{"id":148927,"date":"2021-03-15T15:13:30","date_gmt":"2021-03-15T14:13:30","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=148927"},"modified":"2021-03-15T15:13:30","modified_gmt":"2021-03-15T14:13:30","slug":"historias-de-pi-las-agujas-del-conde-de-buffon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2021\/03\/15\/148927","title":{"rendered":"Historias de pi: las agujas del conde de Buffon"},"content":{"rendered":"

El problema de la aguja de Buffon es una cuesti\u00f3n planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teor\u00eda de probabilidades con el n\u00famero \u03c0.<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a>
Buffon, 1707-1778<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

En su obra Essai d\u2019Arithmetique Morale<\/strong>, publicada en 1777, Buffon propone este problema:<\/p>\n

Supongo que en una habitaci\u00f3n en la que el suelo est\u00e1 simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzar\u00e1 paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzar\u00e1 alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geom\u00e9trica, y la soluci\u00f3n, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las l\u00edneas paralelas viene dada por la f\u00f3rmula<\/p>\n

p = (2\/\u03c0) (l\/L)<\/p>\n

donde l<\/em> es la longitud de la aguja y L<\/em> la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L<\/em>). Aqu\u00ed la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p<\/em> es el l\u00edmite de esos cocientes.<\/p>\n

Hay muchas pruebas matem\u00e1ticas de este resultado, y aqu\u00ed recordamos una bastante intuitiva. Sea X<\/em> un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el m\u00e1s cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d <\/em>la distancia de ese extremo a la paralela m\u00e1s pr\u00f3xima. La otra variable es el \u00e1ngulo\u00a0 \u03b8 que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, \u03b8), donde 0\u00a0\u2264 d\u00a0\u2264 L y 0\u00a0\u2264 \u03b8\u00a0 \u2264 \u03c0. Un simple c\u00e1lculo trigonom\u00e9trico nos indica que habr\u00e1 cruce si<\/p>\n

d < (L\/2) sen \u03b8<\/p>\n

Para calcular\u00a0 lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el \u00e1rea bajo la curva de la funci\u00f3n (L\/2) sen\u00a0\u03b8 entre 0 y \u03c0, <\/em>dividida por el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo de lados L y \u03c0. <\/em>Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.<\/p>\n

Georges-Louis Leclerc \u00a0naci\u00f3 el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleci\u00f3 el16 de abril de 1788 en Par\u00eds.\u00a0 Fue un naturalista, con amplios conocimientos matem\u00e1ticos y astr\u00f3nomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclop\u00e9dica Historia Natural (L\u2019Histoire Naturelle, g\u00e9n\u00e9rale et particuli\u00e8re, avec la description du Cabinet du Roi<\/strong>) en 36 vol\u00famenes en vida y 8 m\u00e1s tras su fallecimiento. Buffon ocup\u00f3 el cargo de director del Jard\u00edn Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).<\/p>\n

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encarg\u00f3 una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripci\u00f3n: Majestati Natur\u00e6 par ingenium (\u00abun genio a la altura de la majestad de la Naturaleza\u00bb). Su muerte a los 80 a\u00f1os fue causada por sus problemas de c\u00e1lculos renales.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el c\u00e1lculo de las expresiones decimales de \u03c0, lo que resulta en una extraordinaria relaci\u00f3n entre paralelas y el c\u00edrculo. Para ello se usa el m\u00e9todo de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.<\/p>\n

___________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El problema de la aguja de Buffon es una cuesti\u00f3n planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teor\u00eda de probabilidades con el n\u00famero \u03c0.   En su obra Essai d\u2019Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema: Supongo que en una habitaci\u00f3n en la que el suelo est\u00e1 simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzar\u00e1 paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1,42993],"tags":[43040,43041,43042],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nHistorias de pi: las agujas del conde de Buffon - 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