{"id":148524,"date":"2020-11-05T13:33:14","date_gmt":"2020-11-05T12:33:14","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148524"},"modified":"2020-11-05T19:19:56","modified_gmt":"2020-11-05T18:19:56","slug":"historias-de-pi-calculando-el-area-del-circulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2020\/11\/05\/148524","title":{"rendered":"Historias de Pi: calculando el \u00e1rea del c\u00edrculo"},"content":{"rendered":"

En una entrada previa<\/a>, reflexionamos sobre le relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro, que, como aprendimos en la escuela, es\u00a0 el n\u00famero \u03c0 . Una relaci\u00f3n similar ocurre cuando queremos calcular el \u00e1rea de un c\u00edrculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por \u03c0. Pero esta relaci\u00f3n de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Estos teoremas de la geometr\u00eda (pues eso son) que se enuncian tan f\u00e1cilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noci\u00f3n que los matem\u00e1ticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de l\u00edmite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Arqu\u00edmedes seg\u00fan Domenico Fetti (1620)<\/figcaption><\/figure>\n

Una primera prueba de que el \u00e1rea de un c\u00edrculo de radio r<\/em> es A = \u03c0\u00a0 r<\/em>2<\/sup> se debe a Arqu\u00edmedes. Si pensamos en una sucesi\u00f3n de pol\u00edgonos regulares inscritos en el c\u00edrculo, sabemos que el \u00e1rea de cada uno de ellos es la mitad del per\u00edmetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al l\u00edmite (por ejemplo, cuando el n\u00famero de lados tiende a infinito), entonces<\/p>\n

A = \u00bd x 2 \u03c0 r x r<\/em><\/p>\n

Previo a Arqu\u00edmedes, Hip\u00f3crates de Qu\u00edos (470 a.C.-410 a. C.) prob\u00f3 que el \u00e1rea de un c\u00edrculo era proporcional al cuadrado del di\u00e1metro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del c\u00edrculo (construir un cuadrado con el mismo \u00e1rea de un c\u00edrculo dado solamente con regla y comp\u00e1s). Hip\u00f3crates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la l\u00fanula (ve\u00e1se la figura 1).<\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 1<\/figcaption><\/figure>\n

Arqu\u00edmedes utiliz\u00f3 el llamado m\u00e9todo exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el m\u00e9todo exhaustivo, un antecedente del c\u00e1lculo integral, para probar que el \u00e1rea de un c\u00edrculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arqu\u00edmedes, en el paso al l\u00edmite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los pol\u00edgonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Es interesante recordar los argumentos de Arqu\u00edmedes. Primero, compara el \u00e1rea del c\u00edrculo con la de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que ser\u00e1 mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicci\u00f3n. \u00bfQu\u00e9 tiene esto que ver con los pol\u00edgonos inscritos? Sea A<\/em> el \u00e1rea del c\u00edrculo y a la del tri\u00e1ngulo, y sea E<\/em> el exceso en el caso de que A<\/em> sea mayor que a = 1\u20442cr<\/em>, donde c <\/em>es la longitud de circunferencia y r<\/em> el radio. Inscribimos un cuadrado en el c\u00edrculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4<\/sub><\/em> el \u00e1rea de esos cuatro segmentos y supongamos que S4 <\/sub><\/em>\u00a0es mayor que E<\/em>. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un oct\u00f3gono. Hacemos lo mismo, contamos el \u00e1rea de esos ocho segementso, que ser\u00e1 S8<\/sub><\/em> . De nuevo, vemos si es mayor que E, y as\u00ed hasta que lleguemos a un pol\u00edgono de n lados tal que el correspondiente \u00e1rea Sn<\/sub><\/em> sea menor que E<\/em>. Entonces el \u00e1rea del pol\u00edgono ser\u00e1 Pn<\/sub> = A \u2013 Gn<\/sub><\/em>, mayor que la del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Y ahora llega la contradicci\u00f3n. Trazamos una apotema de longitud h<\/em>. Si cada lado del pol\u00edgono mide s<\/em>, entonces el per\u00edmetro, ns<\/em>, es menor que c<\/em>. El \u00e1rea del pol\u00edgono es \u00bd nsh<\/em>. Como h es menor que r<\/em> y ns<\/em> menor que c<\/em>, el \u00e1rea del pol\u00edgono debe ser menor que la del tri\u00e1ngulo, lo que es una contradicci\u00f3n.<\/p>\n

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.<\/p>\n

Hoy en d\u00eda tenemos instrumentos mucho m\u00e1s precisos. La integraci\u00f3n nos permite calcular el \u00e1rea de un c\u00edrculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.<\/p>\n

Me gustar\u00eda terminar con una reflexi\u00f3n sobre el ingenio de los matem\u00e1ticos de otras \u00e9pocas, que sin contar con las t\u00e9cnicas del c\u00e1lculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.<\/p>\n

___________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro, que, como aprendimos en la escuela, es\u00a0 el n\u00famero \u03c0 . Una relaci\u00f3n similar ocurre cuando queremos calcular el \u00e1rea de un c\u00edrculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por \u03c0. Pero esta relaci\u00f3n de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente. \u00a0 Estos teoremas de la geometr\u00eda (pues eso son) que se enuncian tan f\u00e1cilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. 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