{"id":148475,"date":"2020-10-29T22:27:10","date_gmt":"2020-10-29T21:27:10","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148475"},"modified":"2020-11-05T19:20:29","modified_gmt":"2020-11-05T18:20:29","slug":"historias-de-pi-de-la-geometria-al-numero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/10\/29\/148475","title":{"rendered":"Historias de Pi: de la geometr\u00eda al n\u00famero"},"content":{"rendered":"

Como todos sabemos, \u03c0 es la relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro. Una definici\u00f3n puramente geom\u00e9trica. Vamos a hablar de esta curiosa relaci\u00f3n que impregna las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

La definici\u00f3n de c\u00edrculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:<\/p>\n

Definici\u00f3n 15.<\/strong> Un c\u00edrculo es una figura plana comprendida por una sola l\u00ednea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que est\u00e1n dentro de la figura son iguales entre s\u00ed.<\/p>\n

Definici\u00f3n 16.<\/strong> Y el punto se llama centro del c\u00edrculo.<\/p>\n

Definici\u00f3n 17.<\/strong> Un di\u00e1metro de un c\u00edrculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del c\u00edrculo; esta l\u00ednea recta tambi\u00e9n divide el c\u00edrculo en dos partes iguales.<\/p>\n

Y a\u00f1ade este postulado:<\/p>\n

Postulado 3.<\/strong> Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.<\/p>\n

Desde el punto de vista puramente geom\u00e9trico, la pregunta que uno se deber\u00eda hacer es esta: \u00bfPor qu\u00e9 el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su di\u00e1metro es una constante?<\/p>\n

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el di\u00e1mtro tambi\u00e9n lo hace, y lo mismo si disminuy\u00e9ramos el tama\u00f1o. Pero claro, esto no es una demostraci\u00f3n.<\/p>\n

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).<\/p>\n

Dados dos c\u00edrculos conc\u00e9ntricos como en la figura 1, tales que el radio del m\u00e1s peque\u00f1o es r, <\/em>mientras que el del m\u00e1s grande es R<\/em>. Sus circunferencias tienen longitudes c<\/em> y C<\/em>, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos tri\u00e1ngulos de la figura, que ser\u00e1n semejantes, ya que la proporci\u00f3n de los lados es la misma y tienen el \u00e1ngulo com\u00fan \u03b1.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 1<\/figcaption><\/figure>\n

Por lo tanto, \u00a0las cuerdas guardar\u00e1n la misma proporci\u00f3n. Si\u00a0\u03b2 es el \u00e1ngulo de\u00a0 que corresponde al c\u00edrculo completo ( 360o<\/sup> ), entonces \u03b2\/\u03b1 . k = \u03b2\/\u03b1 . K , donde k<\/em> y K<\/em> son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c\/C<\/em> se aproximar\u00eda a r\/R, <\/em>y si ahora ahora \u03b1\u00a0 se fuera haciendo cada vez m\u00e1s peque\u00f1o, ser\u00edan iguales. En conclusi\u00f3n, c\/r = C\/R.<\/em><\/p>\n

Esta demostraci\u00f3n padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar pol\u00edgonos inscritos en cada una de las circunferencias y tambi\u00e9n usar un argumento de paso al l\u00edmite. Este razonamiento es similar al que us\u00f3 Arqu\u00edmedes para demostrar la afirmaci\u00f3n similar relativa a la relaci\u00f3n de las \u00e1reas de dos c\u00edrculos en relaci\u00f3n con los cuadrados de los radios respectivos.<\/p>\n

Por supuesto, lo m\u00e1s riguroso ser\u00eda considerar la f\u00f3rmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pit\u00e1goras (Figura 2) nos dice que la funci\u00f3n que define la circunferencia es<\/p>\n

f(x) = \u221ar2<\/sup> \u2013x2<\/sup><\/em><\/p>\n

<\/em>y de ah\u00ed integramos la funci\u00f3n longitud de arco<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

entre \u2013r y r.<\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 2<\/figcaption><\/figure>\n

El resultado (tras un cambio de variable) nos dir\u00e1 que esa longitud es s = r c0 <\/sub><\/em>, donde c0 <\/sub><\/em>\u00a0es una cosntante que no depende de r<\/em>. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria ser\u00e1<\/p>\n

C = 2 s = 2 c0<\/sub><\/em> r<\/p>\n

y por lo tanto \u00a0la relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro es constante, precisamente c0<\/sub><\/em> (que no es m\u00e1s que el n\u00famero \u03c0.<\/p>\n

___________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Como todos sabemos, \u03c0 es la relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro. Una definici\u00f3n puramente geom\u00e9trica. Vamos a hablar de esta curiosa relaci\u00f3n que impregna las matem\u00e1ticas. \u00a0   La definici\u00f3n de c\u00edrculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides: Definici\u00f3n 15. Un c\u00edrculo es una figura plana comprendida por una sola l\u00ednea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que est\u00e1n dentro de la figura son iguales entre s\u00ed. Definici\u00f3n 16. Y el punto se llama centro del c\u00edrculo. 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