icosaedro (20 tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros). La raz\u00f3n est\u00e1 en la f\u00f3rmula de Euler C+V = A+2 (el n\u00famero de caras m\u00e1s el n\u00famero de v\u00e9rtices debe ser dos unidades mayor que el n\u00famero de aristas).<\/p>\n

Esta sorprendente realidad ha dado lugar a que estos s\u00f3lidos, llamados a veces plat\u00f3nicos, sean objeto de supuestas propiedades m\u00e1gicas o esenciales, como hemos ya comentado en otras entradas de este blog (ve\u00e1se por ejemplo De c\u00f3mo el demiurgo construy\u00f3 el universo con tri\u00e1ngulos<\/strong><\/a>).<\/p>\n

Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper se han estudiado el siguiente problema sobre los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos:<\/p>\n

Partiendo de un v\u00e9rtice en uno de ellos, \u00bfse puede trazar una trayetoria recta de manera que se vuelva al v\u00e9rtice de partida sin pasar por ninguno de los otros v\u00e9rtices?<\/em><\/p>\n

Lo primero a dilucidar es lo que se entiende por una l\u00ednea recta, y es esto: Una trayectoria en l\u00ednea recta en la superficie de un poliedro es una l\u00ednea recta dentro de una cara que se extiende \u00fanicamente sobre un borde de modo que cuando las caras adyacentes se aplanan la trayectoria forma una l\u00ednea recta en el plano.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La respuesta es negativa (as\u00ed se consideraba al menos) en todos los casos excepto en el dodecaedro, que hasta ahora era desconocido. La demostraci\u00f3n ha requerido el uso de modernas t\u00e9cnicas geom\u00e9tricas as\u00ed como de computaci\u00f3n. Primero, Athreya y Aulicino, en su paper publicado en The Amer. Math. Monthly, probaron la existencia de un tal camino, y despu\u00e9s con Hooper, elaboraron una teor\u00eda completa.<\/p>\n

La idea fue considerar los desplegables o desarrollos de los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos. Como vemos en estas figuras,<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

se convierten en una red o grafo plano a partir del cu\u00e1l, usando las identificaciones adecuadas, se reconstruyen los s\u00f3lidos. Es algo que los estudiantes trabajan en las escuelas. Estos ret\u00edculos poseen cada uno de ellos unas curvas de Teichm\u00fcller cuyas topolog\u00edas calcularon. La curva de Teichm\u00fcller del dodecaedro desplegado tiene el g\u00e9nero 131 con 19 singularidades c\u00f3nicas y 362 c\u00faspides. Esto les permite obtener que hay 31 maneras diferentes de conectar v\u00e9rtices por trayectorias rectil\u00edneas (en realidad, geod\u00e9sicas).<\/p>\n

En este video, Jayadev S. Athreya explica sus resultados de una manera muy clara, lo recomiendo encarecidamente<\/p>\n

[youtube]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=G9_l8QASobI&feature=emb_logo[\/youtube]<\/p>\n

En esta p\u00e1gina web<\/a> creada por David Aulicino, puede usted visualizar todas esas trayectorias de las que hablamos<\/p>\n

___________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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